2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.5 简单的三角恒等变换 第2课时 简单的三角恒等变换

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1、第2课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简1化简： .答案2cos 解析原式2cos .2化简： .答案cos 2x解析原式cos 2x.3化简：2cos()解原式.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点题型二三角函数的求值命题点1给角求值与给值求值例1 (1)(2018阜新质检)2sin 50sin 10(1tan 10) .答案解析原式sin 80cos 102sin 50cos 10sin 10cos(6010)2sin(5

2、010)2.(2)(2018赤峰模拟)已知cos，则sin .答案解析由题意可得cos2，cossin 2，即sin 2.因为cos0，所以00.又(，2)，.(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为 答案解析tan tan()0，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.引申探究本例(1)中，若，为锐角，sin ，cos ，则 .答案解析，为锐角，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin .又00，2sin 3cos ，又sin2cos21，cos ，sin ，.(2)已知sin ，sin()，均为锐角，则 .答案解析因为，均为锐角，所以.又sin

3、()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos()cos sin().所以.题型三三角恒等变换的应用例3 已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间解(1)由sin ，cos ，得f2222.(2)由cos 2xcos2xsin2x与sin 2x2sin xcos x，得f(x)cos 2xsin 2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质，得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为(kZ)思维升华 三角恒等变换的应用策略(1)进行三

4、角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用(2)把形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性跟踪训练2 (2018北京)已知函数f(x)sin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值解(1)f(x)sin2xsin xcos xcos 2xsin 2xsin，所以f(x)的最小正周期T.(2)由(1)知，f(x)sin.由题意知xm，所以2x2m.要使得f(x)在区间上的最大值为，即sin在区间上的最大值为1，所以2m，即m.所以m

5、的最小值为.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用讨论形如yasin xbcos x型函数的性质，一律化成ysin(x)型的函数；研究yAsin(x)型函数的最值、单调性，可将x视为一个整体，换元后结合ysin x的图象解决例 已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)的定义域为.f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为x，所以2x，由ysin

6、x的图象可知，当2x，即x时，f(x)单调递减；当2x，即x时，f(x)单调递增所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减1(2018乌海质检)若sin，则cos 等于()A B C. D.答案A解析coscoscos.2.等于()A B. C. D1答案C解析原式.3已知sin 2，tan()，则tan()等于()A2 B1 C D.答案A解析由题意，可得cos 2，则tan 2，tan()tan2()2.4在斜三角形ABC中，sin Acos Bcos C，且tan Btan C1，则角A的值为()A. B. C. D.答案A解析由题意知，sin Asin(BC)sin Bco

7、s Ccos Bsin Ccos Bcos C，在等式cos Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C两边同除以cos Bcos C，得tan Btan C，又tan(BC)1tan A，即tan A1，因为0A，所以A.5函数f(x)3sincos4cos2(xR)的最大值等于()A5 B. C. D2答案B解析由题意知f(x)sin x4sin x2cos x2sin(x)2，其中cos ，sin ，xR，f(x)max2，故选B.6若函数f(x)5cos x12sin x在x时取得最小值，则cos 等于()A. B C. D答案B解析f(x)5cos x12sin x1313

8、sin(x)，其中sin ，cos ，由题意知2k(kZ)，得 2k(kZ )，所以cos coscossin .7若tan，则tan _.答案解析方法一tan，6tan 61tan (tan 1)，tan .方法二tan tan.8已知cos4sin4，且，则cos_.答案解析cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 2，又，2(0，)，sin 2，coscos 2sin 2.9定义运算adbc.若cos ，0，则_.答案解析由题意有sin cos cos sin sin()，又0，0，故cos()，而cos ，sin ，于是sin sin()sin cos()cos

9、sin().又0，故.10函数f(x)sin x2sin2x的最小值是_答案1解析f(x)sin x2sin1，又x，x，f(x)min2sin 11.11(2018抚顺模拟)已知tan ，cos ，则_.答案解析由cos ，得sin ，tan 2.tan()1.，.12(2018浙江)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin()的值；(2)若角满足sin()，求cos 的值解(1)由角的终边过点P，得sin .所以sin()sin .(2)由角的终边过点P，得cos .由sin()，得cos().由()，得cos cos()cos sin()sin

10、，所以cos 或cos .13已知，且cos，sin，则cos()_.答案解析，又cos，sin，sin，sin，又，cos，cos()coscoscossinsin.14在ABC中，A，B，C是ABC的内角，设函数f(A)2sinsinsin2cos2，则f(A)的最大值为_答案解析f(A)2cos sin sin2cos2sin Acos Asin，因为0A，所以A.所以当A，即A时，f(A)有最大值.15已知cos，则的值为_答案解析sin 2sin 2tan.由，得2，又cos，所以sin，tan.cos cos，sin ，sin 2.所以.16已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x1(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值解(1)由f(x)2sin xcos x2cos2x1，得f(x)(2sin xcos x)(2cos2x1)sin 2xcos 2x2sin，所以函数f(x)的最小正周期为.易知f(x)2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)1，f2，f1，所以函数f(x)在上的最大值为2，最小值为1.(2)2sin，sin.又x0，2x0，cos.cos 2x0coscoscossinsin.