2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线

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1、9.6双曲线最新考纲考情考向分析了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点.以选择、填空题为主，难度为中低档.一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质.1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其

2、中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)概念方法微思考1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2

3、a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定.当2a|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.2.方程Ax2By21表示双曲线的充要条件是什么？提示若A0，B0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A0，表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2By21表示双曲线的充要条件是AB0，b0，二者没有大小要求，若ab0，ab0,0ab0时，1e0时，e(亦称等轴双曲线)，当0a.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线

4、.()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()题组二教材改编2.若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A. B.5C. D.2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为0，即bxay0，2ab.又a2b2c2，5a2c2.e25，e.3.已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方

5、程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A.xy0 B.xy0C.x2y0 D.2xy0答案A解析椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以，即a44b4，所以ab，所以双曲线C2的渐近线方程是yx，即xy0.4.经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.答案1解析设双曲线的方程为1(a0)，把点A(4,1)代入，得a215(舍负)，故所求方程为1.题组三易错自纠5.(2016全国)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(1,3) B.(1，)C.(0,3) D.(0，)答案A解析方程1表示双曲线，(m2n)(3m

6、2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.答案D解析由条件知yx过点(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.故选D.7.已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_.答案y21解析由双曲线的渐近线方程为yx，可设该双曲线的标准方程为y2(0)，已知该双曲线过点(4，)，所以()2，即1，故所求双曲线的标准方程为y21.题型一双曲线的定义例1 (1)

7、已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆答案B解析如图，连接ON，由题意可得|ON|1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，|MF2|2.点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|PF1|，|PF2|PF1|PF2|PM|MF2|2|F1F2|，由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.(2)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|P

8、F1|2|PF2|，则cosF1PF2_.答案解析由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，则cosF1PF2.引申探究1.本例(2)中，若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，|PF1|PF2|8，|PF1|PF2|sin 602.2.本例(2)中，若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“0”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，0，在F1PF2中，有|PF1|2

9、|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|2.思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系.跟踪训练1 设双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_.答案(2，8)解析如图，由已知可得a1，b，c2，从而|F1F2|4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|m，则|PF1|

10、m2am2，由于PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，22m20，b0).由题意知，2b12，e，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.设双曲线方程为mx2ny21(mn0).解得双曲线的标准方程为1.思维升华 求双曲线标准方程的方法(1)定义法(2)待定系数法当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2By21(AB0).与双曲线1共渐近线的双曲线方程可设为(0)；与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(

11、b2k0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由yx，可得. 由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29. 由可得a24，b25.所以C的方程为1.故选B.题型三双曲线的几何性质命题点1与渐近线有关的问题例3已知F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是()A.xy0 B.xy0C.x2y0 D.2xy0答案A解析由题意，不妨设|PF1|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF

12、2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而ca，所以有|PF2|0，b0)的一条渐近线，直线l与圆(xc)2y2a2(其中c2a2b2，c0)相交于A，B两点，若|AB|a，则双曲线C的离心率为_.答案解析由题意可知双曲线的渐近线方程为bxay0，圆(xc)2y2a2的圆心为(c,0)，半径为a.因为直线l为双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线，与圆(xc)2y2a2(其中c2a2b2，c0)相交于A，B两点，且|AB|a，所以22a2，即4b23a2，即4(c2a2)3a2，即，又e，且e1，所以e.思维升华 (1)求双曲线的渐近线的方法求双曲线1(

13、a0，b0)或1(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令0，得yx；或令0，得yx.反之，已知渐近线方程为yx，可设双曲线方程为(a0，b0，0).(2)求双曲线的离心率求双曲线的离心率或其范围的方法()求a，b，c的值，由1直接求e.()列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k.跟踪训练3 (2018锦州模拟)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B，A，若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A. B.

14、4 C. D.答案A解析因为ABF2为等边三角形，所以不妨设|AB|BF2|AF2|m，因为A为双曲线右支上一点，所以|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a，因为B为双曲线左支上一点，所以|BF2|BF1|2a，|BF2|4a，由ABF260，得F1BF2120，在F1BF2中，由余弦定理得4c24a216a222a4acos 120，得c27a2，则e27，又e1，所以e.故选A.高考中离心率问题离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a

15、，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.例1 已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点.若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设M(0，b)，则M到直线l的距离d，1b0，b0)，由已知，取A点坐标为，取B点坐标为，则C点坐标为且F1(c,0).由ACB

16、F1知0，又，可得2c20，又b2c2a2，可得3c410c2a23a40，则有3e410e230，可得e23或，又e1，所以e.故选B.1.(2018鄂尔多斯调研)已知双曲线1(a0，b0)，点(4，2)在它的一条渐近线上，则离心率等于()A. B. C. D.答案B解析渐近线方程为yx，故(4，2)满足方程24，所以，所以e ，故选B.2.(2018新余摸底)双曲线1(a0)的渐近线方程为()A.y2x B.yxC.y4x D.yx答案A解析根据双曲线的渐近线方程知，yx2x，故选A.3.(2018辽宁省五校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，从双曲线

17、C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若AFO的面积为1，则双曲线C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.x21答案D解析因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|b，|OA|a，所以ab2，又双曲线C的离心率为，所以 ，即b24a2，解得a21，b24，所以双曲线C的方程为x21，故选D.4.已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A.2 B.4 C.6 D.8答案B解析由双曲线的方程，得a1，c，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2.在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2

18、|cos 60|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|(2)2，解得|PF1|PF2|4.故选B.5.已知双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使e，则的值为()A.3 B.2 C.3 D.2答案B解析由题意及正弦定理得e2，|PF1|2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2，|PF1|4，|PF2|2，又|F1F2|4，由余弦定理可知cosPF2F1，|cosPF2F1242.故选B.6.(2018沈阳模拟)已知双曲线1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则A

19、PF周长的最小值为()A.4 B.4(1)C.2() D.3答案B解析由题意知F(，0)，设左焦点为F0，则F0(，0)，由题意可知APF的周长l为|PA|PF|AF|，而|PF|2a|PF0|，l|PA|PF0|2a|AF|AF0|AF|2a22444(1)，当且仅当A，F0，P三点共线时取得“”，故选B.7.已知离心率为的双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若16，则双曲线的实轴长是()A.32 B.16 C.84 D.4答案B解析由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线yx上，由题意可知|F2M|b，所以|

20、OM|a.由16，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，所以a8，b4，c4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.8.(2018葫芦岛模拟)已知双曲线C1：1(a0，b0)，圆C2：x2y22axa20，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是()A. B.C.(1,2) D.(2，)答案A解析由双曲线方程可得其渐近线方程为yx，即bxay0，圆C2：x2y22axa20可化为(xa)2y2a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径ra，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c24b2，又知b2c2a2，所以c24(c2a2)，即

21、c2a2，所以e1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为，故选A.9.(2016北京)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则a_；b_.答案12解析由2xy0，得y2x，所以2.又c，a2b2c2，解得a1，b2.10.(2018河北名校名师俱乐部二调)已知F1，F2分别是双曲线x21(b0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|2且F1AF245，延长AF2交双曲线的右支于点B，则F1AB的面积等于_.答案4解析由题意知a1，由双曲线定义知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2，|AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|.由

22、题意知|AB|AF2|BF2|2|BF2|，|BA|BF1|，BAF1为等腰三角形，F1AF245，ABF190，BAF1为等腰直角三角形.|BA|BF1|AF1|42，|BA|BF1|224.11.(2018辽阳模拟)已知焦点在x轴上的双曲线1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是_.答案(0,2)解析对于焦点在x轴上的双曲线1(a0，b0)，它的焦点(c,0)到渐近线bxay0的距离为b.双曲线1，即1，其焦点在x轴上，则解得4m0，b0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，APQ的一个内角为60，则双曲线C的离心率为_.答案解析设左焦点为F1，由于双

23、曲线和圆都关于x轴对称，又APQ的一个内角为60，PAF30，PFA120，|AF|PF|ca，|PF1|3ac，在PFF1中，由余弦定理得，|PF1|2|PF|2|F1F|22|PF|F1F|cosF1FP，即3c2ac4a20，即3e2e40，e(舍负).13.(2018营口调研)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，若直线yx恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为()A. B.C. D.答案C解析如图，直线PF2的方程为y(xc)，设直线PF2与直线yx的交点为N，易知N.又线段PF2的中点为N，所以P.因为点P在双曲线C上，

24、所以1，即5a2c2，所以e.故选C.14.已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|2a，F1AF2，则等于()A.1 B.C. D.答案B解析如图所示，由双曲线定义可知|AF2|AF1|2a.又|AF1|2a，所以|AF2|4a，因为F1AF2，所以|AF1|AF2|sinF1AF22a4a2a2.由双曲线定义可知|BF1|BF2|2a，所以|BF1|2a|BF2|，又知|BF1|2a|BA|，所以|BA|BF2|.又知BAF2，所以BAF2为等边三角形，边长为4a，所以|AB|2(4a)24a2，所以.15.已知

25、双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|8，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|，则E的离心率是()A.2 B.C. D.答案D解析如图所示，设PF1，PF2分别与PAF2的内切圆切于M，N，依题意，有|MA|AQ|，|NP|MP|，|NF2|QF2|，|AF1|AF2|QA|QF2|,2a|PF1|PF2|(|AF1|MA|MP|)(|NP|NF2|)2|QA|2，故a，从而e，故选D.16.已知双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|6|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为_.答案解析由定义，知|PF1|PF2|2a.又|PF1|6|PF2|，|PF1|a，|PF2|a.当P，F1，F2三点不共线时，在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2e2，即e2cosF1PF2.cosF1PF2(1,1)，e.当P，F1，F2三点共线时，|PF1|6|PF2|，e，综上，e的最大值为.