2020版高考数学大一轮复习 第六章 数 列 6.2 等差数列及其前n项和

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1、6.2等差数列及其前n项和最新考纲考情考向分析1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题4.了解等差数列与一次函数的关系.主要考查等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查难度中低档.1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字

2、母d表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列那么A叫做x与y的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN+)是公差为md的等差数列(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列(7

3、)若an是等差数列，则也是等差数列，其首项与an的首项相同，公差为d.5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值概念方法微思考1“a，A，b是等差数列”是“A”的什么条件？提示充要条件2等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？提示不一定当公差d0时，Snna1，不是关于n的二次函数3如何推导等差数列的前n项和公式？提示利用倒序相加法题组一思考辨析1判断下列结

4、论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(4)已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差为2.()(5)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN+，都有2an1anan2.()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()题组二教材改编2设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于()A31 B32 C33 D34答案B解析由已知可得解得S88

5、a1d32.3在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8 .答案180解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.题组三易错自纠4一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是()Ad BdC.d D.d答案D解析由题意可得即所以0，a7a100，所以a80.又a7a10a8a90，所以a9.(1)证明an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)解由(1)知2n1，所以Snn2，.证明：1.题型三等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质例2 (2018本溪模拟)已知an为等

6、差数列，a2a818，则an的前9项和S9等于()A9 B17C72 D81答案D解析由等差数列的性质可得，a1a9a2a818，则an的前9项和S9981.故选D.命题点2等差数列前n项和的性质例3 (1)(2019锦州质检)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S57，S1021，则S15等于()A35 B42 C49 D63答案B解析在等差数列an中，S5，S10S5，S15S10成等差数列，即7,14，S1521成等差数列，所以7(S1521)214，解得S1542.(2)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 018，6，则S2 020 .答案2 020解析由等差数列的性质可得也为

7、等差数列设其公差为d，则6d6，d1.故2 019d2 0182 0191，S2 02012 0202 020.思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，mnpq(m，n，p，qN+)，则amanapaq.(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.跟踪训练2 (1)已知等差数列an，a22，a3a5a715，则数列an的公差d等于()A0 B1 C1 D2答案B解析a3a5a7 3a515，a55，a5a233d，可得d1，故选B.(2)设等差数列an的前n项和为Sn，若S130，S140，S140，a

8、1a14a7a80，a80，所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.1若an为等差数列，且a72a41，a30，则公差d等于()A2 B C. D2答案B解析由于a72a4a16d2(a13d)a11，则a11.又由a3a12d12d0，解得d.故选B.2在等差数列an中，已知a12，a2a3a424，则a4a5a6等于()A38 B39 C41 D42答案D解析由a12，a2a3a424，可得，3a16d24，解得d3，a4a5a63a112d42.故选D.3已知等差数列an中，a1 0123，S2 0172 017，则S2 020等于()A2 020 B2 020C4 040 D4 040答

9、案D解析由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，S2 0172 0172 0172 017a1 0092 017，则a1 0091，据此可得，S2 0202 0201 0101 01044 040.4程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人多十七，要将第八数来言务要分明依次弟，孝和休惹外人传”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为()A65 B176 C183 D184答案D解析根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an，其中d

10、17，n8，S8996.由等差数列前n项和公式可得8a117996，解得a165.由等差数列通项公式得a865(81)17184.5已知数列an是等差数列，前n项和为Sn，满足a15a3S8，给出下列结论：a100；S10最小；S7S12；S200.其中一定正确的结论是()A B C D答案C解析a15(a12d)8a128d，所以a19d，a10a19d0，正确；由于d的符号未知，所以S10不一定最大，错误；S77a121d42d，S1212a166d42d，所以S7S12，正确；S2020a1190d10d，错误所以正确的是，故选C.6在等差数列an中，若0时，n的最小值为()A14 B1

11、5 C16 D17答案C解析数列an是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，公差d0，首项a10，an为递增数列1，a8a90，由等差数列的性质知，2a8a1a150.Sn，当Sn0时，n的最小值为16.7(2018北京)设an是等差数列，且a13，a2a536，则an的通项公式为 答案an6n3(nN)解析方法一设公差为d.a2a536，(a1d)(a14d)36，2a15d36.a13，d6，通项公式ana1(n1)d6n3(nN)方法二设公差为d，a2a5a1a636，a13，a633，d6.a13，通项公式an6n3(nN)8(2019包头质检)在等差数列an中，若a7，则sin 2a1

12、cos a1sin 2a13cos a13 .答案0解析根据题意可得a1a132a7，2a12a134a72，所以有sin 2a1cos a1sin 2a13cos a13sin 2a1sin(22a1)cos a1cos(a1)0.9等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且，则 .答案解析在等差数列中，S1919a10，T1919b10，因此.10已知数列是公差为2的等差数列，且a11，a39，则an .答案(n23n3)2解析数列是公差为2的等差数列，且a11，a39，(1)2(n1)，(1)2，3(1)2，a21.2n2，2(n1)22(n2)222122(n1)1n23n3.a

13、n(n23n3)2，n1时也成立an(n23n3)2.11已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bn.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明，bn1bn，bn是等差数列(2)解由(1)及b11.知bnn，an1，an.12(2018全国)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解(1)设an的公差为d，由题意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通项公式为ana1(n1)d2n9(nN)(2)由(1)得Snnn28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最

14、小值为16.13已知等差数列an的前n项和为Sn，bn且b1b317，b2b468，则S10等于()A90 B100C110 D120答案A解析设an公差为d，2d4，d2，b1b317，1，a10，S1010a1d290，故选A.14设等差数列an的公差为，前8项和为6，记tan k，则数列的前7项和是()A. B.C. D.答案C解析等差数列an的公差d为，前8项和为6，可得8a1876，解得a1，tan antan an111，则数列tan antan an1的前7项和为(tan a8tan a7tan a7tan a6tan a2tan a1)7(tan a8tan a1)77777.

15、故选C.15已知数列an与均为等差数列(nN)，且a12，则a20 .答案40解析设an2(n1)d，所以，由于为等差数列，所以其通项是一个关于n的一次函数，所以(d2)20，d2.所以a202(201)240.16记m，若是等差数列，则称m为数列an的“dn等差均值”；若是等比数列，则称m为数列an的“dn等比均值”已知数列an的“2n1等差均值”为2，数列bn的“3n1等比均值”为3.记cnklog3bn，数列的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有SnS6，求实数k的取值范围解由题意得2，所以a13a2(2n1)an2n，所以a13a2(2n3)an12n2(n2，nN)，两式相减得an(n2，nN+)当n1时，a12，符合上式，所以an(nN)又由题意得3，所以b13b23n1bn3n，所以b13b23n2bn13n3(n2，nN)，两式相减得bn32n(n2，nN)当n1时，b13，符合上式，所以bn32n(nN)所以cn(2k)n2k1.因为对任意的正整数n都有SnS6，所以解得k.