2020版高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.2 几何概型

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1、11.2几何概型最新考纲考情考向分析1.了解随机数的意义，能运用模拟的方法估计概率.2.了解几何概型的意义.以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集等知识交汇考查.在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档.1.几何概型的定义事件A理解为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型.2.几何概型的概率公式P(A)，其中表示区域的几何度量，A表示子区域A的几何度量.3.随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出

2、随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤是用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；计算频率fn(A)作为所求概率的近似值.概念方法微思考1.古典概型与几何概型有什么区别？提示古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.2.几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值.题组一思考辨析1.判断下列结论是否

3、正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(6)从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是P.()题组二教材改编2.在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()A. B. C. D.1答案B解析坐标小于1的区间为0,1)，长度为1，0,3的区间长度为3，故所求概率为.3.有

4、四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案A解析P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(A)P(C)P(D)P(B).4.设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A. B. C. D.答案D解析如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分(不包括)表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4.因此满足条件的概率是，故选D.题组三易错自纠5.在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|

5、x|m的概率为，则m_.答案3解析由|x|m，得mxm.当0m2时，由题意得，解得m2.5，矛盾，舍去.当2m4时，由题意得，解得m3.故m3.6.在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为_.答案解析设ACx cm(0x12)，则CB(12x)cm，则矩形的面积Sx(12x)12xx2(cm2).由12xx20，解得0x4或8x12.在数轴上表示，如图所示.由几何概型概率计算公式，得所求概率为.题型一与长度、角度有关的几何概型例1 在等腰RtABC中，直角顶点为C.(1)在斜边AB上任取一点M，求|AM|AC|的

6、概率；(2)在ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|AC|的概率.解(1)如图所示，在AB上取一点C，使|AC|AC|，连接CC.由题意，知|AB|AC|.由于点M是在斜边AB上任取的，所以点M等可能分布在线段AB上，因此基本事件的区域应是线段AB.所以P(|AM|AC|).(2)由于在ACB内以C为端点任作射线CM，所以CM等可能分布在ACB内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是ACB，所以P(|AM|AC|).思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，

7、然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).跟踪训练1 (1)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A. B. C. D.答案B解析如图所示，画出时间轴.小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，得所求概率P，故选B.(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在DAB内任作射线A

8、P，则射线AP与线段BC有公共点的概率为_.答案解析因为在DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域是DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在CAB内，则区域为CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为.题型二与面积有关的几何概型命题点1与面积有关的几何概型的计算例2 (1)(2017全国)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.答案B解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形4.由圆中的黑

9、色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑S白S圆，所以由几何概型知，所求概率P.(2)由不等式组确定的平面区域记为1，由不等式组确定的平面区域记为2，若在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为_.答案解析如图，平面区域1就是三角形区域OAB，平面区域2与平面区域1的重叠部分就是区域OACD，易知C，故由几何概型的概率公式，得所求概率P.命题点2随机模拟例3 (1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为()A.7.68 B.8.68C.16.32 D.17.32答案C解析由随机模拟的思想方法，可得黄

10、豆落在椭圆内的概率为0.68.由几何概型的概率计算公式，可得0.68，而S矩形6424，则S椭圆0.682416.32.(2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为_.答案0.4解析根据

11、数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527985786366947469880459597 7424，共8个，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为0.4.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.跟踪训练2 (1)(2016全国)从区间0,1内随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为(

12、)A. B. C. D.答案C解析由题意得(xi，yi)(i1,2，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，故选C.(2)在满足不等式组的平面内随机取一点M(x0，y0)，设事件A“y02x0”，那么事件A发生的概率是()A. B. C. D.答案B解析作出不等式组表示的平面区域，即ABC(包括边界)，其面积为4，且事件A“y02x0”表示的区域为AOC，其面积为3，所以事件A发生的概率是.题型三与体积有关的几何概型例4 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为_.答案解析过点M

13、作平面RS平面AC，则两平面间的距离是四棱锥MABCD的高，显然点M在平面RS上任意位置时，四棱锥MABCD的体积都相等.若此时四棱锥MABCD的体积等于，只要M在截面以下即可小于，当VMABCD时，即11h，解得h，即点M到底面ABCD的距离，所以所求概率P.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A. B. C. D.答案D解析由题意可知这是一个几何概型，棱长为1

14、的正方体的体积V11，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R，球的体积V23，则此点落在正方体内部的概率P.1.在区间0，上随机地取一个数x，则事件“sin x”发生的概率为()A. B. C. D.答案D解析在0，上，当x时，sin x，故概率为.2.在区间1,3上随机取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则实数m为()A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析区间1,3的区间长度为4.不等式|x|m的解集为m，m，当1m3时，由题意得，解得m1(舍)，当0m1时，由，则m1.故m1.3.若正方形ABCD的边长为4，E为四边上任意一点，则AE的长度大于5的概率等于()A. B. C. D.

15、答案D解析设M，N分别为BC，CD靠近点C的四等分点，则当E在线段CM，CN(不包括M，N)上时，AE的长度大于5，因为正方形的周长为16，CMCN2，所以AE的长度大于5的概率为，故选D.4.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是()A.2 B.4C. D.答案B解析设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S244r26r2，圆的面积Sr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为4，故选B.5.(2018大连模拟)已知P是ABC所在平面内一点，20，现将一粒黄豆随机撒在

16、ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是()A. B. C. D.答案D解析以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，则，因为20，所以2，得2，由此可得，P是ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于点A到BC的距离的，所以SPBCSABC，所以将一粒黄豆随机撒在ABC内，黄豆落在PBC内的概率为，故选D.6.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是()A.

17、mm2 B. mm2C. mm2 D. mm2答案A解析向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S112(mm2).7.(2016山东)在1,1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_.答案解析由已知得，圆心(5,0)到直线ykx的距离小于半径，3，解得k，由几何概型得P.8.在等腰直角三角形ABC中，C90，在直角边BC上任取一点M，则CAMn.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分(不包括mn这条直线)的概率即为所求的概率，易知直线mn恰好将矩形平分，所求的概率为.11.已知向量a(2,1)

18、，b(x，y).(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率.解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636，由ab1，得2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个.故满足ab1的概率为.(2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6.满足ab0的基本事件的结果为A(x，y)|1x6,1y6且2xy0.画出图象如图所示，矩形的

19、面积为S矩形25，阴影部分的面积为S阴影252421，故满足ab0的概率为.12.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0x24，0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件构成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24.A为图中阴影部分，全部结果构成的集合为边长是24的正方形

20、及其内部.所求概率为P(A).13.在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为_.答案解析设任取两点所表示的数分别为x，y，则0x1，且0y1，如图所示，则总事件所占的面积为1.记这两点之间的距离小于为事件A，则A，如图中阴影部分所示，空白部分所占的面积为2，所以所求两点之间的距离小于的概率P(A).14.如图，在面积为S的矩形ABCD内任取一点P，则PBC的面积小于的概率为_.答案解析如图，设PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于点E，当PBC的面积等于时，BCPFBCEF，所以PFEF.过点P作GH平行于BC交AB于点G，交CD于点H，则满足条件“PBC的面积

21、小于”的点P落在矩形GBCH边界(不包括BC，GH)及其内部.设“PBC的面积小于”为事件A，则构成事件A的区域的面积为，而试验的全部结果所构成的区域面积为S，所以由几何概型的概率计算公式得P(A).所以PBC的面积小于的概率是.15.在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率，p2为事件“|xy|”的概率，p3为事件“xy”的概率，则()A.p1p2p3 B.p2p3p1C.p3p1p2 D.p3p2p1答案B解析因为x，y0,1，所以事件“xy”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S1，事件“|xy|”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S2，事件“xy”表示的平面区域如图(3)阴影部分(含边界)S3，由图知，阴影部分的面积满足S2S3S1，正方形的面积为111，根据几何概型概率计算公式可得p2p3p1.16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，求此点取自空白部分的概率.解设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OAOB2，则ODDADC1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1111，所以整个图形中空白部分面积S22.又因为S扇形OAB22，所以P.