2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图

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1、8.1空间几何体的结构、三视图和直观图最新考纲考情考向分析1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.空间几何体的结构特征、三视图、直观图是高考重点考查的内容主要考查根据几何体的三视图求其体积与表面积对空间几何体的结构特征、三视图、直观图的考查，以选择题和填空题为主.1多面体的结构特征2旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一

2、边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.三视图与直观图直观图空间几何的直观图：常用斜二测画法来画基本步骤是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x轴，y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直；(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半三视图画法规则：长对正，高平齐，宽相等概念方法微思考1底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗，为什么？提示不一定因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱2什么是三视图？怎样画三视

3、图？提示光线自物体的正前方投射所得的正投影称为主视图，自左向右的正投影称为左视图，自上向下的正投影称为俯视图，几何体的主视图、左视图和俯视图统称为三视图画几何体的三视图的要求是主视图与俯视图长对正；主视图与左视图高平齐；左视图与俯视图宽相等题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同()(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱(

4、)(6)菱形的直观图仍是菱形()题组二教材改编2下列说法正确的是()A相等的角在直观图中仍然相等B相等的线段在直观图中仍然相等C正方形的直观图是正方形D若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案D解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变3在如图所示的几何体中，是棱柱的为_(填写所有正确的序号)答案题组三易错自纠4某空间几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是()A圆柱 B圆锥 C四面体 D三棱柱答案A解析由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其主视图为三角形，而圆柱的主视图不可能为三角形5(2019沈阳模拟)如图是正方体截去阴影部分所得

5、的几何体，则该几何体的左视图是()答案C解析此几何体左视图是从左边向右边看故选C.6如图，直观图所表示的平面图形是()A正三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D直角三角形答案D解析由直观图中，ACy轴，BCx轴，还原后ACy轴，BCx轴所以ABC是直角三角形故选D.7(2018全国)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2 B2C3 D2答案B解析先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M，N的位置如图所示圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的

6、四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径|ON|164，|OM|2，|MN|2.故选B.题型一空间几何体的结构特征1以下命题：以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析由圆锥、圆台、圆柱的定义可知错误，正确对于命题，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确2给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都

7、是矩形的直四棱柱是长方体；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为_(填序号)答案解析对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故正确综上，命题不正确思维升华 空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析题型二简单几何体的三视图命题点1已知几何体识别三视图例1 (2018全国)中国古建

8、筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案A解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.命题点2已知三视图，判断简单几何体的形状例2 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A三棱锥 B三棱柱C四棱锥 D四棱柱答案B解析由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱命题点3已知三视图中的两个视图，判断第三个视图例3 一个锥体的主视图和左视图如图

9、所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()答案C解析A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图思维升华 三视图问题的常见类型及解题策略(1)注意观察方向，看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线(2)还原几何体要熟悉柱、锥、台、球的三视图，结合空间想象还原(3)由部分视图画出剩余的部分视图先猜测，还原，再判断当然作为选择题，也可将选项逐项代入跟踪训练1 (1)(2018大连模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则PAC在该正方体各个面上的正投影可能是()A B C D答案B解析P点在上下底面投影落在AC或A

10、1C1上，所以PAC在上底面或下底面的投影为，在前、后面以及左、右面的投影为.(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长棱的长度为()A3 B2 C. D2答案B解析由三视图得，该几何体为四棱锥PABCD，如图所示侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，过点P作PEAB，垂足为点E，则AE1，BE2，AD2，PE4，则该几何体中最长的棱为PC2，故选B.题型三空间几何体的直观图例4 已知等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为_答案解析如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图因为OE1，所以OE，EF，则直观

11、图ABCD的面积S.思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与轴平行的线段在直观图中与轴平行，不平行的线段先画线段的端点再连线跟踪训练2 如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A2 B1 C42 D84答案D解析由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，所以这个平面图形的面积为84，故选D.1(2018辽宁部分重点中学协作体模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是()A圆面 B矩形面C梯形面 D椭圆面

12、或部分椭圆面答案C解析将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.2.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用代表图形)()A B C D答案B解析主视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此主视图是，左视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此左视图是；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因

13、此俯视图是.3用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A圆柱 B圆锥C球体 D圆柱、圆锥、球体的组合体答案C解析截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体4某几何体的主视图与左视图如图所示，则它的俯视图不可能是()答案C解析若几何体为两个圆锥体的组合体，则俯视图为A；若几何体为四棱锥与圆锥的组合体，则俯视图为B；若几何体为两个四棱锥的组合体，则俯视图为D；不可能为C，故选C.5在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图为()答案D解析由主视图与俯视图知，几何体是一个三棱锥与被轴截面截开的半个圆锥的组合体，故左视图为D.6如图为几何体的三视图，根据三

14、视图可以判断这个几何体为()A圆锥 B三棱锥C三棱柱 D三棱台答案C7(2019赤峰模拟)已知底面是直角三角形的直棱柱的主视图、俯视图如右图所示，则该棱柱的左视图的面积为()A18 B18C18 D.答案C解析设左视图的长为x，则x26318，x3.所以左视图的面积为S3618.故选C.8用一个平面去截正方体，则截面不可能是()A直角三角形 B等边三角形C正方形 D正六边形答案A解析用一个平面去截正方体，则截面的情况为：截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；

15、截面为五边形时，不可能是正五边形；截面为六边形时，可以是正六边形9.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图OABC如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为_答案2解析因为直观图的面积是原图形面积的倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2.10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的主视图与左视图的面积的比值为_答案1解析如题图所示，设正方体的棱长为a，则三棱锥PABC的主视图与左视图都是三角形，且面积都是a2，故面积的比值为1.11给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等

16、的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体其中正确命题的序号是_答案解析不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形12某四面体的三视图由如图所示的三个直角三角形构成，则该四面体六条棱长最长的为_答案解析四面体如图所示，其中

17、SB平面ABC且在ABC中，ACB90.由SB平面ABC，AB平面ABC得SBAB，同理SBBC，所以棱长最长的为SA且SA.13.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是()答案B解析由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切由于两球球心连线AB1与面ACC1A1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为图B.14我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是他对九章算术中“开立圆术”给出的公

18、式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分如果“牟合方盖”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图的形状为()答案B解析由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到的几何体的直观图如图所示，由图易得其俯视图为B，故选B.15某几何体的三视图如图所示，则该几何体的左视图中的虚线部分是()A圆弧 B抛物线的一部分C椭圆的一部分 D双曲线的一部分答案D解析根据几何体的三视图，可得左视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故左视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.16.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于_ m.答案1解析把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，由题意OP4，PP4，则cosPOP0，且POP是三角形的内角，所以POP.设底面圆的半径为r，则2r4，所以r1.