2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 第1课时 椭圆及其性质

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1、9.5椭圆最新考纲考情考向分析1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中.题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1.椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若

2、ac，则集合P为线段；(3)若ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b2c2概念方法微思考1.在椭圆的定义中，若2a|F1F2|或2a|F1F2|，动点P的轨迹如何？提示当2a|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的.2.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？

3、提示由e 知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁；e越小，b越大，椭圆越圆.3.点和椭圆的位置关系有几种？如何判断.提示点P(x0，y0)和椭圆的位置关系有3种(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.4.直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？提示直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.判断方法为联立直线与椭圆的方程，求联立后所得方程的判别式.(1)直线与椭圆相离0.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).()(2)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示

4、的曲线是椭圆.()(3)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆.()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等.()题组二教材改编2.椭圆1的焦距为4，则m等于()A.4 B.8C.4或8 D.12答案C解析当焦点在x轴上时，10mm20，10m(m2)4，m4.当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8.m4或8.3.过点A(3，2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析由题意知c25，可设椭圆方程为1(0)，则1，解得10或2(舍去)，所求椭圆的方程为1.4.已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则

5、点P的坐标为_.答案或解析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1,0)，F2(1,0).由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，所以P点坐标为或.题组三易错自纠5.若方程1表示椭圆，则m的取值范围是()A.(3,5) B.(5,3)C.(3,1)(1,5) D.(5,1)(1,3)答案C解析由方程表示椭圆知解得3mb0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1答案A解析AF1B的周长为4，4a4，a，离心率为，c1，b，椭圆C的方

6、程为1.故选A.第1课时椭圆及其性质题型一椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆答案A解析由条件知|PM|PF|，|PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.2.过椭圆4x2y21的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长为()A.2 B.4C.8 D.2答案B解析椭圆方程变形为1，椭圆长轴长2a2，ABF2的周长为4a4.3.椭圆y21

7、的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于()A. B.C. D.4答案A解析F1(，0)，PF1x轴，P，|PF1|，|PF2|4.4.(2018鞍山调研)设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最小值为_.答案5解析由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|2a|PF2|.|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|5,2a10，|PM|PF1|5105，即|PM|PF1|的最

8、小值为5.思维升华 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.题型二椭圆的标准方程命题点1定义法例1 (1)已知A(1,0)，B是圆F：x22xy2110(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析由题意得|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|r2|AF|2，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a，c1，b，动点P的轨迹方程为1，故选D.(2)在ABC中，A(4,0)，B(4,0)

9、，ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()A.1(y0) B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)答案A解析由|AC|BC|188108知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线).设其方程为1(ab0)，则a5，c4，从而b3.由A，B，C不共线知y0.故顶点C的轨迹方程是1(y0).命题点2待定系数法例2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为_.答案1解析设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn).由解得m，n.椭圆方程为1.(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF

10、1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为_.答案1解析椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，可设椭圆方程为1(ab0)，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，又a2b2c2，a2，b，c，椭圆方程为1.思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式.跟踪训练1 (1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程

11、为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析依题意设椭圆G的方程为1(ab0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，2a12，a6，椭圆的离心率为，e，即 ，解得b29，椭圆G的方程为1，故选A.(2)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_.答案1解析所求椭圆与椭圆1的焦点相同，其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0).c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，1，即1.由得b24，a220，所求椭圆的标准方程为1.题型三椭圆的几何性质命题点1求离心率的值(或范围)例3 (1)(2018通辽模拟)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别

12、为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A. B. C. D.答案D解析方法一如图，在RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c，|PF1|，|PF2|2ctan 30.|PF1|PF2|2a，即2a，可得ca.e.方法二(特殊值法)：在RtPF2F1中，令|PF2|1，PF1F230，|PF1|2，|F1F2|.e.(2)椭圆1(ab0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案D解析设P(x，y)，则|OP|2x2y

13、2，由椭圆定义得，|PF1|PF2|2a，|PF1|22|PF1|PF2|PF2|24a2，又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，|PF1|PF2|F1F2|24c2，则|PF1|2|PF2|28c24a2，(xc)2y2(xc)2y28c24a2，整理得x2y25c22a2，即5c22a2，整理得，椭圆的离心率e.(3)已知椭圆1(abc0，a2b2c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(ac)，则椭圆的离心率e的取值范围是_.答案解析因为|PT|(bc)，而|PF2|的最小值为ac，

14、所以|PT|的最小值为.依题意，有(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac3a20，所以5e22e30. 又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21. 联立，得e.命题点2求参数的值(或范围)例4 (2017全国)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A.(0,19，) B.(0，9，)C.(0,14，) D.(0，4，)答案A解析方法一设椭圆焦点在x轴上，则0m3，点M(x，y).过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0).故tanAMBtan(AM

15、NBMN).又tanAMBtan 120，且由1，可得x23，则.解得|y|.又0|y|，即0，结合0m3解得0m1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9.则m的取值范围是(0,19，).故选A.方法二当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得03时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得m9.故m的取值范围为(0,19，).故选A.思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用离心率公式e求解.(2)由a

16、与b的关系求离心率，利用变形公式e 求解.(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.跟踪训练2 (1)已知椭圆1(0bb0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_.答案解析由已知条件易得B，C，F(c，0)，所以，由BFC90，可得0，所以20，c2a2b20，即4c23a2(a2c2)0，亦即3c22a2，所以，则e.(3)(2018阜新模拟)已知F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是()A. B. C. D.答案B解析F1，F2

17、是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点，离心率0e1，F1(c,0)，F2(c,0)，c2a2b2.设点P(x，y)，由PF1PF2，得(xc，y)(xc，y)0，化简得x2y2c2.联立方程组整理得，x2(2c2a2)0，解得e.又0e1，e1.1.(2018赤峰模拟)曲线C1：1与曲线C2：1(k9)的()A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等答案D解析因为c25916，c(25k)(9k)16，所以c1c2，所以两个曲线的焦距相等.2.设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A.4 B.3 C.2

18、D.5答案A解析由题意知|OM|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2a|PF2|1064.3.(2016全国)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B解析如图，由题意得，|BF|a，|OF|c，|OB|b，|OD|2bb.在RtFOB中，|OF|OB|BF|OD|，即cbab，解得a2c，故椭圆离心率e，故选B.4.设F1，F2分别为椭圆y21的左、右焦点，点P在椭圆上，且|2，则F1PF2等于()A. B.C. D.答案D解析因为2，O为坐标原点，|2，所以|PO|，又|OF1|OF2|，所以P，F1，F2在以

19、点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，所以F1PF2.5.设F1，F2为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，的值等于()A.0 B.2 C.4 D.2答案D解析根据题意可知，当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大.此时，F1(，0)，F2(，0)，P(0,1)，(，1)，(，1)，2.6.(2018营口调研)2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个

20、焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；a1c2.其中正确式子的序号是()A. B.C. D.答案D解析观察图形可知a1c1a2c2，即式不正确；a1c1a2c2|PF|，即式正确；由a1c1a2c20，c1c20知，即a1c2，即式正确，式不正确.故选D.7.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为_.答案1或1解析由题意知解得又b2a2c2，b29，当焦点在x轴上时，椭圆方程为1，当焦点在y轴上时，椭圆

21、方程为1.8.设F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为_.答案1解析F2AB是面积为4的等边三角形，ABx轴，A，B两点的横坐标为c，代入椭圆方程，可求得|F1A|F1B|.又|F1F2|2c，F1F2A30，2c. 又2c4， a2b2c2， 由解得a29，b26，c23，椭圆C的方程为1.9.已知椭圆C1：1(ab0)与椭圆C2：1(ab0)相交于A，B，C，D四点，若椭圆C1的一个焦点F(，0)，且四边形ABCD的面积为，则椭圆C1的离心率e为_.答案解析联立两式相减得，又ab，所以x2y2，故

22、四边形ABCD为正方形， (*)又由题意知a2b22，将其代入(*)式整理得3b42b280，所以b22，则a24，所以椭圆C的离心率e.10.已知A，B，F分别是椭圆x21(0b0，则椭圆的离心率的取值范围为_.答案解析如图所示，线段FA的垂直平分线为x，线段AB的中点为.因为kABb，所以线段AB的垂直平分线的斜率k，所以线段AB的垂直平分线方程为y.把xp代入上述方程可得yq.因为pq0，所以0，化为b.又0b1，解得b21，即1b2，所以01b2|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，所以点M的轨迹方程为1.12.已知椭圆x2(m

23、3)y2m(m0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.解椭圆方程可化为1，m0.m0，m，a2m，b2，c .由e，得 ，m1.椭圆的标准方程为x21，a1，b，c.椭圆的长轴长和短轴长分别为2a2和2b1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2.13.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为()A.1 B.2C. D.答案A解析过F1的直线MF1是圆F2的切线，F1MF290，|MF2|c，|F1F2|2c，|

24、MF1|c，由椭圆定义可得|MF1|MF2|cc2a，椭圆离心率e1.14.已知ABC的顶点A(3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆1上，则_.答案3解析由椭圆方程1，得长轴长2a10，短轴长2b8，焦距2c6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点.在ABC中，|AB|6，|BC|AC|10，由正弦定理可得，3.15.椭圆C1：1的离心率为e1，双曲线C2：1的离心率为e2，其中，ab0，直线l：xy30与椭圆C1相切，则椭圆C1的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1答案C解析椭圆C1：1的离心率e1，双曲线C2：1的离心率e2，由，得，则ab，由得3x212x182b20，由12243(182b2)0，解得b23，则a26，椭圆C1的方程为1，故选C.16.已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使，求该椭圆的离心率的取值范围.解由得.又由正弦定理得，所以，即|PF1|PF2|.又由椭圆定义得|PF1|PF2|2a，所以|PF2|，|PF1|，因为PF2是PF1F2的一边，所以有2c0，所以e22e10(0e1)，解得椭圆离心率的取值范围为(1,1).