2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数2.6 对数与对数函数

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1、2.6对数与对数函数最新考纲考情考向分析1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象3.体会对数函数是一类重要的函数模型4.了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.1.对数的概念一般地，对于指数式abN，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即2.对数logaN(

2、a0，a1)具有下列性质(1)N0；(2)loga10；(3)logaa1.3.对数运算法则(1)loga(MN)logaMlogaN.(2)logalogaMlogaN.(3)logaMlogaM.4.对数的重要公式(1)对数恒等式：N.(2)换底公式：logbN.5.对数函数的图象与性质ylogaxa10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数6.反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称.概念方法微思考1根据对数换底公式：说出logab，logba的关系？化简.提

3、示logablogba1；logab.2如图给出4个对数函数的图象比较a，b，c，d与1的大小关系提示0cd1a0，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数()(3)函数yln 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()题组二教材改编2log29log34log45log52 .答案23已知a2，blog2，c，则a，b，c的大小关系为 答案cab解析0a1，b1.cab.4函数y的定义域是 答案解析由(2x1)0，得02

4、x11.0，log5ba，lg bc,5d10，则下列等式一定成立的是()Adac BacdCcad Ddac答案B6已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1 Ba1,0c1C0a1 D0a1,0c1答案D解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，0a1，图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，该函数的图象是由函数ylogax的图象向左平移不到1个单位后得到的，0c1.7若loga0且a1)，则实数a的取值范围是 答案(1，)解析当0a1时，logalogaa1，0a1时，loga1.实数a的取值范围是(1，).题型一

5、对数的运算1设2a5bm，且2，则m等于()A. B10 C20 D100答案A解析由已知，得alog2m，blog5m，则logm2logm5logm102.解得m.2计算：100 .答案20解析原式(lg 22lg 52)100lg10lg 1021021020.3计算： .答案1解析原式1.4设函数f(x)3x9x，则f(log32) .答案6解析函数f(x)3x9x，f(log32)246.思维升华 对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用

6、对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算题型二对数函数的图象及应用例1 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)ln(x1)，则函数f(x)的大致图象为()答案C解析先作出当x0时，f(x)ln(x1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数f(x)在R上的大致图象，如选项C中图象所示(2)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数即方程|log0.5x|x的解的个数，即函数y|log0.5x|与函数yx图象交点的个数，作出两函数的图象(图

7、略)可知它们有2个交点(3)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A. B. C(1，) D(，2)答案B解析由题意得，当0a1时，要使得4xlogax，即当0x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方又当x时，2，即函数y4x的图象过点.把点代入ylogax，得a.若函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方，则需a1时，不符合题意，舍去所以实数a的取值范围是.引申探究若本例(3)变为方程4xlogax在上有解，则实数a的取值范围为 答案解析若方程4xlogax在上有解，则函数y4x和函数ylogax在上有交点，由图象知解得01时，直线yxa与yf(x)只有一个交点题型三对

8、数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例2设alog412，blog515，clog618，则()Aabc Bbca Cacb Dcba答案A解析a1log43，b1log53，c1log63，log43log53log63，abc.命题点2解对数方程、不等式例3 (1)方程log2(x1)2log2(x1)的解为 答案x解析原方程变形为log2(x1)log2(x1)log2(x21)2，即x214，解得x，又x1，所以x.(2)已知不等式logx(2x21)logx(3x)0成立，则实数x的取值范围是 答案解析原不等式或解不等式组得x0在区间(，2上恒成立且函数yx2ax3a在(，2上

9、单调递减，则2且(2)2(2)a3a0，解得实数a的取值范围是4,4)，故选D.(2)函数f(x)log2(2x)的最小值为 答案解析依题意得f(x)log2x(22log2x)(log2x)2log2x2，当log2x，即x时等号成立，所以函数f(x)的最小值为.(3)已知函数f(x)若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是 答案(1,2解析当x1时，f(x)1log2x1，当xcb BbcaCcba Dcab答案D解析alog32log331，blog52log221，所以c最大由1log23，即ab，所以cab.(2)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区

10、间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是 答案解析当a1时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数，由f(x)1在区间1,2上恒成立，则f(x)minf(2)loga(82a)1，且82a0，解得1a.当0a1在区间1,2上恒成立，知f(x)minf(1)loga(8a)1，且82a0.a4，且a4，故不存在综上可知，实数a的取值范围是.比较指数式、对数式的大小比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同

11、则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.例 (1)已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是()AabcCabbc答案B解析因为alog23log2log23log231，blog29log2log23a，clog32c.(2)(2018全国)设alog0.20.3，blog20.3，则()Aabab0 Babab0Cab0ab Dab0log0.210，blog20.3log210，ablog0.30.4log0.310，01，abab0.(3)设a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则a，b，c

12、的大小关系是_答案cb1，blog0.40.5(0,1)，clog80.4bc.(4)若实数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中不可能成立的是_(填序号)abc；bac；cba；acb.答案解析由loga2logb2logc2的大小关系，可知a，b，c有如下可能：1cba；0a1cb；0ba1c；0cbaac解析易知yf(x)是偶函数当x(0，)时，f(x)f|log2x|，且当x1，)时，f(x)log2x单调递增，又af(3)f(3)，bff(4)，所以bac.1log29log34等于()A. B. C2 D4答案D解析方法一原式4.方法二原式2log23224.2

13、设alog37，b21.1，c0.83.1，则a，b，c的大小关系是()Abac Bcab Ccba Dacb答案B解析alog37，1a2.c0.83.1，0c1.即cab.3已知函数f(x)则f(f(1)f的值是()A5 B3 C1 D.答案A解析由题意可知f(1)log210，f(f(1)f(0)3012，f3log313log321213，所以f(f(1)f5.4函数f(x)(0a0时，f(x)logax单调递减，排除A，B；当x0，a1)在区间内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为()A(0，) B(2，)C(1，) D.答案A解析令Mx2x，当x时，M(1，)，f(x)0，所

14、以a1，所以函数ylogaM为增函数，又M2，因此M的单调递增区间为.又x2x0，所以x0或xb1.若logablogba，abba，则a ，b .答案42解析令logabt，ab1，0t1时，由1log2x2，解得x，所以x1.综上可知x0.9设实数a，b是关于x的方程|lg x|c的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是 答案(0,1)解析由题意知，在(0,10)上，函数y|lg x|的图象和直线yc有两个不同交点，ab1,0clg 101，abc的取值范围是(0,1)10已知函数f(x)ln，若f(a)f(b)0，且0ab1，则ab的取值范围是 答案解析由题意可知lnln0，即

15、ln0，从而1，化简得ab1，故aba(1a)a2a2，又0ab1，0a，故020，且a1)，且f(1)2.(1)求实数a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值解(1)f(1)2，loga42(a0，且a1)，a2.由得1x0时，f(x)x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解(1)当x0，则f(x)(x)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)所以x2可化为f(|x21|)f(4)又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以0|x21|4，解得x2，所以x1或x1.所以x.所以不等式的解集为x|x0，则实数a的取值范围是()A. B. C.

16、D.答案A解析当0a0，即0a1，解得a，故a1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1a)0，即1a1，解得a1时，ylogau是增函数，f(x)maxloga42，得a2；当0a1时，ylogau是减函数，f(x)maxloga2，得a(舍去)故a2.16已知函数f(x)lg.(1)计算：f(2 020)f(2 020)；(2)对于x2,6，f(x)0，得x1或x1或x1又f(x)f(x)lg0，f(x)为奇函数故f(2 020)f(2 020)0.(2)当x2,6时，f(x)lg恒成立可化为(x1)(7x)在2,6上恒成立又当x2,6时，(x1)(7x)x28x7(x4)29.当x4时，(x1)(7x)max9，m9.即实数m的取值范围是(9，)