2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式

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1、4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式最新考纲考情考向分析1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tan x2.能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式.考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力题型为选择题和填空题，低档难度.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan (k，kZ).2.诱导公式公式一二三四五角2k(kZ)(2k1)(kZ)正弦sin sin sin cos cos 余弦cos

2、cos cos sin sin 正切tan tan tan cot cot 口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限概念方法微思考1使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？提示根据角所在象限确定三角函数值的符号2诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k(kZ)和的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，为锐角，则sin2cos21.()(2)若R，则tan 恒成立()(3)sin()sin 成立的条件是为锐角()(4)若sin(k)

3、(kZ)，则sin .()题组二教材改编2若sin ，则tan .答案解析，cos ，tan .3已知tan 2，则的值为 答案3解析原式3.4化简sin()cos(2)的结果为 答案sin2解析原式(sin )cos sin2.题组三易错自纠5已知sin cos ，且，则cos sin 的值为 答案解析，cos 0，sin sin ，cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12，cos sin .6(2018鄂尔多斯诊断)已知为锐角，cos，则cos() .答案解析cossin ，且为锐角，cos ，cos()cos .7已知cos ，0，则的值为 答案解析0，sin

4、 ，tan 2.则.题型一同角三角函数基本关系式的应用1已知是第四象限角，sin ，则tan 等于()A B. C D.答案C解析因为是第四象限角，sin ，所以cos ，故tan .2若tan ，则cos22sin 2等于()A. B. C1 D.答案A解析tan ，则cos22sin 2.3若角的终边落在第三象限，则的值为()A3 B3 C1 D1答案B解析由角的终边落在第三象限，得sin 0，cos 0，故原式123.4已知cos xsin x，x(0，)，则tan x等于()A BC2 D2答案A解析由cos xsin x，sin2xcos2x1，x(0，)，解得sin x，cos x

5、，所以tan x.思维升华 (1)利用sin2cos21可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角所在象限确定符号；利用tan 可以实现角的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.题型二诱导公式的应用例1 (1)已知A(kZ)，则A的值构成的集合是()A1，1,2，2 B1,1C2，2 D1，1,0,2，2答案C解析当k为偶数时，A2；当k为奇数时，A2.(2)化简： .答案1解

6、析原式1.思维升华 (1)诱导公式的两个应用求值：负化正，大化小，化到锐角为终了化简：统一角，统一名，同角名少为终了(2)含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算如cos(5)cos()cos .跟踪训练1 (1)已知角终边上一点P(4,3)，则的值为 答案解析原式tan ，根据三角函数的定义得tan .(2)已知f()(sin 0,12sin 0)，则f .答案解析f()，f.题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例2 (1)(2018铁岭模拟)已知cos，且，则cos等于()A. B.C D答案D解析

7、因为，所以cossinsin.因为，所以0，所以，所以sin. (2)已知x0，sin(x)cos x.求sin xcos x的值；求的值解由已知，得sin xcos x，两边平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.(sin xcos x)212sin xcos x，由x0知，sin x0，又sin xcos x0，sin xcos x0，故sin xcos x.引申探究本例(2)中若将条件“x0”改为“0x”，求sin xcos x的值解若0x0，cos x0，故sin xcos x.思维升华 (1)利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，

8、关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形(2)注意角的范围对三角函数符号的影响跟踪训练2 (1)(2018营口模拟)已知角的终边在第三象限，tan 22，则sin2sin(3)cos(2)cos2等于()A B. C D.答案D解析由tan 22可得tan 22，即tan2tan 0，解得tan 或tan .又角的终边在第三象限，故tan ，故sin2sin(3)cos(2)cos2sin2sin cos cos2.(2)已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，则f(2 019)的值为()A1 B1C3 D3答案D解析f(4)asin(4)bcos(4)asin

9、bcos 3，f(2 019)asin(2 019)bcos(2 019)asin()bcos()(asin bcos )3.1已知是第四象限角，tan ，则sin 等于()A. B C. D答案D解析因为tan ，所以，所以cos sin ，代入sin2cos21，解得sin ，又是第四象限角，所以sin .2已知为锐角，且sin ，则cos()等于()A B. C D.答案A解析为锐角，cos ，cos()cos .3(2018包头质检)已知sin()cos(2)，|，则等于()A B C. D.答案D解析sin()cos(2)，sin cos ，tan .又|0，所以原式sin cos

10、.故选A.8已知sin xcos x，x(0，)，则tan x等于()A B. C. D答案D解析由题意可知sin xcos x，x(0，)，则(sin xcos x)2，因为sin2xcos2x1，所以2sin xcos x，即，得tan x或tan x.当tan x时，sin xcos x0，所以A为锐角，由tan A以及sin2Acos2A1，可求得sin A.10(2018朝阳检测)sin cos tan的值是 答案解析原式sincostan().11已知0，若cos sin ，则的值为 答案解析因为cos sin ，所以12sin cos ，即2sin cos .所以(sin cos

11、 )212sin cos 1.又00.所以sin cos .由得sin ，cos ，tan 2，所以.12(2018葫芦岛模拟)已知kZ，化简： .答案1解析当k2n(nZ)时，原式1；当k2n1(nZ)时，原式1.综上，原式1.13若sin ，cos 是方程4x22mxm0的两根，则m的值为()A1 B1C1 D1答案B解析由题意知sin cos ，sin cos ，又(sin cos )212sin cos ，1，解得m1，又4m216m0，m0或m4，m1.14已知为第二象限角，则cos sin .答案0解析原式cos sin cos sin ，因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以cos sin 110，即原式等于0.15已知，且sin()cos.cos()cos()，求，.解由已知可得sin23cos22，sin2，又，sin ，.将代入中得sin ，又，综上，.16已知cossin1.求cos2cos 1的取值范围解由已知得cos 1sin .1cos 1，11sin 1，又1sin 1，可得0sin 1，cos2cos 1sin21sin 1sin2sin 2.(*)又0sin 1，当sin 时，(*)式取得最小值，当sin 0或sin 1时，(*)式取得最大值0，故所求范围是.