2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数2.8 函数与方程
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1、2.8函数与方程最新考纲考情考向分析结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.利用函数零点的存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围,是高考的热点,题型以选择、填空题为主,也可和导数等知识交汇出现解答题,中高档难度.1.函数的零点一般地,如果函数yf(x)在实数处的值等于零,即f()0,则叫做这个函数的零点.2.零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a,b上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,
2、0)(x1,0)无交点零点个数210概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断,是否可得到函数f(x)只有一个零点?提示不能题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)f(x)x2,g(x)2x,h(x)log2x,当x(4,)时,恒有h(x)f(x)g(x)()题组二教材改编2函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1,2) B(2,3)C.和(3,4) D(4
3、,)答案B解析f(2)ln 210且函数f(x)的图象在(0,)上连续不断,f(x)为增函数,f(x)的零点在区间(2,3)内3函数f(x)ex3x的零点个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析由f(x)ex30,得f(x)在R上单调递增,又f(1)30,因此函数f(x)有且只有一个零点题组三易错自纠4函数f(x)ln2x3ln x2的零点是()A(e,0)或(e2,0) B(1,0)或(e2,0)C(e2,0) De或e2答案D解析f(x)ln2x3ln x2(ln x1)(ln x2),由f(x)0得xe或xe2.5已知函数f(x)x(x0),g(x)xex,h(x)xln x(x0)的
4、零点分别为x1,x2,x3,则()Ax1x2x3 Bx2x1x3Cx2x3x1 Dx3x10),yex,yln x(x0)的图象,如图所示,可知选C.6若二次函数f(x)x22xm在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是 答案(8,1解析mx22x在(0,4)上有解,又x22x(x1)21,yx22x在(0,4)上的值域为(8,1,8m1.题型一函数零点所在区间的判定1设f(x)ln xx2,则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析f(1)ln 11210,f(1)f(2)0,函数f(x)ln xx2在(0,)上的图象是连续的,
5、且为增函数,f(x)的零点所在的区间是(1,2)2若abc,则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a,b)和(b,c)内 B(,a)和(a,b)内C(b,c)和(c,)内 D(,a)和(c,)内答案A解析ab0,f(b)(bc)(ba)0,由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内,故选A.3已知函数f(x)logaxxb(a0且a1)当2a3b4时,函数f(x)的零点x0(n,n1),nN,则n .答案2解析对
6、于函数ylogax,当x2时,可得y1,在同一坐标系中画出函数ylogax,yxb的图象,判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内,函数f(x)的零点x0(n,n1)时,n2.思维升华 判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理对于含有参数的函数的零点区间问题,往往要结合图象进行分析,一般是转化为两函数图象的交点,分析其横坐标的情况进行求解题型二函数零点个数的判断例1 (1)函数f(x)的零点个数是 答案2解析当x0时,令x220,解得x(正根舍去),所以在(,0上,f(x)有一个零点;当x0时,f(x)20恒成立,所以f(x)在(0,)上是增函数又因为f(2)2ln 20,所以f(x
7、)在(0,)上有一个零点,综上,函数f(x)的零点个数为2.(2)(2018呼伦贝尔模拟)函数f(x)|x2|ln x在定义域内的零点的个数为()A0 B1 C2 D3答案C解析由题意可知f(x)的定义域为(0,),在同一直角坐标系中画出函数y|x2|(x0),yln x(x0)的图象,如图所示由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.(3)函数f(x)cos x在0,)内()A没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点答案B解析当x时,因为f(x)sin x,0,sin x0,所以f(x)0,故f(x)在0,1上单调递增,且f(0)10,所以f(x)在0,1内有唯一
8、零点当x1时,f(x)cos x0,故函数f(x)在0,)上有且仅有一个零点,故选B.思维升华 函数零点个数的判断方法(1)直接求零点(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数(3)利用函数图象的交点个数判断跟踪训练1 (1)已知函数f(x)则函数g(x)f(1x)1的零点个数为()A1 B2C3 D4答案C解析g(x)f(1x)1易知当x1时,函数g(x)有1个零点;当x1,函数f(x)的零点个数即为函数y1sin 2x(x1)与y2|ln(x1)|(x1)的图象的交点个数分别作出两个函数的图象,如图,可知有两个交点,则f(x)有两个零点题型三函数零点的应用命题点1根据函数零点个
9、数求参数例2 (1)(2018大连模拟)若函数f(x)x2ax1在区间上有零点,则实数a的取值范围是()A(2,) B2,)C. D.答案D解析由题意知方程axx21在上有实数解,即ax在上有解,设tx,x,则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.(2)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是 答案(1,0)解析关于x的方程f(x)k有三个不同的实根,等价于函数yf(x)与函数yk的图象有三个不同的交点,作出函数的图象如图所示,由图可知实数k的取值范围是(1,0)命题点2根据函数零点的范围求参数例3 若函数f(x)(m2)x2mx2m1的两个零点分别在区
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