2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.3 平面向量的数量积

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1、5.3平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的垂直关系一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a，b，作a，b，则AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a，b(2)范围向量夹角a，b的范围是0，且a

2、，bb，a(3)向量垂直如果a，b，则a与b垂直，记作ab.2向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图)，作a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为，则由三角函数中的余弦定义有al|a|cos .3向量的数量积(1)向量的数量积(内积)的定义|a|b|cosa，b叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)向量数量积的性质如果e是单位向量，则aeea|a|cosa，e；ab

3、ab0；aa|a|2，|a|；cosa，b (|a|b|0)；|ab|a|b|.(3)向量数量积的运算律交换律：abba.对R，(ab)(a)ba(b)分配律：(ab)cacbc.(4)向量数量积的坐标运算与度量公式设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b1a2b2；aba1b1a2b20；|a|；cosa，b.概念方法微思考1a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影相同吗？提示不相同因为a在b方向上的正投影为|a|cos ，而b在a方向上的正投影为|b|cos ，其中为a与b的夹角2两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定当夹角为0时，数量积也大于0.题组一思考辨析

4、1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()(5)两个向量的夹角的范围是.()(6)若ab0，|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x122.x，cos x1，当cos x时，f(x)取得最小值；当cos x1时，f(x)取得最大值1.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或

5、等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)因为m，n(sin x，cos x)，mn.所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因为|m|n|1，所以mncos ，即sin xcos x，所以sin，因为0x，所以x0”是“a与b的夹角为锐角”的()A充

6、分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析根据向量数量积的定义式可知，若ab0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有ab0，所以“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.2已知向量a(1,1)，b(2，3)，若ka2b与a垂直，则实数k的值为()A1 B1C2 D2答案B解析向量a(1,1)，b(2，3)，则ka2b.若ka2b与a垂直，则k4k60，解得k1.故选B.3(2018乌海模拟)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，ab(，)，则|2ab|等于()A2 B.C. D2答案A解析根据题意，|ab|，则(ab)2a

7、2b22ab 52ab5，可得ab0，结合|a|1，|b|2，可得(2ab)24a2b24ab448，则2，故选A.4(2018辽阳模拟)非零向量a，b 满足：|ab|a|，a(ab)0，则ab 与b 夹角的大小为()A135 B120C60 D45答案A解析非零向量a，b满足a(ab)0，a2ab，由|ab|a| 可得，a22abb2a2，解得|b|a|，cos ，135，故选A.5(2019丹东模拟)已知两个单位向量a和b的夹角为60，则向量ab在向量a方向上的正投影为()A1 B1C D.答案D解析由题意可得 |a|b|1，且 ab|a|b|cos 60，a(ab)a2ab1，则向量ab

8、在向量a方向上的正投影为 .故选D.6(2018通辽质检)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则的取值范围是()A1,0 B1,2C1,3 D1,4答案C解析如图所示，由题意可得，点M所在区域的不等式表示为(x1)2(y1)21(0x2,0y2)可设点M(x，y)，A(0,0)，B(2,0)(x，y)(2x，y)x(2x)y2(x1)2y21，由0,2，1,3，故选C.7(2018营口模拟)若平面向量a，b满足b7，|a|，|b|2，则向量a与b的夹角为_答案解析(ab)babb27，ab7b23.设向量a与b的夹角为，则cos .又0，即向量a与b的夹角为.8已知向

9、量a，b满足|a|1，|b|，|ab|，则a在b方向上的正投影为_答案解析向量a，b满足|a|1，|b|，|ab|，|ab|，解得ab1.a在b方向上的正投影为.9.如图，在ABC中，AC3，BC4，C90，D是BC的中点，则的值为_答案17解析如图，建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，D(0,2)则(3，4)，(3,2)3(3)4217.10.如图，在ABC中，AB3，AC2，D是边BC的中点，则_.答案解析利用向量的加减法法则可知，()()(22).11已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求

10、ABC的面积解(1)因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab6，所以cos .又0，所以.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.(3)因为与的夹角，所以ABC.又|a|4，|b|3，所以SABC|sinABC433.12已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，求()的最小值解方法一设BC的中点为D，AD的中点为E，则有2，则()22()()2(22)而22，当P与E重合时，2有最小值0，故此时()取最小值，最小值为222.方法二以AB所在直线为x轴，A

11、B的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，则D.()22(1x，y)22.因此，当x，y时，()取最小值，为2.13(2018南宁摸底)已知O是ABC内部一点，0，2且BAC60，则OBC的面积为()A. B.C. D.答案A解析0，O为三角形的重心，OBC的面积为ABC面积的，2，|cosBAC2，BAC60，|4，ABC的面积为|sinBAC，OBC的面积为，故选A.14(2019衡阳模拟)在ABC中，A120，3，点G是ABC的重心，则|的最小值是()A. B.C. D.答案B解析设BC的中点为D，因为点G是ABC的

12、重心，所以()()，再令|c，|b，则bccos 1203，所以bc6，所以|2(|22|2)(c2b26)(2bc6)，所以|，当且仅当bc时取等号，故选B.15.如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABAD，AB，BC2，点E为AB的中点，若2，则向量在向量上的投影为_答案解析如图，以BC，BA为x，y轴建立平面直角坐标系，则C(2,0)，B(0,0)，A(0，)，E.设ADa，则D(a，)，则，(a，)，2a12，a，(2,0)1，在方向上的投影是.16.如图，等边ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上滑动，M为AB的中点，求的最大值解设OBC，则B，C，A，M，2sinsin4cos22cos26cos cos2sin224cos26cos cos24cos26cos 2cos23sin cos cos 2sin 2sin.的最大值为.