2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

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1、4.4函数yAsin(x)的图象及应用最新考纲考情考向分析1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象2.了解参数A，对函数图象变化的影响3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.以考查函数yAsin(x)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识题型为选择题和填空题，中档难度.1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x

2、)(A0，0，xR)一个周期内的简图时，要找五个特征点xx02yAsin(x)0A0A03.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种途径概念方法微思考1怎样从ysin x的图象变换得到ysin(x)(0，0)的图象？提示向左平移个单位长度2函数ysin(x)图象的对称轴是什么？提示x(kZ)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin的图象是由ysin的图象向右平移个单位长度得到的()(2)将函数ysin x的图象向右平移(0)个单位长度，得到函数ysin(x)的图象()(3)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两

3、个相邻对称中心之间的距离为.()(4)函数ysin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为ysin x.()题组二教材改编2为了得到函数y2sin的图象，可以将函数y2sin 2x的图象向 平移 个单位长度答案右3y2sin的振幅、频率和初相分别为 答案2，4如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b，则这段曲线的函数解析式为 答案y10sin20，x6,14解析从题图中可以看出，从614时的是函数yAsin(x)b的半个周期，所以A(3010)10，b(3010)20，又146，所以.又1022k，kZ，取，所以y10sin20，x

4、6,14题组三易错自纠5要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度答案A解析ysinsin，要得到ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象向左平移个单位长度6将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为 答案y2sin解析函数y2sin的周期为，将函数y2sin的图象向右平移个周期，即个单位长度，所得函数为y2sin2sin.7(2018乌海模拟)ycos(x1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是 答案解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期，故

5、它们之间的距离为.8(2018沈阳质检)若函数f(x)Asin(x)(A0，0，0)的部分图象如图所示，则f的值为 答案解析由题干图象可知A2，T，T，2，当x时，函数f(x)取得最大值，22k(kZ)，2k(kZ)，又0，f(x)2sin，则f2sin2cos .题型一函数yAsin(x)的图象及变换例1 (2018丹东模拟)已知函数f(x)Asin(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在0，上的图象(要列表)解(1)因为函数f(x)的最小正周期是，所以2.又因为当x时，f(x)取得最大值2.所以A2，同时22k，kZ，2k，kZ，

6、因为0)个单位长度后得到函数yg(x)的图象，且yg(x)是偶函数，求m的最小值解由已知得yg(x)f(xm)2sin2sin是偶函数，所以2m(2k1)，kZ，m，kZ，又因为m0，所以m的最小值为.思维升华 (1)yAsin(x)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换zx计算五点坐标(2)由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”跟踪训练1(1)(2018本溪调研)若把函数ysin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数ycos x的图象重合，则的一个可能取值是()A2 B. C. D.答案A解析ysin和函数yco

7、s x的图象重合，可得2k，kZ，则6k2，kZ.2是的一个可能值(2)把函数ysin x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为_答案ysin解析把函数ysin x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，得到函数ysin 2x的图象，再把该函数图象向右平移个单位长度，得到函数ysin 2sin的图象题型二由图象确定yAsin(x)的解析式例2 (1)若函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则y .答案2sin解析由题图可知，A2，T2，所以2，由五点作图法可知2，所以，所以函数的解析式为y2sin.(2)

8、已知函数f(x)sin(x) 的部分图象如图所示，则yf取得最小值时x的集合为 答案解析根据题干所给图象，周期T4，故，2，因此f(x)sin(2x)，另外图象经过点，代入有22k(kZ)，再由|0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点对称，则m的值可能为()A. B.C. D.答案D解析依题意得解得，故2，则f(x)sin(2x).又fsin，故2k(kZ)，即2k(kZ)因为|0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求a和的值；(2)求函数f(x)在0，上的单调递减区间解(1)当sin1时，f(x)取得最大值21a3a.又f(x)最高点的纵坐标为2，3a2

9、，即a1.又f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，f(x)的最小正周期T，2.(2)由(1)得f(x)2sin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.令k0，得x.函数f(x)在0，上的单调递减区间为.命题点2函数零点(方程根)问题例4 已知关于x的方程2sin2xsin 2xm10在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是 答案(2，1)解析方程2sin2xsin 2xm10可转化为m12sin2xsin 2xcos 2xsin 2x2sin，x.设2xt，则t，题目条件可转化为sin t，t有两个不同的实数根y和ysin t，t的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的取值范围是，故m的

10、取值范围是(2，1)引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是 答案2,1)解析由上例题知，的取值范围是，2m0)满足f(0)f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为 答案解析f(0)f，x是f(x)图象的一条对称轴，f1，k，kZ，6k2，kZ，T(kZ)又f(x)在上有且只有一个零点，T，(kZ)，k0)的最小正周期是，则其图象向右平移个单位长度后对应函数的单调递减区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案B解析由题意知2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)coscossin 2x的图象，由2k2x2

11、k(kZ)，解得所求函数的单调递减区间为(kZ)4若函数ysin(x)在区间上的图象如图所示，则，的值分别是()A2， B2，C， D，答案A解析由题图可知，T2，所以2，又sin0，所以2k(kZ)，即2k(kZ)，又|0)个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则a的最小值是()A. B. C. D.答案B解析依题意得f(x)2sin，因为函数f(xa)2sin的图象关于y轴对称，所以sin1，ak，kZ，即ak，kZ，又a0，所以ak，kN.因此正数a的最小值是，故选B.6函数f(x)sin x(0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是()A. B2 C1 D.答案C解析

12、依题意得，函数fsin(0)的图象过点，于是有fsinsin 0(0)，所以k，kN，即k，kN，因此正数的最小值是1，故选C.7.已知函数f(x)Atan(x)的部分图象如图所示，则f_.答案解析由题干图象知2，所以2.因为2k(kZ)，所以k(kZ)，又|，所以，这时f(x)Atan.又函数图象过点(0,1)，代入上式得A1，所以f(x)tan.所以ftan.8.函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，已知图象经过点A(0，1)，B，则f(x)_.答案2sin解析由已知得，T，又T，3.f(0)1，sin ，又00)，xR.若函数f(x)在区间(，)内单调递增，且函数yf(x)的图象

13、关于直线x对称，则的值为_答案解析f(x)sin xcos xsin，因为f(x)在区间(，)内单调递增，且函数图象关于直线x对称，所以f()必为一个周期上的最大值，所以有2k，kZ，所以22k，kZ.又()，即2，即2，所以.11已知函数yAsin(x)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间解(1)依题意得A5，周期T4，2.故y5sin(2x)，又图象过点P，5sin0，由已知可得k，kZ，|0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将f(x)的图象向左平移m(m0)个单位长度得到函数g(x

14、)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间解(1)函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f(x)的最小正周期T2，得1，故函数f(x)的解析式为f(x)sin.(2)将f(x)的图象向左平移m(m0)个单位长度得到函数g(x)sinsin的图象，根据g(x)的图象恰好经过点，可得sin0，即sin0，所以2mk(kZ)，m(kZ)，因为m0，所以当k0时，m取得最小值，且最小值为.此时，g(x)sin.因为x，所以2x.当2x，即x时，g(x)单调递增，当2x，即x时，g(x)单调递增综上，g(x)在区间上的单调递增区间是和.13将函数f(x)sin(2x

15、)的图象向右平移(0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则的值为_答案解析g(x)sin2(x)sin(2x2)，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，所以sin ，sin(2)，又，所以，sin.又0，所以20)，xR.在曲线yf(x)与直线y1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为_答案解析f(x)sin xcos x2sin(0)由2sin1，得sin，x2k或x2k(kZ)令k0，得x1，x2，x10，x2.由|x1x2|，得，2.故f(x)的最小正周期T.15已知函数yMsin(x)(M0，0,0)的图象关于直线x对称该

16、函数的部分图象如图所示，ACBC，C90，则f的值为_答案解析依题意知，ABC是直角边长为的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是，函数f(x)的最小正周期是2，故M，2，f(x)sin(x)又f(x)的图象关于直线x对称，fsin.k，kZ，又0，f(x)sin，fsin.16已知函数f(x)Asin(2x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x对称，若存在x，使m23mf(x)成立，求实数m的取值范围解函数f(x)Asin(2x)的图象在y轴上的截距为1，Asin 1，即Asin .函数f(x)Asin(2x)的图象关于直线x对称，2k，kZ，又0，Asin，A，f(x)sin.当x时，2x，当2x，即x时，f(x)min2.令m23m2，解得m2或m1.