2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

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1、7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲考情考向分析1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.以线性、非线性目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度为中低档.1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等

2、式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数要求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题概念方法微思考1不等式x0表示的平面区域是什么？提示不等式x0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴)2可行解一定是最优解吗？二者有何关系？提示不一定最优解是可行解中的一个或多个最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，

3、最优解不一定唯一题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集()(2)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.()(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示()(5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解()(6)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()题组

4、二教材改编2不等式组表示的平面区域是()答案B解析x3y60表示直线x3y60及其右下方部分，xy20表示直线xy20的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分3投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为_(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)答案解析用表格列出各数据AB总数产品吨数xy资金200x300y1 400场地200x100y900所以不难看出，x0，y0，200x30

5、0y1 400，200x100y900.题组三易错自纠4下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是()A(0，0) B(1，1)C(1，3) D(2，3)答案C解析把各点的坐标代入可得(1，3)不适合，故选C.5(2018全国)若x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为_答案6解析作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示由z3x2y，得yx.作直线l0：yx，平移直线l0，当直线yx过点(2，0)时，z取最大值，zmax32206.6已知x，y满足若使得zaxy取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为_答案1解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线za

6、xy和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，akAB1，a1.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题例1 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是()A. B. C2 D2答案B解析作出不等式组表示的平面区域是以点O(0，0)，B(2，0)和A(1，)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为2，故选B.命题点2含参数的平面区域问题例2 若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是()Aa B0a1C1a D0a1或a答案D解析作出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)由图知，要使原不等式

7、组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：xya在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)思维升华 平面区域的形状问题主要有两种题型：(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论跟踪训练1 (1)不等式组表示的平面区域的形状为()A等边三角形 B梯形C等腰直角三角形 D正方形答案C解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界)(2)已知由不等式组确定的平面区域的面积为7，则k的值为()A3 B1

8、C3 D1答案B解析作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.由于直线ykx2恒过点B(0，2)，且原点的坐标恒满足ykx2，当k0时，y2，此时平面区域的面积为6，由于67，由此可得k1，即m，即m1，即A(0，2)，B，C(2，0)；由图象，得当直线zxy过点A(0，2)时，z取得最小值为2.故选A.5设x，y满足约束条件向量a(2x，1)，b(1，my)，则满足ab的实数m的最小值为()A. BC. D答案B解析由向量a(2x，1)，b(1，my)，ab得2xmy0，整理得my2x，根据约束条件画出可行域，将求m的最小值转化为求y2x

9、m在y轴上的截距的最小值，当直线y2xm经过点A时，m最小，由解得A，则实数m的最小值为2.故选B.6(2019锦州质检)已知实数x，y满足不等式组且z2xy的最大值是最小值的2倍，则a等于()A. B. C. D.答案B解析根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图阴影部分所示(含边界)：作出直线l：y2x，平移直线l，由图可知，当直线经过点D时，直线在y轴上的截距最小，此时z2xy取得最大值，由可得D(1,1)，所以z2xy的最大值是1；当直线经过点B时，直线在y轴上的截距最大，此时z2xy取得最小值，由可得B(a,2a)，所以z2xy的最小值是3a2，因为z2xy的最大值是最小值的2

10、倍，所以6a41，解得a，故选B.7已知点Q(2,0)，点P(x，y)的坐标满足约束条件则|PQ|的最小值为()A. B. C1 D.答案B解析画出P(x，y)的坐标满足条件的可行域如图阴影部分所示(含边界)：易得Q到直线xy1的距离最小，|PQ|min.故选B.二、填空题8(2018全国)若变量x，y满足约束条件则zxy的最大值是_答案3解析画出可行域如图阴影部分所示，由zxy得y3x3z，作出直线y3x，并平移该直线，当直线y3x3z过点A(2,3)时，目标函数zxy取得最大值为233.9(2019通辽检测)设实数x，y满足则目标函数z的最小值为_答案2解析画出可行域，如图中阴影部分所示(

11、不含y轴)，则z表示可行域内的动点P(x，y)与坐标原点O(0,0)的连线的斜率，所以结合图形易知，当动点P与点A重合时，目标函数z取得最小值解方程组得即A(2,4)，故zminkOA2.10(2018包头模拟)若x，y满足约束条件则的最小值为_答案解析画出x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分所示(含边界)的几何意义为可行域内的动点P(x，y)与定点Q(2，1)连线的斜率，当P位于A(1,1)时，直线PQ的斜率最大，此时kmax2，当P位于B(1,1)时，直线PQ的斜率最小，此时kmin.11(2019丹东模拟)设变量x，y 满足约束条件则目标函数z2xy 的最大值为_答案解析绘制不等式组表

12、示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，要求解目标函数z2xy 的最大值，只需求解函数z2xy的最小值，结合函数z2xy的几何意义可知，函数z2xy在点C(1,1)处取得最小值zmin213，则目标函数z2xy 的最大值为3.12(2016全国)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利

13、润之和的最大值为_元答案216 000解析设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为目标函数z2 100x900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元)13(2018大连模拟)设x，y满足约束条件则z的最大值为_答案1解析由约束条件作出可行域(如图阴影部分含边界)，可知z恒大于等于0，则目标函数z的几何意义是可行域内(包括边界)的点与点A(3,0)连线的斜率的绝对值的取值范围，由可行域可知直线|

14、kAB|1，|kAC|，故最大值为1.三、解答题14变量x，y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y26x4y13，求z的最大值解由约束条件作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)由解得A.由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)因为z，所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知zminkOB.(2)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点B到(3,2)的距离最大，dmax8，故z的最大值为64.15若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点

15、(1,0)处取得最小值，求a的取值范围解(1)作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直线xy0，当直线过A(3,4)时，z取最小值2，过C(1,0)时，z取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a2.故a的取值范围是(4,2)16已知函数f(x)x2bxc的图象与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且0x11x22，求b2c的取值范围解由函数f(x)x2bxc的图象与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且0x11x22，则设zb2c，作出约束条件所表示的平面区域(如图阴影部分，不含边界)，如图所示，由图象可知，当zb2c经过点A时，目标函数zb2c取得最大值，当zb2c经过点B时，目标函数zb2c取得最小值，又由解得A(3,2)，此时zmax3221，由解得B(2,0)，此时zmin2202，所以b2c的取值范围是(2,1)