2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.5 复　数

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1、5.5复数最新考纲考情考向分析1.理解复数的基本概念2.理解复数相等的充要条件3.了解复数的代数表示法及其几何意义4.能进行复数代数形式的四则运算5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，突出考查运算能力与数形结合思想一般以选择题、填空题的形式出现，难度为低档.1复数的有关概念(1)定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类abi为实数b0abi为虚数

2、b0abi为纯虚数a0且b0(3)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(4)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(5)模：向量的模叫做复数zabi的模，记作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，bR)2复数的几何意义复数zabi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量(a，b)(a，bR)是一一对应关系3复数的运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.概念方法微思考1复数abi的实部为a，虚部为b吗

3、？提示不一定只有当a，bR时，a才是实部，b才是虚部2如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2x10没有解()(2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(4)原点是实轴与虚轴的交点()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()题组二教材改编2设z2i，则|z|等于()A0 B. C1 D.答案C解析z2i2i2ii，|z|1.故选C.3在复平面内，向量对应

4、的复数是2i，向量对应的复数是13i，则向量对应的复数是()A12i B12i C34i D34i答案D解析13i(2i)34i.4若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1 B0C1 D1或1答案A解析z为纯虚数，x1.题组三易错自纠5设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案C解析复数aabi为纯虚数，a0且b0，即a0且b0，“ab0”是“复数a为纯虚数”的必要不充分条件故选C.6(2019葫芦岛模拟)若复数z满足iz22i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象

5、限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析由题意，z22i，22i，则z的共轭复数对应的点在第二象限故选B.7i2 014i2 015i2 016i2 017i2 018i2 019i2 020_.答案i解析原式i2i3i4i1i2i3i4i.题型一复数的概念1若复数z满足(12i)z1i，则复数z的虚部为()A. BC.i Di答案B解析因为(12i)z1i，所以z，因此复数z的虚部为，故选B.2(2019大连质检)复数的共轭复数是()Ai BiC.i D.i答案D解析由复数i，所以共轭复数为i，故选D.3(2018抚顺模拟)已知复数是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a等于

6、()A4 B4C1 D1答案C解析，复数为纯虚数，2a20且a40，解得a1.故选C.思维升华 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例1 (1)(2018全国)(1i)(2i)等于()A3i B3iC3i D3i答案D解析(1i)(2i)22iii23i.(2)i等于()A32i B32iC32i D32i答案D解析i(23i)2i3i232i，故选D.命题点2复数的除法运算例2 (1)(2018全国)等于()Ai BiCi Di答案D解析i.故选D.(2)(2019通辽诊断)已知

7、i为虚数单位，复数z满足iz2z1，则z等于()Ai B.iC2i D2i答案A解析由iz2z1，得(2i)z1，解得z，即zi，故选A.命题点3复数的综合运算例3 (1)(2019盘锦模拟)已知z(1i)17i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则等于()A. B34iC5 D7答案C解析z34i，故34i|5，故选C.(2)(2018乌海模拟)对于两个复数1i，1i，有下列四个结论：1；i；1；220，其中正确结论的个数为()A1 B2C3 D4答案C解析对于两个复数1i，1i，(1i)(1i)2，故不正确；i，故正确；1，故正确；22(1i)2(1i)212i112i10，故正确故选C.思

8、维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数跟踪训练1 (1)已知aR，i是虚数单位，若zai，z4，则a为()A1或1 B1C1 D不存在的实数答案A解析由题意得ai，故z3a24a1，故选A.(2)(2019铁岭质检)已知复数abi(i是虚数单位，a，bR)，则ab等于()A2 B1C0 D2答案A解析由复数的运算法则，可得1i，结合题意可得abi1i，即a1，b1，据此可得ab2.故选A.题型三复数的几何意义例4 (1)(2018赤峰质检)复数z满足(2i)z，则z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三

9、象限 D第四象限答案D解析(2i)z5，(2i)z5，5z5，z2i，z在复平面内对应的点为，在第四象限，故选D.(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，32i，24i，试求：，所表示的复数；对角线所表示的复数；B点对应的复数解，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.，所表示的复数为(32i)(24i)52i.，所表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.思维升华 复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可跟踪训练2 (1)(2018阜新模拟)已知复

10、数z(i是虚数单位)，则z的共轭复数对应的点在()A第四象限 B第三象限C第二象限 D第一象限答案A解析zi，i，则z的共轭复数对应的点在第四象限故选A.(2)已知复数z112i，z21i，z332i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若xy，则xy的值是_答案5解析由已知得A(1,2)，B(1，1)，C(3，2)，xy，(3，2)x(1,2)y(1，1)(xy,2xy)，解得故xy5.1已知复数z168i，z2i，则等于()A86i B86iC86i D86i答案C解析z168i，z2i，86i.2(2019包头质检)若复数z满足(12i)z2i，其中i为虚数单位，则|z|等于(

11、)A. B.C1 D2答案C解析由题意可得z，则|z|1.故选C.3已知i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析1i，在复平面内对应的点为(1，1)，所以在第四象限，故选D.4已知i为虚数单位，若复数z满足1i，那么|z|等于()A1 B.C. D5答案C解析1i，zi(1i)，iz(2i)i，z2i，|z|，故选C.5已知i为虚数单位，aR，若为纯虚数，则a等于()A. BC2 D2答案B解析由题意知i，又由为纯虚数，所以2a10且a20，解得a，故选B.6若复数z满足z1i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数等于()Ai BiCi

12、 Di答案D解析由题意可得z，所以i，故选D.7已知复数z满足z21216i，则z的模为()A20 B12 C2 D2答案C解析设zabi，a，bR，则由z21216i，得a2b22abi1216i，则解得或即|z|2.故选C.8已知集合M1，m,3(m25m6)i，N1,3，若MN3，则实数m的值为_答案3或6解析MN3，3M且1M，m1,3(m25m6)i3或m3，m25m60且m1或m3，解得m6或m3，经检验符合题意9(2018江苏)若复数z满足iz12i，其中i是虚数单位，则z的实部为_答案2解析由iz12i，得z2i，z的实部为2.10(2018天津)i是虚数单位，复数_.答案4i

13、解析4i.11已知复数z满足z0，则|z|_.答案 解析由复数z满足z0，则z23，所以zi，所以|z|.12若复数z1i，则z的虚部是_答案解析z1i1ii，故虚部为.13(2018营口质检)已知复数z满足(1i)zi3，则|z|_.答案解析由题意知zi，则|z|.14(2019乌海调研)已知i为虚数单位，复数z(1i)23i，则z的虚部为_答案解析由z(1i)23i，得zi，则z的虚部为.15已知复数zbi(bR)，是实数，i是虚数单位(1)求复数z；(2)若复数(mz)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围解(1)因为zbi(bR)，所以i.又因为是实数，所以0，所以b2，即z2i.

14、(2)因为z2i，mR，所以(mz)2(m2i)2m24mi4i2(m24)4mi，又因为复数(mz)2所表示的点在第一象限，所以解得m2，即m(，2)16若虚数z同时满足下列两个条件：z是实数；z3的实部与虚部互为相反数这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由解存在设zabi(a，bR，b0)，则zabiabi.又z3a3bi的实部与虚部互为相反数，z是实数，根据题意有因为b0，所以解得或所以z12i或z2i.17(2018本溪模拟)若复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是()A(，1) B(1，)C(1,1) D(，1)(1，)答案C解析由题意得z，因为z在复平面内对应的点在第一象限，所以所以1ab，则aibi；若aR，则(a1)i是纯虚数；若zi，则z31在复平面内对应的点位于第一象限其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)答案解析由复数的概念及性质知，错误；错误；若a1，则a10，不满足纯虚数的条件，错误；z31(i)31i1，正确