2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1 直线的方程

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1、9.1直线的方程最新考纲考情考向分析1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点.题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.1.平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)|AB|.(2)中点公式：已知平面直角坐

2、标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x，y.2.直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)倾斜角的范围：0，180).3.直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线ykxb中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线，人们常说它的斜率不存在；(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k (x1x2).若直线的倾斜角为，则ktan .4.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不

3、含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用概念方法微思考1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？提示倾斜角0，)，当时，斜率k不存在；因为ktan .当时，越大，斜率k就越大，同样时也是如此，但当(0，)且时就不是了.2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请

4、在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)若直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.()题组二教材改编2.若过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A.1 B.4 C.1或3 D.1或4答案A解析由题意得1，解得m1.3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .答案3x2y0或xy50解析当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直

5、线方程为1，则1，解得a5.所以直线方程为xy50.题组三易错自纠4.直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析由直线方程可得该直线的斜率为，又10，所以倾斜角的取值范围是.5.如果AC0且BC0，在y轴上的截距0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.6.过直线l：yx上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为 .答案x2y20或x2解析若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；若直线m的斜率k0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；若直线m的斜率k0，

6、设其方程为y2k(x2)，令y0，得x2，依题意有22，即1，解得k，所以直线m的方程为y2(x2)，即x2y20.综上可知，直线m的方程为x2y20或x2.题型一直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是 ()A. B.C. D.答案B解析直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2cos 1， .设直线的倾斜角为，则有tan 1， .又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2) (2018抚顺调研)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 .答案(，1，)解析如图，kAP1，

7、kBP，k(， 1，).引申探究1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.解P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围.解如图，直线PA的倾斜角为45，直线PB的倾斜角为135，由图象知l的倾斜角的范围为0，45135，180).思维升华 (1)倾斜角与斜率k的关系当时，k0，).当时，斜率k不存在.当时，k(，0).(2)斜率的两种求法定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率.公式法：若

8、已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率.(3)倾斜角范围与直线斜率范围互求时，要充分利用ytan 的单调性.跟踪训练1 (1)若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于()A.1或0 B.或0C. D.或0答案A解析平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，kABkAC，即，即a(a22a1)0，解得a0或a1.故选A.(2)直线l经过A(3,1)，B(2，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是 .答案解析直线l的斜率k1m21，所以ktan 1.又ytan 在上是增函数，因此0，b0，直线

9、l的方程为1，所以1.|(a2，1)(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)54，当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.命题点2由直线方程解决参数问题例4 已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a0，b0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以1.(1)12 ，所以ab16，当且仅当a8，b2时等号成立，所以当a8，b2时，AOB的面积最小，此时直线l的方程为1，即x4y80.(2)因为1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)552 9，当且仅当a6，b3时等号成立，所以当|OA|OB|取最小值时，直线l的方程为1，即x2y60.一、选择题1.直线x

10、ya0(a为常数)的倾斜角为()A.30 B.60 C.150 D.120答案B解析设直线的倾斜角为，斜率为k，化直线方程为yxa，ktan .0180，60.2.(2018大连模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线yx1的倾斜角小的直线方程是()A.x2 B.y1 C.x1 D.y2答案A解析直线yx1的斜率为1，则倾斜角为，依题意，所求直线的倾斜角为，斜率不存在，过点(2,1)的直线方程为x2.3.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为()A.150 B.135 C.120 D.不存在答案A解析由y，得x2y22(y0

11、)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示.显然直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l为yk(x2)，则圆心到此直线的距离d，弦长|AB|2 2 ，所以SAOB2 1，当且仅当(2k)222k2，即k2时等号成立，由图可得k，故直线l的倾斜角为150.4.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 ()A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2答案D解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，所以0k3k2，因此k1k30，c0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则的最小值为 .答案解析动直线l0：axb

12、yc30(a0，c0)恒过点P(1，m)，abmc30.又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，3，解得m0.ac3.则(ac)，当且仅当c2a2时取等号.三、解答题15.过点P(3,0)作一条直线，使它夹在两直线l1：2xy20与l2：xy30之间的线段AB恰好被点P平分，求此直线的方程.解设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上.由题意知则点B(6x，y)，解方程组得则所求直线的斜率k8，故所求的直线方程为y8(x3)，即8xy240.16.已知直线l：kxy12k0(kR).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.(1)证明直线l的方程可化为yk(x2)1，故无论k取何值，直线l总过定点(2,1).(2)解直线l的方程可化为ykx2k1，则直线l在y轴上的截距为2k1，要使直线l不经过第四象限，则故k的取值范围是k0.(3)解依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，且k0，所以A，B(0,12k)，故S|OA|OB|(12k)(44)4，当且仅当4k，即k时取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40.