2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.5 合情推理与演绎推理

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1、7.5合情推理与演绎推理最新考纲考情考向分析1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单演绎推理3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中低档题.1合情推理合情推理2归纳推理的一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)3类比推理的一般

2、步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)4演绎推理由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理5“三段论”可表示为大前提：M是P；小前提：S是M；结论：所以，S是P.概念方法微思考1合情推理所得结论一定是正确的吗？提示合情推理所得结论是猜想，不一定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确2合情推理对我们学习数学有什么帮助？提示合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向3“三段论”是演

3、绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论，在用其进行推理时，大前提是否可以省略？提示大前提是已知的一般原理，当已知问题背景很清楚的时候，大前提可以省略题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(5)一个数列的前三项是1，2，3，那么这个数列的通项公式是ann(n

4、N)()(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()题组二教材改编2已知在数列an中，a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()Aan3n1 Ban4n3Cann2 Dan3n1答案C解析a2a134，a3a259，a4a3716，a112，a222，a332，a442，猜想ann2.3在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n (n19，nN)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则存在的等式为_答案b1b2bnb1b2b17n(n17，nN)解析利用类比推理，借助等比数列的性质，bb1nb17n，可

5、知存在的等式为b1b2bnb1b2b17n(n17，nN)题组三易错自纠4正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确答案C解析f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提错误5类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行则正确的结论是_(填序号)答案解析显然正确；对于，在空间中垂直于同一条直线的两条直线

6、可以平行，也可以异面或相交；对于，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交6观察下列关系式：1x1x；212x，313x，由此规律，得到的第n个关系式为_答案(1x)n1nx解析左边为等比数列，右边为等差数列，所以第n个关系式为(1x)n1nx(nN)题型一归纳推理命题点1与数式有关的的推理例1 (1)(2018抚顺模拟)周易历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制

7、数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是()A18 B17 C16 D15答案B解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号 “”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为12002102202312402517，故选B.(2)观察下列式子：1，1，1，根据以上式子可以猜想：10且a1)的才是对数函数故选C.2中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出，如7738

8、可用算筹表示为.19这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为()答案D解析根据题意，36729，用算筹记数表示为，故选D.3下列推理是归纳推理的是()AM，N为定点，动点P满足|PM|PN|2a0)，则动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线B由a12，an3n1求出S1，S2，S3，猜想出数列an的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2的面积Sr2，猜想出椭圆1的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇答案B解析A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求C选项由圆x2y2r2的面积S

9、r2，猜想出椭圆1的面积Sab，用的是类比推理，不符合要求D选项用的是演绎推理，不符合要求故选B.4观察下列等式，132332，13233362，13233343102.根据上述规律，132333435363等于()A192 B202 C212 D222答案C解析因为132332，13233362，13233343102，等式的右端依次为(12)2，(123)2，(1234)2，所以132333435363(123456)2212，故选C.5天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、

10、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为()A丙酉年 B戊申年 C己申年 D己酉年答案D解析天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80108，则2029的天干为己

11、，80126余8，则2029的地支为酉，故选D.6甲、乙、丙、丁四名同学一起去向老师询问数学学业水平考试成绩等级老师说：“你们四人中有2人A等，1人B等，1人C等，我现在给甲看乙、丙的成绩等级，给乙看丙的成绩等级，给丙看丁的成绩等级”看后甲对大家说：“我知道我的成绩等级了”根据以上信息，则()A甲、乙的成绩等级相同B丁可以知道四人的成绩等级C乙、丙的成绩等级相同D乙可以知道四人的成绩等级答案D解析由题意，四个人所知的只有自己看到的，以及甲最后所说的话，甲知道自己的等级，则甲已经知道四个人等级，其甲、乙的成绩等级不一定是相同的，所以A是不对的，乙、丙的成绩等级不一定是相同的，所以C是不正确的，丁

12、没有看任何人的成绩等级，所以丁不可能知道四人的成绩等级，所以B是不对的，只有乙可能知道四人的成绩等级，所以D是正确的7在等差数列an中，若公差为d，且a1d，那么有amanamn，类比上述性质，写出在等比数列bn中类似的性质：_.答案在等比数列bn中，若公比为q，且b1q，则bmbnbmn解析等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列bn中，若公比为q，且b1q，则bmbnbmn.”8观察下列等式：11234934567254567891049照此规律，第n个等式为_答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2解析由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个

13、数为n，且连续2n1个整数相加，右边为(2n1)2，故第n个等式为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.9已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN，则f2 019(x)的表达式为_答案f2 019(x)解析f1(x)，f2(x)，f3(x)，fn1(x)f(fn(x)，归纳可得f2 019(x).10.如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2a2b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面的结论有

14、_答案S2SSS解析三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2SSS.11聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2，3，4，5，则按照以上规律，若8 具有 “穿墙术”，则n_.答案63解析22，33，44，55，按照以上规律8，可得n82163.12“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定

15、理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2 018这2 017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列的项数为_答案336解析因为这些整数能被2除余1且被3除余1，所以这些数组成的数列的通项an6n1，设6n12 018，所以6n2 017，所以n336.所以此数列的项数为336.13一质点从坐标原点出发，按如图的运动轨迹运动，每步运动一个单位，例如第3步结束时该质点所在位置的坐标为(0，1)，第4步结束时质点所在位置的坐标为(1，1)，那么第2 018步结束时该质点所在位置的坐标为_答案(16，22)解析当运动：1

16、122步时，坐标为(1，1)；当运动：11223344步时，坐标为(2，2)；当运动：112233445566步时，坐标为(3，3)；当运动：112233445566nn(n为偶数)步时，坐标为.而112233445566nn2 018，即n(n1)2 018(nN)，解得n44.当n44时，该点的坐标为(22，22)，共走了1 980步，此时还需向右走38步，故最终坐标为(16，22)14为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设原信息为a1a2a3，传输信息为h1a1a2a3h2，其中h1a1a2，h2h1a3，运算规则为：000，011，101，

17、110.例如：原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是()A01100 B11010 C10110 D11000答案D解析A选项原信息为110，则h1a1a2110，h2h1a3000，所以传输信息为01100，A选项正确；B选项原信息为101，则h1a1a2101，h2h1a3110，所以传输信息为11010，B选项正确；C选项原信息为011，则h1a1a2011，h2h1a3110，所以传输信息为10110，C选项正确；D选项原信息为100，则h1a1a2101，h2h1a3101，所以传输信息为11001，D选项错误

18、；故选D.15.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A6 B7 C8 D9答案C解析由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为26，第4层的点数为36，第5层的点数为46，第n(n2，nN)层的点数为6(n1)设一个点阵有n(n2，nN)层，则共有的点数为16626(n1)163n23n1，由题意，得3n23n1169，即(n7)(n8)0，所以n8，故共有8层16分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律

19、可寻的一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得ACDBAB，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列Sn的四个命题：数列Sn不是等比数列；数列Sn是递增数列；存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn2 019；存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn2 019.其中真命题的序号是_(请写出所有真命题的序号)答案解析由题意，得图1中的线段为a，S1a，图2中的正六边形的边长为，S2S14S12a，图3中的最小正六边形的边长为，S3S24S2a，图4中的最小正六边形的边长为，S4S34S3，由此类推，SnSn1(n2)，即Sn为递增数列，且不是等比数列，即，正确；因为SnS1(S2S1)(S3S2)(SnSn1)a2aaaa4a5a(n2，nN+)，又S1a5a，所以存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn2 019，即正确，错误