2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 高考专题突破5第3课时 证明与探索性问题
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1、第3课时证明与探索性问题题型一证明问题例1 (2017全国)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:y21上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x3上,且1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),(xx0,y),(0,y0).由 得x0x,y0y.因为M(x0,y0)在C上,所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明由题意知F(1,0).设Q(3,t),P(m,n),则(3,t),(1m,n),33mtn,(m,n),(3m,tn).由1,得3mm2tnn21.又由(1)知m2n
2、22,故33mtn0.所以0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.思维升华 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,证明方法一般是采用直接法或反证法.跟踪训练1 已知椭圆T:1(ab0)的一个顶点A(0,1),离心率e,圆C:x2y24,从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM,PN.(1)求椭圆T的方程;(2)求证:PMPN.(1)解由题意可知b1,即2a23c2,又a2b2c2,联立解得a23,b21.椭圆方程为y21.(2)证明方法一当P点横坐标为时,纵坐标为1,PM斜率不存在,PN斜率为0,PMPN.当
3、P点横坐标不为时,设P(x0,y0),则xy4,设kPMk,PM的方程为yy0k(xx0),联立方程组消去y得(13k2)x26k(y0kx0)x3k2x6kx0y03y30,依题意36k2(y0kx0)24(13k2)(3k2x6kx0y03y3)0,化简得(3x)k22x0y0k1y0,又kPM,kPN为方程的两根,所以kPMkPN1.所以PMPN.综上知PMPN.方法二当P点横坐标为时,纵坐标为1,PM斜率不存在,PN斜率为0,PMPN.当P点横坐标不为时,设P(2cos ,2sin ),切线方程为y2sin k(x2cos ),联立得(13k2)x212k(sin kcos )x12(
4、sin kcos )230,令0,即144k2(sin kcos )24(13k2)12(sin kcos )230,化简得(34cos2)k24sin 2k14sin20,kPMkPN1.所以PMPN.综上知PMPN.题型二探索性问题例2 在平面直角坐标系xOy中,曲线C:y与直线l:ykxa(a0)交于M,N两点,(1)当k0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPMOPN?说明理由.解(1)由题设可得M(2,a),N(2,a),或M(2,a),N(2,a).又y,故y在x2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为ya(x2),即xya0.
5、y在x2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为ya(x2),即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k,x1x24a.从而k1k2.当ba时,有k1k20,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPMOPN,所以点P(0,a)符合题意.思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨
6、论;(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法.跟踪训练2 (2018鞍山模拟)已知椭圆E:1(ab0)过点Q,且离心率e,直线l与E相交于M,N两点,l与x轴、y轴分别相交于C,D两点,O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程;(2)判断是否存在直线l,满足2,2?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.解(1)由题意得解得所以椭圆E的方程为y21.(2)存在直线l,满足2,2.理由如下:方法一由题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为ykxm(km0),M(x1,y1),N(x2,y2),
7、则C,D(0,m).由方程组得(12k2)x24kmx2m220,所以16k28m280. (*)由根与系数的关系,得x1x2,x1x2.因为2,2,所以,所以C,D是线段MN的两个三等分点,得线段MN的中点与线段CD的中点重合.所以x1x20,解得k.由C,D是线段MN的两个三等分点,得|MN|3|CD|.所以|x1x2|3,即|x1x2|3,解得m.验证知(*)成立.所以存在直线l,满足2,2,此时直线l的方程为yx或yx.方法二设M(x1,y1),N(x2,y2),C(m,0),D(0,n),由2,2,得解得M(2m,n),N(m,2n).又M,N两点在椭圆上,所以即解得故所求直线l的方
8、程为5x10y20或5x10y20或5x10y20或5x10y20.1.(2018吉林东北师范大学模拟)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,点在C上.(1)求椭圆C的方程;(2)过点A(2,0)作直线AQ交椭圆C于另外一点Q,交y轴于点R,P为椭圆C上一点,且AQOP,求证:为定值.(1)解由题意可得e,1,所以a2,c,b1,所以椭圆C的方程为y21.(2)证明设直线AQ:yk(x2),R(0,2k),P(xP,yP),由得(14k2)x216k2x16k240,由根与系数的关系可得x12,x2xQ,则|AQ|xQx1|,|AR|2,|OP|xP|,令直线OP为ykx且令yP0,xP0.由得
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