2020版高考数学大一轮复习 第十二章 系列4选讲 12.2第1课时 绝对值不等式

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1、12.2不等式选讲第1课时绝对值不等式最新考纲考情考向分析1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ac|ab|bc|(a，b，cR). 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解.在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(

2、，0)(0，)R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|b|ab|a|b|.(2)如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立.概念方法微思考1.绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？提

3、示当a，b不共线时，|a|b|ab|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边.2.用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时，需把数轴分成几段？提示一般地，n个绝对值对应n个零点，n个零点应把数轴分成(n1)段.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若|x|c的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|b0时等号成立.()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立.()(5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立.()题组二教材改编2.不等式3|52x|9的解集为()A.2,1)4,7) B.(2,1(4,7C.(2，14,7) D.(2

4、,14,7)答案D解析由题意得即解得不等式的解集为(2,1 4,7).3.求不等式|x1|x5|2的解集.解当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1；当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4；当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为(，4).题组三易错自纠4.若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.答案2解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.5.已知a，b，c是正实数，且abc1，则的最小值为_.答案9解析把abc1代入到中，得332229，当且仅当abc时，等号成立.题型

5、一绝对值不等式的解法例1 (1)解不等式x|2x3|2.解原不等式可化为或解得x5或x.综上，原不等式的解集是.(2)(2017全国)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围.解当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40. (*)当x1时，(*)式化为x2x40，从而10.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，

6、无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，).题型二利用绝对值不等式求最值例2 (1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值.解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，当且仅当0x1时等号成立，|y1|y1|(y1)(y1)|2，当且仅当1y1时等号成立，|x1|x|y1|y1|123，当且仅当0x1，1y

7、1同时成立时等号成立.|x1|x|y1|y1|的最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|.(3)利用零点分区间法.跟踪训练2 已知a和b是任意非零实数.(1)求的最小值；(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，求实数x的取值范围.解(1)4，当且仅当(2ab)(2ab)0时等号成立，的最小值为4.(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，即|2x|

8、2x|恒成立，故|2x|2x|min.由(1)可知，的最小值为4，x的取值范围即为不等式|2x|2x|4的解集.解不等式得2x2，故实数x的取值范围为2,2.题型三绝对值不等式的综合应用例3 (2017全国)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围.解(1)f(x)当x2时，由f(x)1，解得x2，所以f(x)1的解集为x|x1.(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，当x时，|x1|x2|x2x.故m的取值范围为.思维升华 (1)解决与绝对值有关的综

9、合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.跟踪训练3 设函数f(x)x|xa|.(1)当a2 019时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)|x1|，求不等式g(x)2xf(x)恒成立时a的取值范围.解(1)由题意得，当a2 019时，f(x)因为f(x)在2 019，)上单调递增，所以f(x)的值域为2 019，).(2)由g(x)|x1|，不等式g(x)2xf(x)恒成立，知|x1|xa|2恒成立，即(|x1|xa|)min2.而|x1|xa|(x1)(xa)|1a|，所以|1a|2，解得a1或a3.即a的取值范围是(，3)(1，

10、).1.对于任意实数a，b，已知|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a3b2|m，求实数m的取值范围.解因为|ab|1，|2a1|1，所以|3a3b|3，所以|4a3b2|3a3b|36，即|4a3b2|的最大值为6，所以m|4a3b2|max6.即实数m的取值范围为6，).2.已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围.解(1)当a3时，f(x)|x3|x2|当x2时，由f(x)3，得2x53，解得x1；当2x0).(1)当m2时，求不等式f(x)1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)|t3|

11、t2|恒成立，求m的取值范围.解(1)f(x)|x2m|xm|当m2时，当2x4时，由2x21，得20，00；(2)若xR，使得f(x)2m20的解集为.(2)若 xR，使得f(x)2m24m，即f(x)4m2m2有解，由(1)可得f(x)的最小值为f31，故4m2m2，解得m.故实数m的取值范围为.5.已知函数f(x)|x2|2x1|.(1)解不等式f(x)2；(2)若bR，不等式|ab|ab|f(x)对xR恒成立，求a的取值范围.解(1)f(x)原不等式等价于或或解得x1或x2或x2，综上所述，不等式的解集是.(2)bR，|ab|ab|f(x)对xR恒成立等价于(|ab|ab|)maxf(

12、x)max.因为|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|，所以|ab|ab|的最大值为2|a|；当x时，f(x)；当x2时，5f(x)；当x2时，f(x)5，所以f(x)max，所以由原不等式恒成立，得2|a|，解得a或a.即a的取值范围是.6.设f(x)|x1|2x1|.(1)求不等式f(x)x2的解集；(2)若不等式满足f(x)|x|(|a2|a1|)对任意实数(x0)恒成立，求实数a的取值范围.解(1)根据题意可知，原不等式为|x1|2x1|x2，等价于或或解得x.综上可得不等式f(x)x2的解集为R.(2)不等式f(x)|x|(|a2|a1|)等价于(|a2|a1|)，因为3，当且仅当0时取等号，因为(|a2|a1|)，所以|a2|a1|6，解得a或a，故实数a的取值范围为.