高中数学必修5知识讲解_一元二次不等式及其解法_提高

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1、一元二次不等式及其解法编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1. 了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，能借助函数图象解一元二次不等式及一些简单的高次不等式；2. 对给定的一元二次不等式，能设计求解的程序框图；3. 应用一元二次不等式解简单的分式不等式.【要点梳理】要点一：一元二次不等式的概念一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式.一元二次不等式的解：使某个一元二次不等式成立的的值.一元二次不等式的解集：一元二次不等式的所有解组成的集合.一般写为集合或区间形式.一元二次不等式的一般形式：或.要点诠释：一元二次不等式的解集一般借助相应的方程及图象（抛物线）来研究.

2、要点二：一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系设，判别式，按照，该函数图象(抛物线)与轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同. 如下表所示：函数的图象方程的解有两相异实根有两相等实根无实根不等式的解集不等式的解集要点诠释：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.要点三：解一元二次不等式1. 解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为

3、负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： 时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；时，求根；时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.2. 一元二次不等式的求解框图开始结束将原不等式化成一般形式求的两根x1、x2方程ax2+bx+c=0没有实数根原不等式解集为R原不等式解集为原不等式解集为x|xx20?x1=x2?否是是否要点诠释：1解一元二次不等式首先要看二次项系数是否为正；若为负，则将其变为正数；2若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4根据不等式的解集的端点恰为相应

4、的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.要点四：高次不等式1. 一元高次不等式概念解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，其类型通常为一元高次不等式. 常用的解法有化为不等式组法、列表法和穿针引线（根轴法）来求解.2. 一元高次不等式的解法列表法 等价转化：将不等式化为形式（各项的符号为正）； 找分界点：令，求出根，不妨称之为分界点. 一个分界点把（实数）数轴分成两部分，个分界点把数轴分成部分； 列出表格：按各根把实数分成的部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始

5、依次自上而下排列）； 计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；看下面积的符号写出不等式的解集.在下列空白处填上因式的符号，完成下表：区间-+-+-+-+-+各因式积要点诠释：一般地，表格中最后一行各因式积为正的，即为的解集，反之亦然.穿针引线法 等价转化：将不等式化为的形式（各因式的系数化“+ ”）； 求根，比方设，并在数轴上将表示出来； 由数轴最右端的右上方出发，画出曲线依次经过表示各根的点； 若不等式（的系数化“+”后）是“0”，则找“线”在轴上方的区间；若不等式是“0【解析】若a=0，原不等式化为-x+10，解集为x|x1；若a0，原不等式为关于x的一元二次不等式.方程的判别式=1-

6、4a ()当=1-4a0，即时，方程有两个不等实数根，当时，函数的图象开口向上，与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：所以，此时不等式的解集为；当a0时，函数的图象开口向下，与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：所以，此时不等式的解集为；综上所述：a0时，原不等式解集为；a=0时，原不等式解集为；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为实数集R.【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；定解：根据根的情况写出不等式的解集；当

7、无法判断两根的大小时，引入讨论.举一反三：【变式1】解关于的不等式：【答案】原不等式化为a=1或a=-1时，解集为；当0a1 或a1或 -1a0时，若， 即时，；若， 即时，xR； 若， 即时，.当a0时，则0，.a0时，若a0，0， 即a-1时，xR；若a0，=0， 即a=-1时，xR且x1；若a0， 即 -1a0时， .类型三：一元二次不等式的应用例4. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集.【思路点拨】由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得. 【解析】由题意可知方程的两根为和由韦达定理有，化为，即，解得，故不等式的解集为.【总结升华】二次方程的根

8、是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.举一反三：【变式1】不等式的解集为 ，则=_，=_.【答案】由不等式的解集为x|-3x2知a0， 对一切实数x成立，符合题意.若m=-5，则不等式为24x+30，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去.(2)当m2+4m-50即 m1且m-5时，由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，所以， 即， 1m19. 综上所述，实数m的取值范围是m|1m19.

9、 【总结升华】情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论.举一反三：【变式1】 若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.【答案】关于的不等式的解集为空集即的解集为R当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，即，解得，综上，的取值范围为：.【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型三 不等式恒成立的问题】【变式2】已知不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围【答案】(2，)原不等式等价于(a2)x24xa10对一切实数恒成立，显然a2时，解集不是R，因此a2，从而有整理，得解得a2.故a的取值范围是(2，)类型四：

10、高次不等式例6. 解不等式.【思路点拨】列表法或者穿针引线法.【答案】【解析】方法一：穿针引线法方程可化为，其根为.如图：所以，不等式的解集为.方法二：列表法方程可化为，其解为.列表：区间（-，-1）（-1，1）（1，2）（2，3）（3，+）-+-+-+-各式乘积+-+-+所以，不等式的解集为.举一反三：【变式】解下列关于的不等式：（1）； （2）；（2）； （4）.【答案】（1） （2） （3） （4）类型五：分式不等式例7. 解下来不等式： （1） ； （2）. 【思路点拨】先将不等式的右边化为是0，再通过符号法则，将它转化为一元二次不等式，借助图象求解.【答案】（1）； （2）【解析】（1）该不等式等价于方程的解为，函数的图象是开口向上的抛物线，与x轴的交点为和.观察图象可知，不等式的解为.所以，该不等式的解集为.（2）该不等式可化简为，等价于解得即 .所以，该不等式的解集为.举一反三：【变式1】解下列不等式：（1） ； （2）.【答案】（1）； （2） 【变式2】（1）； （2）.【答案】（1） 该不等式可化为，其等价于解得：或.所以，该不等式的解集为.（2）该不等式可化为，由，则该不等式等价于，解得：.所以，该不等式的解集为.