高中数学必修5知识讲解 数列求和、数列的综合应用 提高

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1、数列求和、数列的综合应用编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1掌握数列的常用求和方法；2注意数列的函数性，能分析解决数列和函数与方程、向量、不等式、平面几何等相结合的数列综合题；3能够用数列知识解决数列综合题及实际应用题【要点梳理】要点一：求数列前项和的几种常用方法1. 常用方法 公式法：如果一个数列是等差或者等比数列，求其前项和可直接利用等差数列或等比数列的前项和公式求和； 倒序相加法：等差数列前n项和的推导方法，即将倒写 后再与相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候

2、隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为的数列求和. 分解求和与并项求和法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和. 例如对通项公式为的数列求和. 错位相减法：如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为（其中是公差d0的等差数列，是公比q1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和.一般步骤： 展开 展开 作差： 要点诠释： 注意

3、事项：作差后的式子中，最后一个符号是负号“”；是以为首项的前项和； 在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比是否有可能等于1，若=1，错位相减法会不成立.2. 常见数列的前项和(1) ；(2) (3) (4) (5) 要点诠释：前两个公式结论最好能熟记，这样解题时会更加方便.3. 常见的拆项公式(1) ；(2)若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则；(3)若的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则. (4) ；.要点二：数列的综合问题数列综合题，即考察同学们基础知识，又需要良好的思维能力和分析、解决问题的能力，综合题较强，解决起来比较困难. 解答

4、这类问题的关键，在于要审清题目，充分运用观察、归纳、猜想的手段，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略.1. 解决一个应用题，重点过三关： 事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力； 文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系； 事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力2. 解决数列综合题的常用方法：(1) 利用数列与函

5、数的关系解决数列综合题；(2) 利用等差（等比）数列中和的关系；(3) 利用等差（等比）数列的递推性；(4) 利用等差（等比）数列的单调性，解决有关最值问题；(5) 利用转化与化归思想，解决数列综合问题；(6) 利用不等式的放缩技巧证明数列； (7) 利用不等式的基本思想，解决有关数列问题；(8) 利用平面几何思想，解决数列综合问题.要点诠释：数列的综合题一般比较难，又没有通法通则，而由于它在中学数学体系及考试中的重要性，这一部分即难掌握又必须掌握. 同学们平时要熟悉数列规律，牢记公式，做题时多观察解法，总结规律.要点三：数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用

6、问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.建立数学模型的基本步骤： 审题认真阅读题目，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么. 建模将已知关系翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清楚该数列的结构和特征； 求解求出该问题的数学解； 还原将所求结果还原到实际问题中.要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.【典型例题】类型一：数列求和1. 公式法例1. 设数列的通项为则= .【思路点拨】用公式法求和. 对含绝对值的

7、式子，首先去绝对值号，再考虑分组为等差或等比之和.【答案】153【解析】由得取 则 【总结升华】要求几个含有绝对值的式子的和，关键是要去掉绝对值符号，去绝对值符号的方法一般是用分类讨论的思想方法，所以此题的关键是要看的符号.举一反三：【变式】已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则数列的前5项和为 .【答案】由题意知，显然2. 倒序相加法例2求和：.【思路点拨】由于该数列的通项是，因此可用倒序相加法求和.由于该数列的通项是，求和时逆用对数运算法则.【解析】法一：由题意可知， +有：法二： . 【总结升华】倒序相加是等差数列前项和公式推导的方法，在一些特殊数列中也有一些应用.举一反三：【变式

8、】求和.【答案】 .3. 错位相减法【高清课堂：数列的求和问题381055 典型例题3】例3. 求和.【思路点拨】该求和展开式中含字母，应注意分类讨论. 当时，易求；当时，原数列为等差数列，此时，用公式法求；当时，原数列为差比数列，此时，应用错位相减法求. 【解析】当时，.当时，.当且时， 得 ，.【总结升华】1.一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相乘形成的数列（也称为“差比数列”）都用错位相减的办法来求前项之和.2. 错项相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法，一般都选择乘以等比数列的公比；3. 在使用分类讨论时，要做到不重不漏. 在等比数列求和中，我们经常对其公比是否为1进行讨论.举

9、一反三：【变式1】求数列的前项和.【解析】用错位相减法求和.【变式2】求【解析】方法一： 方法二：设 则 由-可得：， .4. 裂项相消法【高清课堂：数列的求和问题381055 典型例题2】例4. 已知数列的前项和满足： 求证：数列为等差数列； 求证：【思路点拨】先由求出数列的通项公式，由定义证明该数列为等差数列；分析第（2）题数列的通项，利用裂项相消法求和.【解析】 ，即数列是首项为1，公差为2的等差数列. =【总结升华】1. 本题所用的方法叫做裂项相消法，就是将数列的每一项“一拆为二”，即每一项拆成两项之差，以达到隔项相消之目的.一般地，对于裂项后有明显相消项的一类数列，在求和时常用此法，

10、分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项.2. 在学习中也应积累一些常见的拆项公式，如：；若为等差数列，公差为d，则；，.举一反三：【变式1】求数列，的前n项和.【解析】 【变式2】求和:【解析】， 【变式3】求数列，的前n项的和.【解析】由于，则 .5. 分组求和【高清课堂：数列的求和问题381055典型例题1】例5已知数列的首项，通项（，是常数），且成等差数列.（1）求的值；（2）求数列的前项和.【思路点拨】由题意列方程组求的值；数列是由等差数列和等比数列对应相加构成的新数列，故采用分组求和，即等差数列的前项和与等比数列前项

11、和相加即可.【解析】（1） 解得 （2） =【总结升华】1. 一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解.2. 一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相加而形成的数列都用分组求和的办法来求前项之和.举一反三：【变式1】求和.【解析】(1+2+3+n)+ =【变式2】求和.【解析】当时，；当时， = =6. 并项法例6已知数列的前项和，求，的值.【思路点拨】该数列的特征：，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以1为首项8为公差的等差数列，偶数项构成以-5为首项-8为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分组求和；还有

12、规律：（为奇数），可以将相邻两项组合在一起. 【解析】方法一：由可得， 方法二：由 当为奇数，时， ， 当为偶数，时， ， ， 【总结升华】1.对通项公式中含有或的一类数列，在求时要注意讨论的奇偶情况.2. 对正负相间的项中的相邻两项进行恰当的组合，可能会有意料之结.举一反三：【变式1】求，的前50项之和以及前项之和.【解析】（1）设，则数列为等差数列，且是的前25项之和，所以.（2）当为偶数即时，.当为奇数即时，.【变式2】等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）

13、若数列满足：=，求数列的前项和.【解析】（）由题意知，因为是等比数列，所以公比为3，所以数列的通项公式.（）=， 所以 =+.类型二：数列与函数的综合运用例7. 是上不恒为零的函数，且对任意都有.（1）求与的值；（2）判断的奇偶性；（3）若，求数列的前项和【思路点拨】在本题中，分别利用赋值法和函数奇偶性的定义，可解决第（1）、（2）题；构造函数利用抽象函数的性质可以得到数列的递推关系式，可知数列为等比数列，其前项和易求解.【解析】 （1）；（2），再令，所以为奇函数；（2）当时，令函数 ， ，得；又 ， ，.【总结升华】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类

14、函数由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，其相关题目往往是在知识网络的交汇处设计. 在本题中，抽象函数与数列结合，考察同学们的推理论证、运算求解能力.举一反三：【变式】设函数 ，（1）证明：对一切，是常数；（2）记，求，并求出数列的前项和.【解析】（1） ， =（2） 2= 即= =类型三：数列与不等式的综合应用例8. 已知数列满足（I）求数列的通项公式；（）证明：.【思路点拨】由递推式可知，通过构造等比数列可以得到的通项公式；通过放缩法解决关于证明数列和的不等式问题.【解析】（I）可变形为： 是以为首项，2为公比的等比数列 即（II）证明： 【

15、总结升华】用放缩法处理数列和不等式问题的常用方法：1.先求和后放缩：若数列和可求得，一般先求和，再放缩处理；2.先放缩后求和：若数列直接求和方法不易解决，则将数列放缩为常见形式，再求和.常见的放缩方法为： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.举一反三：【变式1】已知各项均为正数的数列的前项和为，且.(1) 求证：；(2) 求证：.【解析】（1）由题意可得， ， 由可知，-得得 ，（2），所以；【变式2】已知数列满足:（I）求数列的通项公式；（II）若，且数列的前项和为，试比较和的大小并证明.【解析】( I ) 由题意可知，数列是以2为公比、3为首项

16、的等差数列，；（II）由可知，则类型四：探究题型与创新题型【高清课堂：数列综合381084例3】例9. 已知数列和满足：其中为实数，为正整数.（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意的整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 【思路点拨】本题有3小问，从前向后依次解决：对于第（1）、（2）题，要证明一个数列为等比数列，应利用定义给予严格证明，反之只要选取连续三项证明它不满足定义即可. 注意等比数列的首项与公比都是非零常数；对于第（3）题，直接不易解决，要抓住关键，反客为主. 可假设存在

17、实数，使得成立，从而将作为条件，可推断的取值范围.【解析】（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即矛盾.所以不是等比数列.（2）又，所以当，此时不是等比数列；当时，此时，数列是以为首项，为公比的等比数列.（3）由（2）知，当，不满足题目要求.当，是以为首项，为公比的等比数列，于是可得要使对任意正整数成立，即1（ 当为正奇数时，；当为正偶数时，.的最大值为，的最小值为，于是，由式得 当时，由b-18，不存在实数满足题目要求；当存在实数，使得对任意正整数都有，所以，的取值范围是.【总结升华】本小题是存在性问题（存在性问题指判断满足条件的事物是否存在的问题），这类问题知识覆盖面较广，综合

18、性较高，对学生分析问题和解决问题能力要求较高. 由于存在性问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行推理和计算，对基础知识、基本能力提出了较高要求，并具备较强的探索性. 是各地近几年考试的热点.存在性问题的一般思路是：假设存在 推理论证 得出结论.举一反三：【变式】已知 (为常数，)设是首项为，公比为的等比数列(1)求证：数列是等差数列；(2)若，问是否存在，使得数列中每一项恒小于它后面的项，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】(1)由题意.数列是以2为首项，1为公差的等差数列(2)由题意，假设存在，使得数列中每一项恒小于它后面的项.要使对一切成立，只要对一

19、切nN*成立，当时，只要；当时， ，只要.随着的增大而增大，故，所以或.综上，当或时，数列中每一项恒小于它后面的项例10. 定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：；.则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ）A. B. C. D. 【思路点拨】仔细审题，弄清“保等比数列函数”的概念含义，要判断一个数列是否是等比数列可利用等比数列的定义. 【答案】C 【解析】设数列的公比为.对于，是常数，故符合条件；对于，不是常数，故不符合条件；对于，是常数，故符合条件；对于， ，不是常数，故不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.

20、【总结升华】所谓创新题型（新定义型问题），主要是给出高中数学没有学过的新运算、新概念、新符号和新规则，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型，具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，考查学生的综合素质，挖掘学生的潜力，受到了命题者的青睐. 将新定义的阅读信息与所学知识进行有效结合是破解此类问题的关键. 举一反三：【变式1】在一个数列中，若每一项与其后一项的积为同一个常数（有限数列的最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为公积. 若数列为等积数列，且，公积为6，则等于（ ） A B C D 【答案】C【解析】由题意得 当为奇数时，；当

21、为偶数时，.等差数列1，5，9，2013的通项公式为，令，解得.数列1，5，9，2013共有504项.【变式2】设数列的前项和为，令，称为数列的“理想数”已知数列的“理想数”为2004，那么数列2，的“理想数”为（ ）A. 2002 B. 2004 C. 2006 D.2008 【答案】A【解析】数列的“理想数”为：可得数列2，的“理想数”为： 故选A.类型五：数列应用题例11. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元问： （1）从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？ （2）如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案

22、多加工资多少美元？ （3）如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加美元 问取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？ 【思路点拨】两个方案对应两个不同的数列，逐年考察两个方案加工资的情况，列成表格如下：第一种方案第二种方案第1年年末第2年年末第3年年末第年年末再由条件建立相应的方程或不等式求解即可.【解析】 设工作至第时，第一种方案总共加的工资为，第二种方案总共加的工资为则： ，由，即 解得：. 从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多（2）当时，由（1）得：， . 在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元 （3） 若第二种方案中的300美元改成

23、美元 则 .若使第二种方案总比第一种方案多加工资，只要即对与任意的恒成立.，即成立即可.此时.数列随着的增大而减小，所以时，取得最大值.当时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资.【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式.举一反三：【变式】 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同. 公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元.（）用表示，并写出与的关系式；（）若公司希望经过年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金的值（用表示）.【解析】（）由题意得，.（）由（）得.整理得.由题意，解得.故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为4000元.