高中数学必修5知识讲解_三角形中的几何计算_提高
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1、三角形中的几何计算编稿:张林娟 审稿:孙永钊 【学习目标】1.进一步巩固正弦定理和余弦定理,并能综合运用两个定理解决三角形的有关问题;2.学会用方程思想解决有关三角形的问题,提高综合运用知识的能力和解题的优化意识.【要点梳理】要点一:正弦定理和余弦定理的概念正弦定理公式:(其中表示三角形的外接圆半径)余弦定理公式: 第一形式:第二形式:要点二:三角形的面积公式 要点三:利用正、余弦定理解三角形已知两边和一边的对角或已知两角及一边时,通常选择正弦定理来解三角形;已知两边及夹角或已知三边时,通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求,尽量避免分类讨论.在中,已知和A时,解的情况主要
2、有以下几类:若A为锐角时: 一解 一解 两解 无解 若为直角或钝角时: 要点四:三角形的形状的判定特殊三角形的判定:(1)直角三角形 勾股定理:,互余关系:,;(2)等腰三角形:,;用余弦定理判定三角形的形状(最大角的余弦值的符号)(1)在中,;(2)在中,;(3)在中,.要点五:解三角形时的常用结论在中,(1)在中;(2)互补关系: (3)互余关系:【典型例题】类型一:利用正、余弦定理解三角形例1. 中,求.【思路点拨】本题已知边边角,用正弦定理比较简单,但要注意结合三角形中大边对大角定理以及有解、无解的图形来考虑.【解析】解法一 :正弦定理由若,则,若,则,解法二:余弦定理若,则,所以.若
3、,则,所以.解法三:正余弦定理,解得.若,由,得,所以,所以 B=75,C=60;若,由,得.,所以,所以.【总结升华】解三角形时,对于求解三角形的题目,一般都可有两种思路.但要注意方法的选择,同时要注意对解的讨论.解三角形时,要留意三角形内角和为180、同一个三角形中大边对大角等性质的应用.举一反三:【变式1】在中,若,求角和【答案】根据余弦定理:, ,.【变式2】中,求边的值.【答案】解法一:利用正弦定理得,或,或,或由,得或.解法二:利用余弦定理列方程即得到关于的一元二次方程,解方程得到或.例2锐角 中,分别是角的对边.(1)若求的大小(2)函数取最大值时,求的大小.【思路点拨】在(1)
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