高中数学必修5知识讲解 数列 提高

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1、数列编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1. 掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题；2. 掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系；3. 了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项；4. 理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系.【要点梳理】要点一、数列的概念一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项. 数列的一般形式可以写成：简记为，其中数列的第1项，也称首项；数列的第n项，也叫数列的通项.要点诠释：（1）与的含义完全不同：表示一个数列，表示数列的第项.（2） 数列的

2、项与项数是两个不同的概念：数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号. （3） 数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（4）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.要点二、数列的通项公式与前n项和1. 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个公式表示成，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.如数列：的通项公式为； 的通项公式为； 的通项公式为要点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式（2）一个数列的通项公式有时是不唯

3、一的如数列：1，0，1，0，1，0，通项公式可以是，也可以是.（3）数列通项公式的作用： 求数列中任意一项； 检验某数是否是该数列中的一项（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示2. 数列的前项和 数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即3. 与的关系要点三、数列的分类1. 根据数列项数的多少分有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3和2，4，8都是有穷数列；无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，是无穷数列.2. 根据数列项的函数特性分递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项，即的数列；递减数列：从第2项起

4、，每一项都小于它的前一项，即的数列；常数数列：各项都相等，即的数列；摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.3. 根据数列项的大小分有界数列：如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数；无界数列：不存在某个正数，使得数列任一项的绝对值都小于这个正数.要点四、数列的表示方法1. 通项公式法（解析式法）：数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系. 给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项.2. 列表法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，用表示第项，依次写出得数列项数12项

5、3. 图象法：数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点. 所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势4.递推公式法递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 递推公式也是给出数列的一种方法. 如：数列：-3，1，5，9，13，可用递推公式：表示；数列：3，5，8，13，21，34，55

6、，89，可用递推公式：表示. 要点五、数列与函数数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值. 反过来，对于函数，如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列， .要点诠释：1. 数列是离散函数的重要模型之一数列是一个特殊的函数，它的定义域是正整数或正整数集的子集. 数列是离散函数的一种（离散函数是相对于定义在实数集或者实数集的某个区间上的函数而言的），它在数学中有重要的地位.2. 数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 数列的通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系. 给了

7、数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项. 3. 数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点，这些点都落在函数的图象上. 因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的有限或无限取决于数列是有穷数列还是无穷数列，我们从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势4. 跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.【典型例题】类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式例1写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是：(1) 0， ， ；(2) 1， ，

8、；(3) 9，99，999， 9999，；(4) 6， 1，6，1， .【思路点拨】观察法求数列的通项公式，需注意一下两点：纵向分析：观察各项与对应的项数之间的关系；横向比较：观察各项之间的变化规律，能否用统一的式子表示.【解析】(1) 将数列改写为，故.(2) 此数列奇数项为正，偶数项为负，可用来表示；其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，故.(3) 将数列改写为， ， ， ，故.(4) 设，则 解得故该数列还可写为【总结升华】写通项时注意以下常用思路： 归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化； 若数列中的项均为分数，则先观察

9、分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数； 由两个数交替出现构成的摆动数列，它的通项公式通常可以写成：； 熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如：数列-1，1，-1，1，的通项公式为；数列1，2，3，4，的通项公式为；数列1，3，5，7，的通项公式为；数列2，4，6，8，的通项公式为；数列1，4，9，16，的通项公式为；数列2，6，12，20，的通项公式为.举一反三：【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 数列知识的讲解及配套练习】【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 1， 1， 1，1，； (2) -1， 1，

10、 -1， 1，；(3) 1， -1， 1，-1，；(4)， ；(5) 2，0，2，0，.【解析】(1)； (2) ；(3)； (4) ；(5)；类型二：通项公式的应用例2已知数列的通项公式， 试问下列各数是否为数列的项，若是，是第几项？(1) 94； (2) 71.【思路点拨】本题考查同学们对项与项数的理解，在通项公式中，已知项数，求正自然数，带入解方程即可.【解析】（1）设， 解得.故94是数列的第32项.（2）设，解得.故71不是数列的项.【总结升华】方程思想是解决数列中未知量的主要方法，中知三求二，就是采用了方程的思想.举一反三：【变式1】数列的通项公式为 它的前8项依次为 .【答案】【

11、变式2】已知数列的通项公式， （1）若，试问是第几项？（2）56和28是否为数列的项？【答案】（1）98项；（2）56是，28不是.类型三：递推公式的应用【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 例2】例3. 设数列满足：，写出这个数列的前五项.【思路点拨】题中已给出的首项和递推公式：，故可以依次写出前五项.【答案】1，2，【解析】据题意可知：，故数列的前5项为:1，2，.【总结升华】递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项. 举一反三：【变式】已知数列满足：，写出前5项，并猜想 【答案】法一：，观察可得法二：由，即【高清课堂：数列的概念与简单表示法3

12、79271 例3】例4.（1）已知数列满足写出这个数列的通项公式.（2）已知数列满足写出这个数列的通项公式.【思路点拨】观察递推式，（1）符合累加法的条件；（2）符合累乘法的条件.【解析】（1）由递推式可得，把以上个式子相加得 ，显然n=1，也适用，数列的通项为（2）由递推式可得把以上个式子相乘得，显然也适用. 数列的通项为【总结升华】一般递推关系为时，可用累乘法求通项公式；递推关系为时可考虑累加法，有时需要将递推关系化简，再灵活求通项.举一反三：【变式1】由a11，可知数列an的第34项是()A B100C D【答案】C【变式2】已知数列满足：，求数列的通项公式.【解析】由得，故当2时， 当

13、=1时，.所以数列的通项公式为类型四：前项和公式与通项的关系例5已知数列的前项和公式，求通项.（1）， (2).【思路点拨】先由时，求出；再由当时，求出，并验证是否符合所求出的.【解析】(1) 当时，当时，(2)当时，当时，()为所求.【总结升华】已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式.举一反三：【变式1】已知数列的前项和，求通项.【答案】当时，当时，.【变式2】已知数列的前项积，求通项【答案】当时，当时，.类型五：数列与函数例6. 已知函数数列满足（1）求数列的通项公式；（2）证明数列是递减数列.【思路点拨】证明一个数列是递减数

14、列，或者证或者证.【解析】（1）(2)证明：=又数列是递减数列.【总结升华】数列是一个特殊的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，即举一反三：【变式】数列中：，（）（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；（2）判断它的单调性.【答案】（1）， ， ， ；（2）方法一：， 数列是递减数列.方法二：函数在上单调递减，数列是递减数列.类型六：求数列前项和的最值例7. 已知数列的前项和(1)求的通项公式；(2)当为何值时，达到最大？最大值是多少？【思路点拨】第（1）问采用公式注意验证第一项；在第（2）问中，要使达到最大，可通过通项分析（此时，满足），也可以通过前项和公式分析（利用函数的单调性）.【

15、解析】（1）当n=1时，当n2时，而满足上式，所以（2）法一：考察函数，它的图象是一条抛物线，如图在抛物线的对称轴x=12处该函数取得最大值144.所以当n=12时，Snn224n取得最大值144.法二：可以看作分布在直线上的一系列孤立的点，而的图象是一条单调递减的直线.所以要使Sn达到最大值，只需即可，解得由得，n=12.当n=12时Sn取得最大值，此时，【总结升华】求解数列的最值问题时，可转化为相应的函数，再通过函数的最值求得结果. 这个过程用到了转化与化归思想、数形结合思想，综合性较强.举一反三：【变式1】已知数列的前项和，当=_时，取得最大值.【答案】5或6【变式2】当数列的前项和取得最小值时，项数的值为_.【答案】6