中考总复习:勾股定理及其逆定理--知识讲解(提高)
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1、中考总复习:勾股定理及其逆定理(提高)责编:常春芳【考纲要求】1.了解勾股定理的历史,掌握勾股定理的证明方法;2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容;3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题;4.加强知识间的内在联系,用方程思想解决几何问题以体现代数与几何之间的内在联系【知识网络】【考点梳理】知识点一、勾股定理1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(即:).【要点诠释】勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现
2、并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的证明:勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法.用拼图的方法验证勾股定理的思路是:图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变;根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理.3.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用是:已知直角三角形的任意两边长,求第三边,在中,则,;知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系;可运用勾股定理解决一些实际问题.知识点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的
3、结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长,满足,那么这个三角形是直角三角形. 【要点诠释】勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和与较长边的平方作比较,若它们相等时,以,为三边的三角形是直角三角形;若,时,以,为三边的三角形是钝角三角形;若,时,以,为三边的三角形是锐角三角形;定理中,及只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长,满足,那么以,为三边的三角形是直角三角形,但是
4、为斜边;勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形.3.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即中,为正整数时,称,为一组勾股数;记住常见的勾股数可以提高解题速度,如;等;用含字母的代数式表示组勾股数:(为正整数);(为正整数)(,为正整数)知识点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系1.区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,
5、应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解;而其逆定理是判定定理,能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论2.联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,两者互为逆定理,都与直角三角形有关. 在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.【典型例题】类型一、勾股定理及其逆定理的应用【高清课堂
6、:勾股定理及其逆定理 例2】1我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1)图2由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=10,则S2的值是_ 【思路点拨】根据图形的特征得出线段之间的关系,进而利用勾股定理求出各边之间的关系,从而得出答案【答案与解析】图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,CG=NG,CF=DG=NF,S1=(CG+DG) 2=CG 2+DG 2+2CGDG,=GF 2+2CGDG,S2
7、=GF 2,S3=(NG-NF) 2=NG 2+NF 2-2NGNF,S1+S2+S3=10=GF 2+2CGDG+GF 2+NG 2+NF 2-2NGNF,=3GF 2,S2=【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用,根据已知得出S1+S2+S3=10=GF 2+2CGDG+GF 2+NG 2+NF 2-2NGNF=3GF 2是解决问题的关键【变式】若ABC三边a、b、c 满足 abc338=10a+24b+26c,ABC是直角三角形吗?为什么?【答案】abc338=10a+24b+26cabc33810a24b26c =0(a10a+25)(b24b+144)(c26c+169)=0即 a
8、=5,b=12,c=13又ab=c=169,ABC是直角三角形.2(2014秋黄梅县校级期中)如图,AB=AC,AE=AF,BAC=EAF=90,BE、CF交于M,连AM(1)求证:BE=CF; (2)求证:BECF;(3)求AMC的度数【思路点拨】(1)求出BAE=CAF,根据SAS推出CAFBAE即可;(2)根据全等得出ABE=ACF,求出ABO+BOA=COM+ACF=90,求出CMO=90即可;(3)作AGBE于G,AHCF于H,证全等得出AG=AH,得出正方形,求出AMG,即可求出答案【答案与解析】证明:(1)BAC=EAF=90,BAC+CAE=FAE+CAE,BAE=CAF,在C
9、AF和BAE中CAFBAE,BE=CF(2)证明:CAFBAE,ABE=ACF,BAC=90,ABO+BOA=90,BOA=COM,COM+ACF=90,CMO=18090=90,BECF(3)解:过点A分别作AGBE于G,AHCF于H,则AGB=AHC=90,在AGB和AHC中AGBAHC,AG=AH,AGBE,AHFC,BECF,AGM=GMH=AHM=90,四边形AHMG是正方形,GMH=90,AMG=HMG=45,AMC=90+45=135【总结升华】本题考查了全等三角形的性质和判定,正方形的性质和判定的应用,主要考查学生的推理能力举一反三: 【变式】如图,ABC中,有一点P在AC上移
10、动若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最小值为()A. 8 B. 8.8 C. 9.8 D. 10【答案】C.类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用【高清课堂:勾股定理及其逆定理 例7】3. (2015春沛县期中)(1)如图,正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,EAF=45,延长CD到点C,使DG=BE,连结EF、AG,求证:EF=FG;(2)如图,在ABC中,BAC=90,点M、N在边BC上,且MAN=45,若BM=1,AB=AC,CN=3,求MN的长【思路点拨】(1)欲证明EF=FG,只需证得FAEGAF,利用该全等三角形的对应边相等证得结论;(2)过点C作
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