2018-2019学年云南省玉溪一中高二（上）期中数学试卷（理科）含详细解答

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1、2018-2019学年云南省玉溪一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.1（5分）已知集合Mx|2x1，Nx|2x2，则RMN（）A2，1B0，2C（0，2D2，22（5分）“x2”是“x2+x60”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（5分）已知alog20.3，b20.3，c0.32，则a，b，c三者的大小关系是（）AbcaBbacCabcDcba4（5分）2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（）ABCD5（5分）已知高一（1）班有48名学生，班主任将学生

2、随机编号为01，02，48，用系统抽样方法，从中抽8人，若05号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是（）A16B22C29D336（5分）直线2x+3y90与直线6x+my+120平行，则两直线间的距离为（）ABC21D137（5分）某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（）A8BCD128（5分）在ABC中，则（）ABCD9（5分）已知m，nR，且m2n+60，则的最小值为（）AB4CD310（5分）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A求首项为1，公差为2 的等差数列前2017项和B求首项为1，公差为2 的等差数列前2018项和C

3、求首项为1，公差为4 的等差数列前1009项和D求首项为1，公差为4 的等差数列前1010项和11（5分）已知四棱锥PABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA面ABCD，若四棱锥的体积为，则该球的体积为（）A64B8C24D612（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x2）的对称轴为x2，f（x+1）（f（x）0），且f（x）在区间（1，2）上单调递增，已知，是钝角三角形中的两锐角，则f（sin）和f（cos）的大小关系是（）Af（sin）f（cos）Bf（sin）f（cos）Cf（sin）f（cos）D以上情况均有可能二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，

4、共20分.13（5分）在等比数列an中，已知a2a4a68，则a3a5 14（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z2xy的最大值是 15（5分）将函数f（x）sin（2x）的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是 16（5分）由直线x+2y70上一点P引圆x2+y22x+4y+20的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为 二解答题（共6小题）17（10分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosCbcosC+ccosB（1）求角C的大小；（2）若c，a2+b210，求ABC的面积18（12分）对某校高一年级学生参加社区服务

5、次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率10，15）100.2515，20）25n20，25）mp25，30）20.05合计M1（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间15，20）内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多1人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率19（12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA1AB1，点E在棱AB上移动（1）证明：B1C平面D1E

6、A；（2）若BE，求二面角D1ECD的大小20（12分）设数列an的前n项和Sn满足：Snnan2n（n1），首项a11（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为Mn，求证：Mn21（12分）已知圆C经过原点O（0，0）且与直线y2x8相切于点P（4，0）（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过点（4，5），且与圆C相交于M，N两点，若|MN|2，求出直线l的方程22（12分）已知函数（kR），且满足f（1）f（1）（1）求k的值；（2）若函数yf（x）的图象与直线没有交点，求a的取值范围；（3）若函数，x0，log23，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不

7、存在，请说明理由2018-2019学年云南省玉溪一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.1（5分）已知集合Mx|2x1，Nx|2x2，则RMN（）A2，1B0，2C（0，2D2，2【分析】先分别求出集合M，N，再求出RM，由此能求出RMN【解答】解：集合Mx|2x1x|x0，Nx|2x2，RMx|x0，RMNx|0x2（0，2故选：C【点评】本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（5分）“x2”是“x2+x60”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不

8、充分也不必要条件【分析】解不等式，根据小范围是大范围的充分不必要条件，得到答案【解答】解：“x2+x60”“x3，或x2”故x2”是“x2+x60”的充分不必要条件故选：B【点评】本题考查的知识点是充要条件，难度不大，属于基础题3（5分）已知alog20.3，b20.3，c0.32，则a，b，c三者的大小关系是（）AbcaBbacCabcDcba【分析】由指数函数与对数函数的性质可得a0，b1，0c1，则答案可求【解答】解：alog20.30，b20.3201，0c0.320.301，bca故选：A【点评】本题考查对数值的大小比较，考查指数函数与对数函数的单调性，是基础题4（5分）2路公共汽车

9、每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（）ABCD【分析】根据2路公共汽车每5分钟发车一次，得出两车间隔时间长度，再求出小明候车时间不超过2分钟的时间长度，利用几何概型公式计算即可【解答】解：2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，当小明在上一辆车开走后3分钟内到达，候车时间会超过2分钟，小明候车时间不超过2分钟的概率为P故选：A【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题5（5分）已知高一（1）班有48名学生，班主任将学生随机编号为01，02，48，用系统抽样方法，从中抽8人，若05号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是（）A1

10、6B22C29D33【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可【解答】解：样本间隔为48186，则抽到的号码为5+6（k1）6k1，当k2时，号码为11，当k3时，号码为17，当k4时，号码为23，当k5时，号码为29，故选：C【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于简单题6（5分）直线2x+3y90与直线6x+my+120平行，则两直线间的距离为（）ABC21D13【分析】利用两条直线平行的性质求得m的值，再利用两条平行直线间的距离公式求得两直线间的距离【解答】解：直线2x+3y90与直线6x+my+120平行，m9，故平行直线即6x+9y270与直线6x+9y+120，它们之间的距离

11、为，故选：B【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题7（5分）某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（）A8BCD12【分析】判断几何体的形状，画出直观图，利用三视图的数据求解即可【解答】解：由题意可知几何体是放倒的半个圆柱与半个圆锥的组合体，如图：圆锥，圆锥的底面半径为2，高为4，该几何体的体积为：故选：B【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键考查空间想象能力以及计算能力8（5分）在ABC中，则（）ABCD【分析】由已知可得：点M是靠近点B的三等分点，点N是AC的中点故，进而得到答

12、案【解答】解：由已知，可得点M是靠近点B的三等分点，又，故点N是AC的中点，故选：C【点评】本题考查的知识点是平面向量的基本定量，向量的线性运算，难度中档9（5分）已知m，nR，且m2n+60，则的最小值为（）AB4CD3【分析】由已知可得，2nm6，从而2m+22n，利用基本不等式可求【解答】解：m2n+60，2nm6，则2m+22n2，当且仅当m2n且2nm6即n，m3时取等号，故选：A【点评】本题主要考查了利用基本不等式及指数的运算性质求解最值，属于基础试题10（5分）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A求首项为1，公差为2 的等差数列前2017项和B求首项为1，公差为2

13、 的等差数列前2018项和C求首项为1，公差为4 的等差数列前1009项和D求首项为1，公差为4 的等差数列前1010项和【分析】模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出S1+5+9+13+（220171）的值，由定义法可求数列为等差数列，利用等差数列的通项公式可求项数，由此得解【解答】解：模拟程序的运行，可得n1，S1，n3，S1+5n5，S1+5+9n7，S1+5+9+13n2017，S1+5+9+13+（220171）n2019，此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出S1+5+9+13+（220171）的值即S为数列1，5，9，4033的和，易得：an+1an4（常数），40331+

14、（n1）4，解得n1009，可得该算法的功能是求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和故选：C【点评】本题考查程序框图，考查了等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于中档题11（5分）已知四棱锥PABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA面ABCD，若四棱锥的体积为，则该球的体积为（）A64B8C24D6【分析】把四棱锥PABCD扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，求出外接球的半径R，再计算外接球的体积【解答】解：由题意，四棱锥PABCD扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，由

15、四棱锥的体积为V四棱锥PABCD22PA，解得PA4；2R2，解得R；外接球的体积为V外接球8故选：B【点评】本题考查了四棱锥的结构特征与其外接球的应用问题，是基础题12（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x2）的对称轴为x2，f（x+1）（f（x）0），且f（x）在区间（1，2）上单调递增，已知，是钝角三角形中的两锐角，则f（sin）和f（cos）的大小关系是（）Af（sin）f（cos）Bf（sin）f（cos）Cf（sin）f（cos）D以上情况均有可能【分析】根据题意，分析可得yf（x）的对称轴为x0，即函数f（x）为偶函数，又f（x+1），即f（x）f（x+1）4，分析可得f（

16、x+2）f（x），函数f（x）为最小正周期为2的偶函数，据此分析可得函数f（x）在（0，1）上递减，又由，是钝角三角形中的两锐角，则+，结合正弦函数的单调性分析可得sinsin（），即sincos，结合函数的单调性分析可得答案【解答】解：根据题意，f（x2）的对称轴为x2，可得yf（x）的对称轴为x0，即函数f（x）为偶函数，又f（x+1），即f（x）f（x+1）4，则有f（x+1）f（x+2）4，即为f（x+2）f（x），函数f（x）为最小正周期为2的偶函数若f（x）在区间（1，2）上单调递增，则f（x）在（1，0）上递增，则函数f（x）在（0，1）上递减，是钝角三角形中的两锐角，则+，则，

17、则有sinsin（），即sincos，且0sin1，0cos1，则有f（sin）f（cos）；故选：A【点评】本题考查抽象函数的性质以及英，涉及函数的对称性和周期性的运用，属于综合题二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13（5分）在等比数列an中，已知a2a4a68，则a3a54【分析】根据题意，由等比数列的性质可得（a4）38，则a42，又由a3a5（a4）2，即可得答案【解答】解：根据题意，在等比数列an中，已知a2a4a68，则（a4）38，则a42，则a3a5（a4）24；故答案为：4【点评】本题考查等比数列的性质，关键是掌握等比中项的性质，属于基础题14（5分）已知变量

18、x，y满足约束条件，则目标函数z2xy的最大值是2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得B（1，0），化目标函数z2xy为y2xz，由图可知，当直线y2xz过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2102故答案为：2【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15（5分）将函数f（x）sin（2x）的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是k，k+，kZ【分析】由题意利用函数y

19、Asin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间【解答】解：将函数f（x）sin（2x）sin2x 的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）sin（2x+） 的图象，令2k2x+2k+，求得kxk+，可得函数g（x）的减区间为k，k+，kZ，故答案为：k，k+，kZ【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的单调性，属于基础题16（5分）由直线x+2y70上一点P引圆x2+y22x+4y+20的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为【分析】根据题意，求出圆x2+y22x+4y+20的圆心与半径，设圆心为M

20、，分析可得当|PM|取得最小值时，|PA|取得最小值，由点到直线的距离公式分析可得|PM|的最小值，进而计算可得答案【解答】解：根据题意，圆x2+y22x+4y+20的标准方程为（x1）2+（y+2）23，圆心为（1，2），半径为，设圆心为M，则|PA|2|PM|2r2，分析可得：当|PM|取得最小值时，|PA|取得最小值，|PM|的最小值为圆心M到直线x+2y70的距离，则有d2，则|PA|2|PM|2r220317；即|PA|的最小值为；故答案为：【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析|PA|取得最小值的条件二解答题（共6小题）17（10分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，

21、b，c，2acosCbcosC+ccosB（1）求角C的大小；（2）若c，a2+b210，求ABC的面积【分析】（1）由正弦定理得2sinAcosCsinBcosC+sinCcosB，由A+B+C，求出cosC，由此能求出C（2）由余弦定理得710ab，从而ab3，由此能求出ABC的面积【解答】解：（1）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosCbcosC+ccosB，2sinAcosCsinBcosC+sinCcosB，A+B+C，2sinAcosCsin（B+C）sinA，cosC，0C，C（2）c，a2+b210，由余弦定理得：c2a2+b22abcosC，即710ab，

22、解得ab3，ABC的面积S【点评】本题考查三角形角的大小的求法，考查三角形面积的求法，考查正弦定理、余弦定理、正弦函数加法定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题18（12分）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率10，15）100.2515，20）25n20，25）mp25，30）20.05合计M1（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的

23、次数在区间15，20）内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多1人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率【分析】（1）由频率，能求出表中M、p及图中a的值（2）由频数与频率的统计表和频率分布直方图能求出参加社区服务的平均次数（3）在样本中，处于20，25）内的人数为3，可分别记为A，B，C，处于25，30内的人数为2，可分别记为a，b，由此利用列举法能求出至少1人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率【解答】（1）由分组10，15）内的频数是10，频率是0.25知，所以M40因为频数之和为40，所以因为a是对应分组15，20）的频率与组距的

24、商，所以（2）因为该校高三学生有360人，分组15，20）内的频率是0.625，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为3600.625225人（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+25人设在区间20，25）内的人为a1，a2，a3，在区间25，30）内的人为b1，b2则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）10种情况，（9分）而两人都在20，25）内共有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3）3种情况，至多一人参加社区服

25、务次数在区间20，25）内的概率为【点评】本题考查频率分布表和频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用19（12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA1AB1，点E在棱AB上移动（1）证明：B1C平面D1EA；（2）若BE，求二面角D1ECD的大小【分析】（1）证明AEB1C，BC1B1C，推出B1CAD1，然后证明B1C平面D1EA；（2）过点D作DFCE，连接D1F，证明DFCE，说明D1FD为二面角D1ECD的平面角，然后转化求解即可【解答】（1）证明：AB平面BCC1B1，B1C平面BCC1B1，AEB1C，四边形BCC1B

26、1是正方形，BC1B1C，BC1AD1，B1CAD1，B1C平面D1EA；（2）解：过点D作DFCE，连接D1F，D1D平面ABCD，DFCE，CE平面DFD1，D1FD为二面角D1ECD的平面角，BE，BCAD1，CECD2，（6分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理，考查二面角的大小的求法，是中档题20（12分）设数列an的前n项和Sn满足：Snnan2n（n1），首项a11（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为Mn，求证：Mn【分析】（1）由数列的递推式：当n2时，anSnSn1，化简变形，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得（），由裂项相消求和

27、可得前n项和为Mn，判断单调性可得最小值，由不等式的性质，即可得证【解答】解：（1）Snnan2n（n1），当n2时，Sn1（n1）an12（n1）（n2），相减可得annan2n（n1）（n1）an1+2（n1）（n2），化为anan1+4，则an为首项为1，公差为4的等差数列，即有an1+4（n1）4n3；（2）证明：（），前n项和为Mn（1+）（1），由（1）在自然数集上递增，可得n1时取得最小值，且（1），则Mn【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题21（12分）已知圆C经

28、过原点O（0，0）且与直线y2x8相切于点P（4，0）（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过点（4，5），且与圆C相交于M，N两点，若|MN|2，求出直线l的方程【分析】（1）根据题意，设圆C的圆心C（m，n），半径为r，分析可得，解可得m、n、r的值，即可得答案；（2）根据题意，分2种情况讨论：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y5k（x4），由直线与圆的位置关系分析可得k的值，当斜率不存在时，即直线l为x4，验证可得其符合题意，综合2种情况即可得答案【解答】解：（1）根据题意，设圆C的圆心C（m，n），半径为r，则有，解可得：m2，n1，r，所以圆C的方程为（x2）2+（y1）25；

29、（2）根据题意，分2种情况讨论：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y5k（x4），即kxy+54k0；因为|MN|2，圆C的半径为，所以圆心到直线的距离d2；则2，解可得k，所以直线yx2；当斜率不存在时，即直线l：x4，符合题意；综合可得：综上直线l为yx2或x4【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及圆的切线方程，（2）中注意分析直线的斜率是否存在22（12分）已知函数（kR），且满足f（1）f（1）（1）求k的值；（2）若函数yf（x）的图象与直线没有交点，求a的取值范围；（3）若函数，x0，log23，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【分

30、析】（1）根据f（1）f（1），求出k的值即可；（2）令，问题转化为函数yg（x）的图象与直线ya无交点，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）根据二次函数的性质通过讨论m的范围，结合函数的最小值，求出m的值即可【解答】解：（1）f（1）f（1），即5分（2）由题意知方程即方程无解，令，则函数yg（x）的图象与直线ya无交点任取x1、x2R，且x1x2，则，g（x）在（，+）上是单调减函数，a的取值范围是（，09分注意：如果从复合函数角度分析出单调性，给全分 9分（3）由题意h（x）4x+m2x，x0，log23，令t2x1，3，（t）t2+mt，t1，3，开口向上，对称轴当，m1当，即6m2，m0（舍去）当，即m6，（t）min（3）9+3m0，m3（舍去）存在m1得h（x）最小值为012分【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想以及分类讨论思想，换元思想，是一道中档题