2018-2019学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（理科）含详细解答

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1、2018-2019学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设定点F1（2，0），F2（2，0），平面内满足|PF1|+|PF2|4的动点P的轨迹是（）A椭圆B线段C双曲线D不存在2（5分）已知平面和直线l，则内至少有一条直线与l（）A平行B相交C垂直D异面3（5分）平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若，则下列式子中与相等的是（）AB+C+D+4（5分）已知直线3x+4y30与直线6x+my+140平行，则它们之间的距离是（）ABC8D25（5分）若圆

2、C1：x2+y21与圆C2：x2+y26x8y+n0内切，则n（）A21B9C19D116（5分）“a1”是“直线l1：ax+2y80与直线l2：x+（a+1）y+40平行”的（）A充分而不必要条件B必要而充分不条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线过点（4，3），且其右焦点为F2（5，0），则双曲线的方程为（）ABCD8（5分）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若m，n，mn，则B若m，n，则mnC若m，n是异面直线，m，m，n，n，则D若，m，n，则mn9（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需要A，B两种原

3、料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3210B（吨）126A10万元B12万元C13万元D14万元10（5分）如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成直二面角BADC，则BD与平面ABC所成角的正切值为（）ABC1D11（5分）已知A（2，0），B（0，2），实数k是常数，M，N是圆x2+y2+kx0上两个不同点，P是圆x2+y2+kx0上的动点，如果M，N关于直线xy10对称，则PAB面积的最大值是（）AB4C6D12（5分）已知直线l：xy+30和点A（

4、0，1），抛物线yx2上一动点P到直线l和点A的距离之和的最小值是（）A2B1C+1D2+2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上13（5分）命题“x0，+），x2+x0”的否定是 14（5分）若x，y满足约束条件，则zxy的最大值为 15（5分）如图，F1，F2分别是椭圆1（ab0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆O与椭圆交于点A，B，C，D，若AB所在直线垂直平分线段OF2，则椭圆的离心率为 16（5分）如图，点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线B1C上运动，则下列四个命题：AP面A1C1DA1PBC1平面PD1B平面A1C1D三棱锥A

5、1DPC1的体积不变其中正确的命题序号是 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17（10分）已知ABC的三个顶点分别为A（4，0），B（0，2），C（2，2），求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）ABC的外接圆的方程18（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，各条棱长均为2，M，N分别为CC1，AB的中点（1）求证：CN平面AB1M；（2）求异面直线CN与B1M所成角的余弦值19（12分）已知圆C：x2+y28x+120，直线l：x+ay+2a0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB

6、|2时，求直线l的方程20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PDDC2BC2，PD平面ABCD，E是PC的中点，过E作EFPB交PB于F（1）求证：平面PBD平面DEF；（2）求二面角CPBD的余弦值21（12分）已知椭圆C：1（ab0）的短轴长为2，离心率为，直线l：yk（x1）与椭圆C交于不同的两点M，N，A为椭圆C的左顶点（1）求椭圆C的标准方程；（2）当AMN的面积为时，求1的方程22（12分）已知抛物线E：x22py（p0）的焦点为F，直线x2与x轴的交点为M，与抛物线E的交点为N，且4|FN|5|MN|（1）求抛物线E的方程；（2）若直线ykx+2与E交于A

7、，B两点，C（0，2），记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求证：k12+k222k2为定值2018-2019学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设定点F1（2，0），F2（2，0），平面内满足|PF1|+|PF2|4的动点P的轨迹是（）A椭圆B线段C双曲线D不存在【分析】利用已知条件判断轨迹方程，推出结果即可【解答】解：定点F1（2，0）、F2（2，0），则满足|PF1|+|PF2|4|F1F2|的动点P的轨迹为线段F1F2，故选：B【点评】本题考

8、查轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力2（5分）已知平面和直线l，则内至少有一条直线与l（）A平行B相交C垂直D异面【分析】根据平面和直线l，则直线l在平面内，或与平面平行，或平面相交，可以把这直线和平面放在长方体中进行研究，即可得到答案【解答】解：在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面为面AC，若直线l为直线AB，则直线ADAB；若直线l为直线A1B1，则直线ADA1B1；若直线l为直线AC1，直线BDAC1；故选：C【点评】此题是个基础题考查学生对直线和平面位置关系的理解，在空间图形中，只有平行具有传递性，在解决立体几何问题时，把图形放入长方体是常用的解题方法，体现了数形结合的思想3

9、（5分）平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若，则下列式子中与相等的是（）AB+C+D+【分析】推导出+（），由此能求出结果【解答】解：平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，+（）+故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间向量的加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题4（5分）已知直线3x+4y30与直线6x+my+140平行，则它们之间的距离是（）ABC8D2【分析】根据两平行直线的斜率相等，在纵轴上的截距不相等，求出 m，利用两平行直线间的距离公式求出两平行直线间的距离【解答】解：直线3x+4y30与直线6x+m

10、y+140平行，m8，故直线6x+my+140 即3x+4y+70，故两平行直线间的距离为 2，故选：D【点评】本题考查两直线平行的性质，两平行直线间的距离公式的应用5（5分）若圆C1：x2+y21与圆C2：x2+y26x8y+n0内切，则n（）A21B9C19D11【分析】根据题意，分析圆C2的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得1，解可得n的值，即可得答案【解答】解：根据题意，圆C2：x2+y26x8y+n0，其标准方程为（x3）2+（y4）225n，其圆心为（3，4），半径r，若圆C1：x2+y21与圆C2：x2+y26x8y+n0内切，则有1，解可得n11；故选：D【点评】本题考查圆与圆

11、的位置关系，注意分析圆C2的圆心半径6（5分）“a1”是“直线l1：ax+2y80与直线l2：x+（a+1）y+40平行”的（）A充分而不必要条件B必要而充分不条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若直线l1：ax+2y80与直线l2：x+（a+1）y+40平行，则a（a+1）20，即a2+a20，解得a1或a2，当a2时，直线l1方程为2x+2y80，即xy+40，直线l2：xy+40，此时两直线重合，则a2，故“a1”是“直线l1：ax+2y80与直线l2：x+（a+1）y+40平行”的充要条件，故选：C【点评】本题

12、主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键7（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线过点（4，3），且其右焦点为F2（5，0），则双曲线的方程为（）ABCD【分析】利用已知条件列出方程组，求出a，b即可得到双曲线方程【解答】解：双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线过点（4，3），可得，其右焦点为F2（5，0），可得a2+b225，可得a4，b3，所以双曲线的方程为：故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基本知识的考查8（5分）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若m，n，mn，则B若m，n

13、，则mnC若m，n是异面直线，m，m，n，n，则D若，m，n，则mn【分析】通过图示容易否定A，B，D，故选C【解答】解：A如图可否定A；B如图可否定B；D如图可否定D，故选：C【点评】此题考查了线面位置关系，难度较小9（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需要A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3210B（吨）126A10万元B12万元C13万元D14万元【分析】设该企业生产甲产品x吨，乙产品y吨，利润为z万元，根据条件求出约束条件和目标函数，利用线性规划

14、的知识进行求解即可【解答】解：设该企业生产甲产品x吨，乙产品y吨，利润为z万元，则约束条件为，且x，y0，目标函数z3x+4y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z3x+4y，得yx+，平移直线yx+，由图象知当直线yx+经过点A时，yx+的截距最大，此时z最大，由得，即A（2，2），此时z32+426+814（万元），即该企业生产甲产品2吨，乙产品2吨，利润为14万元，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用问题，求出约束条件和目标函数，作出对应区域，利用目标函数的几何意义结合数形结合是解决本题的关键10（5分）如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成直二面角BADC，则BD与平面

15、ABC所成角的正切值为（）ABC1D【分析】取BC中点F连AF过D作DEAF，连接BE，证明DBE为BD与平面ABC所成角，在RtBED中，求出BD与平面ABC所成角的正切值【解答】解：取BC中点F连AF过D作DEAF，连接BE，BDCD，DFBC，ADBD，ADCD，BDCDDAD平面BCD，BC平面BCD，ADBC，BC平面ADF，BCDE，DEAF，BCAFF，DE平面ABC，DBE为BD与平面ABC所成角，设AB1，则BDAD，BC1，AFDF，在RtADF中，DE，在RtBED中，BE，tanBDE故选：B【点评】本题考查BD与平面ABC所成角的正切值，考查学生的计算能力，正确作出直

16、线与平面所成的角是关键11（5分）已知A（2，0），B（0，2），实数k是常数，M，N是圆x2+y2+kx0上两个不同点，P是圆x2+y2+kx0上的动点，如果M，N关于直线xy10对称，则PAB面积的最大值是（）AB4C6D【分析】利用M，N是圆x2+y2+kx0上不同的两点，M，N关于xy10对称，可得圆心坐标与半径，进而可求PAB面积的最大值【解答】解：由题意，圆x2+y2+kx0的圆心（，0）在直线xy10上，10，k2圆x2+y2+kx0的圆心坐标为（1，0），半径为1A（2，0），B（0，2），直线AB的方程为+1，即xy+20圆心到直线AB的距离为PAB面积的最大值是2（1+）3

17、+故选：D【点评】本题考查圆的对称性，考查三角形面积的计算，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题12（5分）已知直线l：xy+30和点A（0，1），抛物线yx2上一动点P到直线l和点A的距离之和的最小值是（）A2B1C+1D2+2【分析】过点P作PC垂直于抛物线的准线m，垂足为点C，过点P作PB垂直于直线l，垂足为点B，然后将直线l的方程与抛物线的方程联立，求出两个交点M、N的坐标，问题即为求|PB|+|PC|的最小值，结合图形，观察得出当点P位于点M时取最小值，结合图形可得出答案【解答】解：如下图所示，过点P作PBl，垂足为点B，过点P作PC垂直于抛物线的准线m：x1，垂足

18、为点C，易知抛物线为点A（0，1），则点P到A的距离等于点P到抛物线的准线m：x1的距离，及|PA|PC|，则|PA|+|PB|PC|+|PB|，将直线l的方程与抛物线的方程联立，消去y得，x24x120，解得或，则直线l交抛物线于点M（2，1）和点N（6，9）问题为求|PB|+|PC|的最小值，当点P位于点M时，|PB|+|PC|取得最小值，且最小值为点M到直线m的距离为2故选：A【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，属于中等题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上13（5分）命题“x0，+），x2+x0

19、”的否定是x00，+），x02+x00【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“x0，+），x2+x0”的否定是x00，+），x02+x00故答案为：x00，+），x02+x00【点评】本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“xA，P（x）”的否定是特称命题：“xA，非P（x）”，是解答此类问题的关键14（5分）若x，y满足约束条件，则zxy的最大值为1【分析】先根据约束条件画出可行域，设zxy，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线zxy过可行域内的点A时，从而得到zxy的最大值即可【解答】解：依题意，画出x，y满

20、足约束条件可行域（如图示），则对于目标函数yxz，当直线zxy经过A（2，1）时，z取到最大值，Zmax1故答案为：1【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，目标函数有唯一最优解是最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解，属中档题15（5分）如图，F1，F2分别是椭圆1（ab0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆O与椭圆交于点A，B，C，D，若AB所在直线垂直平分线段OF2，则椭圆的离心率为【分析】由题意得到A点坐标，利用椭圆方程的定义即可求得AF1+AF2+2a从而求得椭圆的离心率；【解答】解：可得OAc，AB所在直线

21、垂直平分线段OF2，A（）F1（c，0），F2（c，0），AF1+AF2+2a则椭圆的离心率为e故答案为：1【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的离心率的计算，是中档题16（5分）如图，点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线B1C上运动，则下列四个命题：AP面A1C1DA1PBC1平面PD1B平面A1C1D三棱锥A1DPC1的体积不变其中正确的命题序号是【分析】由面面平行的判定与性质判断正确；由线面垂直的判定与性质判断正确；由线面垂直的判定及面面垂直的判定判断正确；利用等积法说明正确【解答】解：对于，连接AB1，AC，可得ACA1C1，AB1DC1，B1AC面A1C1D，从而有AP面A1C

22、1D，故正确；对于，由A1B1BC1，B1CBC1，且A1B1B1CB1，得BC1平面A1B1CD，则A1PBC1，故正确；对于，连接D1B，由D1BA1C1且D1BA1D，可得D1B面A1C1D，又BD1平面PD1B，由面面垂直的判定知平面PD1B平面A1C1D，故正确；对于，容易证明A1DB1C，从而B1C平面A1DC1，故B1C上任意一点到平面A1DC1的距离均相等，以P为顶点，平面A1DC1为底面，则三棱锥A1DPC1的体积不变，故正确正确命题的序号是故答案为：【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题三、解答题：本大题共6小题，共7

23、0分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17（10分）已知ABC的三个顶点分别为A（4，0），B（0，2），C（2，2），求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）ABC的外接圆的方程【分析】（1）由AB的斜率的AB上的高所在直线的斜率，再由点斜式得直线方程；（2）设三角形外接圆的一般方程，再代入三个点的坐标，解方程组可得【解答】解：（1）直线AB的斜率为，AB边上的高所在直线的斜率为2，.（2分）则AB边上的高所在直线的方程为y+22（x2），（4分）即2x+y20（5分）（2）设ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0（6分）由，解之可得（9分）故ABC的外接圆的方程为x2

24、+y2+2x+2y80（10分）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题18（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，各条棱长均为2，M，N分别为CC1，AB的中点（1）求证：CN平面AB1M；（2）求异面直线CN与B1M所成角的余弦值【分析】（1）取AB1的中点Q，连结NQ，MQ，推导出四边形NQMC是平行四边形，NCMQ，由此能证明CN平面AB1M（2）取BB1中点R，连结CR，NR，推导出四边形CMBR是平行四边形，从而CRB1M，进而RCM为异面直线CN与B1M所成角，异面直线CN与B1M所成角的余弦值【解答】证明：（1）取AB1的中点Q，连结NQ，MQ，N，Q分

25、别是AB，AB1的中点，NQ，又M是CC1的中点，MCBB1，NQMC，四边形NQMC是平行四边形，NCMQ，CN平面AB1M，MQ平面AB1M，CN平面AB1M解：（2）取BB1中点R，连结CR，NR，M，R分别是CC1，BB1的中点，CMB1R，四边形CMBR是平行四边形，CRB1M，RCM为异面直线CN与B1M所成角，ABC是边长为2正三角形，CN，又三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，CR，NR，CN2+NR2CR2，RNC90，cos，异面直线CN与B1M所成角的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，

26、考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题19（12分）已知圆C：x2+y28x+120，直线l：x+ay+2a0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|2时，求直线l的方程【分析】（1）根据题意，由圆的方程分析圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得2，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，设圆心C到直线l的距离为d，结合直线与圆的位置关系可得：（）2+d2r2，解可得d的值，由点到直线的距离公式可得d，解可得a的值，将a的值代入直线的方程即可得答案【解答】解：（1）根据题意，圆C：x2+y28x+120，则圆C

27、的方程为（x1）2+y21，其圆心为（1，0），半径r2；若直线l与圆C相切，则有2，解可得a；（2）设圆心C到直线l的距离为d，则有（）2+d2r2，即2+d24，解可得d，则有d，解可得a1或7；则直线l的方程为xy20或x7y140【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切、相交的性质，属于基础题20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PDDC2BC2，PD平面ABCD，E是PC的中点，过E作EFPB交PB于F（1）求证：平面PBD平面DEF；（2）求二面角CPBD的余弦值【分析】（1）推导出PDBC，BCCD，从而BC平面PCD，进而BCDE，再由DEP

28、C，得DE面PBC，从而DEPB，再由EFPB，得PB面DEF，由此能证明平面PBD平面DEF（2）以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出二面角CPBD的余弦值【解答】证明：（1）PD平面ABCD，PDBC，四边形ABCD是矩形，BCCD，PDCDD，BC平面PCD，而DE面PCD，BCDE，（2分）PDDC，E是PC的中点，DEPC，DE面PBC，DEPB，（4分）又EFPB，PB面DEF，PB平面PBD，平面PBD平面DEF（6分）解：（2）以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，2，0），B（1，2，

29、0），P（0，0，2），E（0，1，1），.（7分）由（1）可知面PBC的一个法向量（0，1，1），.（8分）设面PBD的一个法向量（x，y，z），（1，2，0），（0，0，2），由，令x2，则（2，1，0），（10分）设二面角CPBD的平面角为，则cos，二面角CPBD的余弦值为（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题21（12分）已知椭圆C：1（ab0）的短轴长为2，离心率为，直线l：yk（x1）与椭圆C交于不同的两点M，N，A为椭圆C的左顶点（1）求椭圆C的标准方程；

30、（2）当AMN的面积为时，求1的方程【分析】（1）根据椭圆短轴长为2，离心率，可建立方程组求得a，b，从而可求椭圆C的方程；（2）直线yk（x1）与椭圆C联立，消元可得（3+4k2）x26k2x+4k2120，从而可求|MN|，求出A（2，0）到直线yk（x1）的距离，利用AMN的面积为，可求k的值【解答】解：（1）依题意2b2，而a2b2+c2 （2分）解之可得a2，b，c1 （4分）椭圆C的标准方程为 （5分）（2）设设M（x1，y1），N（x2，y2），由消去y得消元可得（3+4k2）x26k2x+4k2120.（6分）则x1+x2 则x1+x2，x（8分）|MN|x1x2|（9分）点A

31、（2，0）到直线yk（x1）的距离为d.（10分）S|MN|d17k4+k2180k1直线l的方程为xy10或x+y10.（12分）【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式22（12分）已知抛物线E：x22py（p0）的焦点为F，直线x2与x轴的交点为M，与抛物线E的交点为N，且4|FN|5|MN|（1）求抛物线E的方程；（2）若直线ykx+2与E交于A，B两点，C（0，2），记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求证：k12+k222k2为定值【分析】（1）先求出点N的坐标，再利用两点间的距离公式以及抛物线的定义，并结合条件4|F

32、N|5|MN|求出p的值，可得出抛物线E的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与抛物线E的方程联立，列出韦达定理，利用两点间的斜率公式并代入韦达定理可计算出k12+k222k2为定值【解答】解：（1）设N（2，y0），代入x22py，得，而M（2，0），则又，由4|FN|5|MN|，得，则p1，因此，抛物线E的方程为x22y；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），由，得x22kx40由韦达定理可得x1+x22k，x1x244k2+160，2k24k2+4k2+82k2+8，因此，【点评】本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的定义及抛物线方程的求解，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题