中考数学复习专题04 换元法专题研究（解析版）

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1、备战2020中考数学解题方法专题研究专题4 换元法专题【方法简介】解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。换元法又称变量替换法 , 是我们解题常用的方法之一 。利用换元法 , 可以化繁为简 , 化难为易 , 从而找到解题的捷径 。【真题演练】1. 若（x2+y22）2=9，则x2+y2的值为（）A1 B1 C5 D5或1【解析】：设t=x2+y2（t0），由原方程得：（t2）2=9，解得t2=3，解得t=5或t=1（舍去）故选

2、：C2. 用“整体法”求得方程（2x+5）24（2x+5）+3=0的解为（）Ax1=1，x2=3Bx1=2，x2=3Cx1=3，x2=1Dx1=2，x2=1【解析】：（2x+5）24（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y24y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=1，即原方程的解为x1=2，x2=1，故选：D3. 若实数a，b满足（2a+2b）（2a+2b2）8=0，则a+b= 【解析】设a+b=x，则由原方程，得2x（2x2）8=0，整理，得4x24x8=0，即x2x2=0，分解得：（x+1）（x2）=

3、0，解得：x1=1，x2=2则a+b的值是1或2故答案是：1或24. 阅读下面的材料，回答问题：解方程x45x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y25y+4=0 ，解得y1=1，y2=4当y=1时，x2=1，x=1；当y=4时，x2=4，x=2；原方程有四个根：x1=1，x2=1，x3=2，x4=2（1）在由原方程得到方程的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想【解析】：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y24y12=0，解得y1=6，y2=2由x2+x=6，得x1=3，x2=2由x2+x

4、=2，得方程x2+x+2=0，b24ac=142=70，此时方程无实根所以原方程的解为x1=3，x2=2【名词释义】概念：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。经验：换元法，可以运用于因式分解、解方程或方程组等方面。换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，现举例说明.详解：换元法主要有双换元、整体换元、均值换元，倒数换元几种形式。【典例示例】例题1：解方

5、程：(x1)(x2)(x3)(x4)24【解析】（x1）（x4)x25x4，（x2）(x3)x25x6，设tx25x4，则可将原方程转化为关于t的一元二次方程t(t2)24即t22t240，（t4)(t6)0，t4t6当t4时，x25x0，x0，或x5；当t6时，x25x100，此方程无解故原方程的解为x0，或x5例题2：解方程组解：由可设，即，代入，得.原方程组的解为【强化巩固】1. 已知方程x2+3x4=0的解是x1=1，x2=4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）4=0的解是（）Ax1=1，x2=3.5Bx1=1，x2=3.5 Cx1=1，x2=3.5Dx1=1，x2=3.5【解析】：

6、把方程（2x+3）2+2（2x+3）3=0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=4，所以x1=1，x2=3.5故选：A2. 计算:的结果应该是( )A. B. C. D.【解析】 令则原式.故选A.3. 已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）3=0，那么x2+3x的值为（）A3 B3或1 C1 D1或3【解析】：由y=x2+3x，则（x2+3x）2+2（x2+3x）3=0，可化为：y2+2y3=0，分解因式，得，（y+3）（y1）=0，解得，y1=3，y2=1，当x2+3x=3时，经=3234=30检验，可知x不是实数当x2+3x=1时，经检验，符合题意故选

7、：C4. 如果（m+n）（m+n+5）=6，则m+n= 【解析】：设m+n为x则（m+n）（m+n+5）=6变形为x（x+5）=6移项去括号得x2+5x6=0因式分解得（x+6）（x1）=0解得x=1或6即m+n=1或65. 设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y21）=20，则这个直角三角形的斜边长为 【解析】：设x2+y2=t，则原方程可化为：t（t1）=20，t2t20=0，即（t+4）（t5）=0，t1=5，t2=4（舍去），x2+y2=5，这个直角三角形的斜边长为，故答案为：6. 【解析】设x-2=m,3-y=n.则原方程组可化为7. 解方程:.【解析】

8、令，则原方程变形为,整理得.解上述关于的一元二次方程，得.，或.解上述两个关于的一元二次方程，得，.8. 阅读下面的材料，解答后面的问题材料：“解方程x43x2+2=0”解：设x2=y，原方程变为y23y+2=0，（y1）（y2）=0，得y=1或y=2当y=1时，即x2=1，解得x=1；当y=2时，即x2=2，解得x=综上所述，原方程的解为x1=1，x2=1，x3=x4=问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是 A加减消元法 B代入消元法 C换元法 D待定系数法（2）采用类似的方法解方程：（x22x）2x2+2x6=0【解析】（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法故答案是：C；（2）设x22x=y，原方程化为y2y6=0，整理，得（y3）（y+2）=0，得y=3或y=2当y=3时，即x22x=3，解得x=1或x=3；当y=2时，即x22x=2，解得x=1综上所述，原方程的解为x1=1，x2=3，x3=1+x4=17