中考数学复习专题01 归纳法专题研究（解析版）

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1、备战2020中考数学解题方法专题研究专题1 归纳法专题【方法简介】归纳推理是一种由个别到一般的推理。由一定程度的关于个别事物的观点过渡到范围较大的观点，由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的解释方法。自然界和社会中的一般，都存在于个别、特殊之中，并通过个别而存在。一般都存在于具体的对象和现象之中，因此，只有通过认识个别，才能认识一般。人们在解释一个较大事物时，从个别、特殊的事物总结、概括出各种各样的带有一般性的原理或原则，然后才可能从这些原理、原则出发，再得出关于个别事物的结论。不完全归纳法是指从一个或几个(但不是全部)特殊情况作一般性的结论的归纳推理。这种归纳法是用一定数量数值为基础,进行分

2、析探究,从中找出规律,并将此规律推广应用到一般情况下的计算和证明在初中数学教材中，经常会用这种方法进行定义、公式、法则、定理的推导学生在学习中,若能正确运用不完全归纳法,可提高分析、解决问题能力，发现、探索问题的能力。【真题演练】1. （2019甘肃武威4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，按照这个规律写下去，第9个数是_【解答】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b2. （2019甘肃3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如

3、果第n幅图中有2019个菱形，则n_【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个第2幅图中有2213个第3幅图中有2315个第4幅图中有2417个可以发现，每个图形都比前一个图形多2个故第n幅图中共有（2n1）个当图中有2019个菱形时，2n12019，n1010，故答案为：10103. （2019湖北武汉3分）观察等式：2+22232；2+22+23242；2+22+23+24252已知按一定规律排列的一组数：250、251.252.、299.2100若250a，用含a的式子表示这组数的和是（）A2a22aB2a22a2C2a2aD2a2+a【解答】解：2+22232；2+22+23242

4、；2+22+23+24252；2+22+23+2n2n+12，250+251+252+299+2100（2+22+23+2100）（2+22+23+249）（21012）（2502）2101250，250a，2101（250）222a2，原式2a2a故选：C4. （2019衢州模拟）在平面直角坐标系中，一组菱形A1C1B1O，A2C2B2C1，A3C3B3C2，A4C4B4C3，按如图22方式放置，已知点A1(1，0)，A2(3，0)，A3(5，0)，An(2n1，0)，点B1(0，1)，B2(0，3)，B3(0，5)，Bn(0，2n1)，则菱形A5C5B5C4的面积为( )A5 B9 C5

5、D9【解析】 根据题意得A5(9，0)，B5(0，9)，则A5B59，又C5C4C4C3C1O，菱形A5C5B5C4的面积为99.【名词释义】归纳猜想型问题也是探索规律型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论归纳法主要运用于以下方面：（一）在推导法则、定理中的运用1.利用不完全归纳法推导分式乘方的运算法则；2.利用不完全归纳法推导凸多边形内角和定律（二）在解题中的应用1 . 从计算结果中探究规律；2.从图形的特征中探究规律【典例示例】例题1：观察下列等

6、式：第一个等式：a1；第二个等式：a2；第三个等式：a3；第四个等式：a4.按上述规律，回答下列问题：(1)请写出第六个等式：a6 _；(2)用含n的代数式表示第n 个等式：an _；(3)a1a2a3a4a5a6_(得出最简结果)；(4)计算：a1a2an.解：(3)a1a2a3a4a5a6；(4)a1a2an.例题2：（2019湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3An在x轴上，B1、B2、B3Bn在直线yx上，若A1（1，0），且A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3Sn则Sn可表示为（）

7、A22nB22n1C22n2D22n3【解答】解：A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等边三角形，A1B1A2B2A3B3AnBn，B1A2B2A3B3A4BnAn+1，A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等边三角形，直线yx与x轴的成角B1OA130，OA1B1120，OB1A130，OA1A1B1，A1（1，0），A1B11，同理OB2A230，OBnAn30，B2A2OA22，B3A34，BnAn2n1，易得OB1A290，OBnAn+190，B1B2，B2B32 ，BnBn+12n ，S11，S222 2 ，Sn2n12n ；故选：D【归纳总结】“有比较才有鉴别”。

8、通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。【强化巩固】1. (2019云南4分)按一定规律排列的单项式：x3，x5，x7，x9，x11，第n个单项式是( )A B C D 【解答】解：观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，可以用或(为大于等于1的整数)来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为，故选C22018张家界观察下列算式：212，224，238，2416，2532，

9、2664，则22223242522 018的末位数字是()A8 B6 C4 D0【解析】 由题意可知，末位数字每4个算式是一个周期，分别为2，4，8，6，2 01845042，22 018与22的末位数字相同，为4.248620，末位数字是0，22223242522 018的末位数字是246.3. （2019贵州省铜仁市4分）按一定规律排列的一列数依次为：，（a0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是_（n为正整数）A（1）nB（1）n+1C（1）n-1D 【解答】解：第1个数为（1）1，第2个数为（1）2，第3个数为（1）3，第4个数为（1）4，所以这列数中的第n个数是（1）n故选A。4

10、. （2019四川省达州市3分）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为1，1的差倒数，已知a15，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，依此类推，a2019的值是（）A5BCD【解答】解：a15，a2，a3，a45，数列以5，三个数依次不断循环，20193673，a2019a3，故选：D5. （2019河南3分）如图，在OAB中，顶点O（0，0），A（3，4），B（3，4），将OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A（10，3）B（3，10）C（10，3）D（3，10）【解答】解：A（3，4

11、），B（3，4），AB3+36，四边形ABCD为正方形，ADAB6，D（3，10），70417+2，每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90，点D的坐标为（3，10）故选：D6. （2019黑龙江省齐齐哈尔市3分）如图，直线l：yx+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3x轴，交直线l于点A3，依此规律，若图中阴影A1OB1的面积为S1，阴影A2B1B2的面积为S2，阴影A3B2B3的面积为S3，

12、则Sn_【解答】解：直线l：yx+1，当x0时，y1；当y0时，xA（，0）A1（0，1）OAA130又A1B1l，OA1B130，在RtOA1B1中，OB1OA1，S1；同理可求出：A2B1，B1B2，S2；依次可求出：S3；S4；S5因此：Sn故答案为：7. （2018衢州）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的(a，)变换如图25，等边三角形ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，A1B1C1是ABC经(1，180)变化后所得的图象若ABC经(1，180)变换后得A1B1C1，A1B1

13、C1经(2，180)变换后得A2B2C2，A2B2C2经(3，180)变换后得A3B3C3，依此类推An1Bn1Cn1经(n，180)变换后得AnBnCn，则点A1的坐标是_，点A2 018的坐标是_.图25【解析】 ABC为边长为1的等边三角形，A，向右平移1个单位后为，再绕原点顺时针旋转180，即关于原点对称后为A1；A1向右平移2个单位后为，与原点对称后为A2；A3；A4由n2 018为偶数，得A2 018的坐标是.8. （2019湖南益阳4分）观察下列等式：32（1）2，52（）2，72（）2，请你根据以上规律，写出第6个等式_【解答】解：写出第6个等式为132（）2故答案为132（）

14、29. （2019四川自贡10分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+22017+22018的值，采用以下方法：设S1+2+22+22017+22018则2S2+22+22018+22019得2SSS220191S1+2+22+22017+22018220191请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+29_；（2）3+32+310_；（3）求1+a+a2+an的和（a0，n是正整数，请写出计算过程）【解答】解：（1）设S1+2+22+29则2S2+22+210得2SSS2101S1+2+22+292101；故答案为：2101（2）设S1+3+32+33+34+310 ，则3S3+

15、32+33+34+35+311 ，得2S3111，所以S，即1+3+32+33+34+310；故答案为：；（3）设S1+a+a2+a3+a4+.+an，则aSa+a2+a3+a4+.+an+an+1，得：（a1）San+11，所以S，即1+a+a2+a3+a4+.+an，10. 如图，数轴上有一动点Q从A出发，沿正方向移动 (1)当AQ2QB时，则Q点在数轴上所表示的数为_；(2)数轴上有一点C，且点C满足ACmBC(其中m1)，求点C在数轴上所表示的数(用含m的代数式表示)；(3)点P1为线段AB的中点，点P2为线段BP1的中点，点P3为线段BP2的中点，依此类推，点Pn为线段BPn1的中点

16、，它们在数轴上表示的数分别为p1，p2，p3，pn(n为正整数)当n2时，2pnpn1是否恒为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；记Sp1p2p3pn12pn，求当n2 020时S的值【解析】：(2)ACmBC，BC，当C在A，B之间时，ACBC1，AC1，解得AC；当C在点B的右边时，ACBC1，AC1，解得AC.综上，C点在数轴上所表示的数为或；(3)由题意得P1表示的数为，P2表示的数为，Pn表示的数为，2pnpn121，即当n2时，2pnpn1恒为定值1；由可知2pnpn11，即2pnpn11，Sp1p2p3p2 0192p2 020p1p2p3p2 019p2 0191p1p2p32p2 0182p12p22 0182p12 0192 020.12