2019-2020学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷（理科）含详细解答

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1、2019-2020学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“xR，x2x”的否定是（）AxR，x2xBxR，x2xCx0R，x0Dx0R，x02（5分）下列命题中正确的是（）A若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B垂直于同一平面的两个平面平行C存在两条异面直线同时平行于同一平面D三点确定一个平面3（5分）AC0，B0是方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F0表示圆的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D不充分不必要条件4（5分）已知平面

2、内有一个点M（1，1，2），平面的一个法向量是（6，3，6），则下列点P中在平面内的是（）AP（2，3，3）BP（2，0，1）CP（4，4，0）DP（3，3，4）5（5分）椭圆1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A7倍B5倍C4倍D3倍6（5分）如图，球O内切于圆柱O1O2，记圆柱O1O2的侧面积为S1，球O的表面积为S2，则（）ABS1S2 CS12S2D7（5分）已知F为双曲线的左焦点，P，Q为C右支上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则PFQ的周长为（）A28B36C44D488（5分）某几何体的三

3、视图如图所示，则该几何体的体积为（）A6BCD49（5分）双曲线x2y21右支上一点P（a，b）到直线l：yx的距离d则a+b（）ABC或D2或210（5分）在ABC中，ACB90，D是BC的中点，PA平面ABC，如果PB、PC与平面ABC成的角分别是30和60，那么PD与平面ABC所成的角为（）A30B45C60D7511（5分）如图，过抛物线y22px（p0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若，且，则p的值为（）AB3CD12（5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所

4、成的角为，则cos的最大值为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13（5分）抛物线x28y的准线方程为 14（5分）ABC的两个顶点为A（0，0），B（6，0），顶点C在曲线yx2+3上运动，则ABC的重心G的轨迹方程为 15（5分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角的大小为 16（5分）如图，已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，|F1F2|8，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|2，则该双曲线的离心率为 三、解答题

5、：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17（10分）如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线18（12分）已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y2x+1截得的弦长为，求此抛物线方程19（12分）已知点A（2，a），圆C：（x1）2+y25（）若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；（）设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值20（12分）如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，ABC

6、60，E是BC边的中点，F是PA边上的中点，连接AE、EF（1）求证：AEPD；（2）求证：EF平面PCD21（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|2（）求椭圆C的方程；（）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由22（12分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，ABCDEF，ABADCDDAAFFE2，AB4（1）求证：DF平面BCE；（）求二面角CBFA的正弦值；（）线段CE上是否存在点G

7、，使得AG平面BCF？请说明理由2019-2020学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“xR，x2x”的否定是（）AxR，x2xBxR，x2xCx0R，x0Dx0R，x0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题，则p：x0R，x0故选：D【点评】本题考查命题得到，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题2（5分）下列命题中正确的是（）A若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平

8、面平行B垂直于同一平面的两个平面平行C存在两条异面直线同时平行于同一平面D三点确定一个平面【分析】根据面面平行，面面垂直相关性质逐一进行判断即可【解答】解：对于A，根据面面平行的判断定理可知，平面的两条直线必须是相交直线，所以A错误；对于B，垂直于同一平面的两个平面除了平行还有可能垂直，故B错误；对于D，不共线3点确定一个平面，故D错误，故选：C【点评】本题考查命题真假性的判断，考查空间面面关系，属于基础题3（5分）AC0，B0是方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F0表示圆的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D不充分不必要条件【分析】方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F

9、0表示圆，必有AC0，B0并且D2+E24F0，利用充要条件的判定方法判定即可【解答】解：方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F0表示圆，必有AC0，B0并且D2+E24AF0；反之AC0，B0方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F0不一定表示圆故选：B【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，充要条件的判定方法是基础题4（5分）已知平面内有一个点M（1，1，2），平面的一个法向量是（6，3，6），则下列点P中在平面内的是（）AP（2，3，3）BP（2，0，1）CP（4，4，0）DP（3，3，4）【分析】可设出平面内内一点坐标P（x，y，z），求出与平面平行的向量（x1，y+1，z2）

10、，利用数量积为0可得到x，y，z的关系式，代入各选项的数据可得结果【解答】解：设平面内一点P（x，y，z），则：（x1，y+1，z2）（6，3，6）是平面的法向量，6（x1）3（y+1）+6（z2）6x3y+6z21，由0得6x3y+6z2102xy+2z7把各选项的坐标数据代入上式验证可知A适合故选：A【点评】本题考查空间向量点的坐标的概念，法向量的概念，向量数量积的概念5（5分）椭圆1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A7倍B5倍C4倍D3倍【分析】由题设知F1（3，0），F2（3，0），由线段PF1的中点在y轴上，设P（3，b

11、），把P（3，b）代入椭圆1，得再由两点间距离公式分别求出|P F1|和|P F2|，由此得到|P F1|是|P F2|的倍数【解答】解：由题设知F1（3，0），F2（3，0），如图，设P点的坐标是（x，y），线段PF1 的中点坐标为（，）线段PF1的中点M在y轴上，0x3将P（3，y）代入椭圆1，得到y2|PF1|，|PF2|故选：A【点评】本题考查椭圆的基本性质和应用，解题时要注意两点间距离公式的合理运用6（5分）如图，球O内切于圆柱O1O2，记圆柱O1O2的侧面积为S1，球O的表面积为S2，则（）ABS1S2 CS12S2D【分析】设球的半径为R，可得圆柱的底面半径为R，高为2R，由此求

12、出球的表面积与圆柱的侧面积得答案【解答】解：设球的半径为R，可得圆柱的底面半径为R，高为2R，则球的表面积，圆柱的侧面积，S1S2故选：B【点评】本题考查圆柱及其内切球的表面积的运算，是基础题7（5分）已知F为双曲线的左焦点，P，Q为C右支上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则PFQ的周长为（）A28B36C44D48【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决求出周长即可【解答】解：双曲线C：的左焦点F（5，0），点A（5，0）是双曲线的右焦点，则b4，即虚轴长为2b8；双曲线图象如图：|PF|AP|2a6 |QF|QA

13、|2a6 而|PQ|16，+得：|PF|+|QF|PQ|12，周长为l|PF|+|QF|+|PQ|12+2|PQ|44，故选：C【点评】本题考查三角形周长的计算，根据双曲线的定义将三角形的两边之差转化为2a，通过对定义的考查求出周长是解决本题的关键考查学生的转化能能力8（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A6BCD4【分析】三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱，底面是直角梯形，利用三视图的数据直接求解几何体的体积即可【解答】解：三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱，底面是直角梯形，上底为1，下底长为2，高为2，棱柱的高为2所以几何体的体积为：6故选：A【点评】本题考查三视图求几

14、何体的体积，三视图复原的几何体的形状是解题的关键9（5分）双曲线x2y21右支上一点P（a，b）到直线l：yx的距离d则a+b（）ABC或D2或2【分析】P（a，b）点在双曲线上，则有a2b21，即（a+b）（ab）1根据点到直线的距离公式能够求出ab的值，注意ab，从而得到a+b的值【解答】解：P（a，b）点在双曲线上，有a2b21，即（a+b）（ab）1A（a，b）到直线yx的距离为，d，|ab|2又P点在右支上，则有ab，ab2a+b，故选：B【点评】本题以点到直线的距离为载体，考查双曲线的性质，关键是利用点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用10（5分）在ABC中，ACB90，D是

15、BC的中点，PA平面ABC，如果PB、PC与平面ABC成的角分别是30和60，那么PD与平面ABC所成的角为（）A30B45C60D75【分析】推导出PBA30，PCA60，设PAa，求出ABAC，BCa，ADa，由此能求出PD与平面ABC所成的角【解答】解：在ABC中，ACB90，D是BC的中点，PA平面ABC，PB、PC与平面ABC成的角分别是30和60，PBA30，PCA60，设PAa，则AB，AC，BCa，ADa，PD与平面ABC所成的角的正切值为：tanPDA1，PDA45故选：B【点评】本题考查线线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中

16、档题11（5分）如图，过抛物线y22px（p0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若，且，则p的值为（）AB3CD【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，根据抛物线定义可知|BD|a，进而推断出BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BDFG，利用比例线段的性质可求得p即可【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由定义得：|BD|a，故BCD30，在直角三角形ACE中，|AE|3，|AC|3+3a，2|AE|AC|3+3a6，从而得a1，BDFG，求得p，故选：C【点评】本题主

17、要考查了抛物线的标准方程考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握12（5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为（）ABCD【分析】如图所示，建立空间直角坐标系不妨设AB2设M（0，t，2），0t2可得cos，令f（t），t0，2利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系不妨设AB2则A（0，0，0），E（1，0，0），F（2，1，0），设M（0，t，2），0t2（2，1，0），（1，t，2），cos，令f（t），t0，2f（t）0

18、，函数f（t）在t0，2上单调递减t0时，函数f（t）取得最大值cos的最大值为：故选：C【点评】本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13（5分）抛物线x28y的准线方程为y2【分析】由于抛物线x22py的准线方程为y，则抛物线x28y的准线方程即可得到【解答】解：由于抛物线x22py的准线方程为y，则有抛物线x28y的准线方程为y2故答案为：y2【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题14（5分）ABC的两个顶点为A（0，

19、0），B（6，0），顶点C在曲线yx2+3上运动，则ABC的重心G的轨迹方程为y3（x2）2+1【分析】设C（m，n），ABC的重心G设为（x，y），由三角形的重心坐标公式，由代入法，化简可得所求轨迹方程【解答】解：设C（m，n），ABC的重心G设为（x，y），可得3x0+6+m，3y0+0+n，即有m3x6，n3y，由nm2+3，可得3y（3x6）2+3，化为y3（x2）2+1，可得ABC的重心G的轨迹方程为y3（x2）2+1，故答案为：y3（x2）2+1【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用代入法，考查化简运算能力，属于基础题15（5分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面

20、，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角的大小为30【分析】取B1C1中点为D，连接AD，A1D，证明AA1与平面AB1C1所成角为A1AD，AA1与平面AB1C1所成角即是BB1与平面AB1C1所成角，即可得到结论【解答】解：取B1C1中点为D，连接AD，A1D侧棱垂直于底面，底边是边长为2的正三角形三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，BB1AA1，AA1与平面AB1C1所成角即是BB1与平面AB1C1所成角B1C1AD，B1C1AA1，B1C1平面AA1D平面AA1D平面AB1C1，AA1与平面AB1C1所成角为A1ADAA13，A1DtanA1ADA1AD

21、30BB1与平面AB1C1所成角为30故答案为：30【点评】本题考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键作二面角的平面角时，有时可以借助转化换位置法作图，如本题就采用了这一技巧16（5分）如图，已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，|F1F2|8，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|2，则该双曲线的离心率为2【分析】通过双曲线的定义，结合直线与圆相切，转化求解即可【解答】解：由题意可得：|PF1|MF2|，PQ2，可得|PF1|PF2|2a，所以2+|MF2|PF2|2a，可得2+22a，所以a2，|F1F2|

22、8，可得c4，所以e2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17（10分）如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线【分析】欲证C1，O，M三点共线，只须证它们都在平面A1ACC1与平面DBC1的交线上，根据立体几何中的公理可知，只要说明C1，O，M三点是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点即可【解答】证明：如图，因为C1平面A1ACC1，且C1平面DBC1，C1是平面A1ACC1与

23、平面DBC1的公共点，又因为MAC，所以M平面A1ACC1，MBD，M平面DBC1，M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，C1M是平面A1ACC1与平面DBC1交线，O是A1C与平面DBC1的交点，O平面A1ACC1，O平面DBC1，O也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，O直线C1M，即C1，O，M三点共线【点评】本题主要考查了平面的基本性质及推论，做题时目标明确，知道要证什么就需证什么，掌握基本方法18（12分）已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y2x+1截得的弦长为，求此抛物线方程【分析】设出抛物线的方程，直线与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理求得x1+x

24、2的值，进而利用弦长公式求得|AB|，由AB可求p，则抛物线方程可得【解答】解：由题意可设抛物线的方程y22px（p0），直线与抛物线交与A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程可得，4x2+（42p）x+10则，y1y22（x1x2）解得p6或p2抛物线的方程为y212x或y24x【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程解题的关键是对抛物线基本性质和标准方程的熟练应用19（12分）已知点A（2，a），圆C：（x1）2+y25（）若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；（）设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值【分析】（）由

25、题意知点A在圆C上，代入方程求出a的值，利用垂直关系求出切线的斜率，写出切线方程；（）由题意设出直线l的方程，利用直线l过点A和圆心到直线的距离列出方程组，求解即可【解答】解：（）由于过点A（2，a）只能作一条圆C的切线，则点A在圆C上；所以（21）2+a25，解得a2；当a2时，A（2，2），kCA2，所以切线的斜率为，所求切线方程为y2（x2），即x+2y60；当a2时，A（2，2），kCA2，所以切线的斜率为，所求切线方程为y+2（x2），即x2y60；（）由题意，设直线l的方程为x+yb，因为直线l过点A，所以2+ab，即ab2，又圆心C到直线x+yb的距离为d，所以+5，由联立，解得

26、或；所以a1或a3【点评】本题考查了圆的切线方程以及直线与圆的位置关系应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题20（12分）如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，ABC60，E是BC边的中点，F是PA边上的中点，连接AE、EF（1）求证：AEPD；（2）求证：EF平面PCD【分析】（1）由ABCD是菱形，得到AEBC，AEAD再利用PA平面ABCD，得到PAAE，从而证得AE平面PAD，所以AEPD；（2）取AC的中点为O，连接EO，由中位线定理得EOAB，则EOCD，FOPC，所以平面EOF平面PCD，再利用面面平行得到线面平行【解答】解：（1）证明：ABCD是菱

27、形，ABC60，ABC为等边三角形，AEBC，AEAD又PA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAE，由PAPDP，AE平面PAD，而PD平面PAD，AEPD；（2）如图，取AC的中点为O，连接EO，则EO，FO分别ABC，PAC的中位线，EOAB，则EOCD，FOPC，又PCCDC，则平面EOF平面PCD，而EF平面EOF，故EF平面PCD【点评】本题主要考查了直线与平面垂直和平行的位置关系，是中档题21（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|2（）求椭圆C的方程；（）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x4分别交于M、N两点，是否存在

28、点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由【分析】（）运用椭圆的离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到所求椭圆方程；（）设P（m，n），可得+n21，可得A（0，1），B（0，1），设M（4，s），N（4，t），运用三点共线的条件：斜率相等，求得M，N的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为1，计算即可求得m，检验即可判断是否存在【解答】解：（）由题意可得e，2b2，即b1，又a2c21，解得a2，c，即有椭圆的方程为+y21；（）设P（m，n），可得+n21，即有n21，由题意可得A（0，1），B（0，1），设M（4

29、，s），N（4，t），由P，A，M共线可得，kPAkMA，即为，可得s1+，由P，B，N共线可得，kPBkNB，即为，可得t1假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）可得QMQN，即有1，即st4即有1+14，化为4m216n2（4m）2164m2（4m）2，解得m0或8，由P，A，B不重合，以及|m|2，可得P不存在【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查存在性问题的解法，注意运用三点共线的条件：斜率相等，直径所对的圆周角为直角，考查化简整理的运算能力，属于中档题22（12分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，ABCDEF，

30、ABADCDDAAFFE2，AB4（1）求证：DF平面BCE；（）求二面角CBFA的正弦值；（）线段CE上是否存在点G，使得AG平面BCF？请说明理由【分析】（1）直接利用线面平行的判定求出结果（）直接利用空间直角坐标系，利用平面的法向量求出结果（）根据存在性问题的应用，利用反证法推出矛盾，进一步求出结论【解答】证明：（1）如图所示：由于：CDEF，且CDFE，则：四边形CDEF为平行四边形，则：DFCE由于DF平面BCE，所以：DF平面BCE解：（）在平面ABEF内，过点A作AzAB，由于平面ABCD平面ABEF，且平面ABCD平面ABEFAB，又Az平面ABEF，AzAB，所以：Az平面A

31、BCD所以：ABAD，ADAz，AzAB，则：建立空间直角坐标系：Axyz，得到：A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，3，），F（0，1，），所以：，设平面BCF的法向量为：，所以：，解得：平面ABF的法向量为，所以：，则：解：（）线段CE上不存在G，使得AG平面BCF，理由如下：假设线段CE上存在点G，使得AG平面BCF，设，其中（0，1），设G（x2，y2，z2），则：，所以：x222，y22+，所以：，由于AG平面BCF，所以：，所以：，方程无解，所以：线段CE上不存在G，使得AG平面BCF【点评】本题考查的知识要点：线面垂直的判定的应用，平面的法向量的应用，向量的共线问题的应用，向量的夹角的应用存在向问题的应用