2020年中考数学必考专题25圆的问题(解析版)
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1、专题25 圆的问题 专题知识回顾 一、与圆有关的概念与规律1圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。 2.圆的性质:(1)圆具有旋转不变性;(2)圆具有轴对称性;(3)圆具有中心对称性。3.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。4推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧5圆心角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。6在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心
2、角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。 7.圆周角:顶点在圆周上,并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。8.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半9半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径10. 点和圆的位置关系: 点在圆内点到圆心的距离小于半径 点在圆上点到圆心的距离等于半径 点在圆外点到圆心的距离大于半径11. 过三点的圆:不在同一直线上的三个点确定一个圆。12. 外接圆和外心:经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。外
3、接圆的圆心,叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。13若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆。14圆内接四边形的特征: 圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。15.直线与圆有3种位置关系:如果O的半径为r,圆心O到直线的距离为d,那么 直线和O相交; 直线和O相切; 直线和O相离。16.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。17.切线的性质(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线
4、。(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。18.切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。19.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,并且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 20设圆的半径为,圆的半径为,两个圆的圆心距,则: 两圆外离 ; 两圆外切 ; 两圆相交 ; 两圆内切 ; 两圆内含 21.圆中几个关键元素之间的相互转化弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.22.与圆有关的公式设圆的周长为r,则:(1)求圆的直径公式d=2r(2)求圆的周长公式 C=2r (3)
5、求圆的面积公式S=r2二、解题要领1.判定切线的方法:(1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。常见手法有全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直;(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。常见手法有角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;总而言之,要完成两个层次的证明:直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.2.与圆有关的计算:计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,形式复杂,无规
6、律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有:(1)构造思想:构建矩形转化线段;构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长);构造垂径定理模型:弦长一半、弦心距、半径;构造勾股定理模型;构造三角函数.(2)方程思想:设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题。(3)建模思想:借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基本图
7、形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系。专题典型题考法及解析 【例题1】(2019山东省滨州市)如图,AB为O的直径,C,D为O上两点,若BCD40,则ABD的大小为()A60B50C40D20【答案】B 【解析】考点是圆周角定理。本题考查的是圆周角定理,根据题意作出辅助线,构造出圆周角是解答此题的关键连接AD,先根据圆周角定理得出A及ADB的度数,再由直角三角形的性质即可得出结论连接AD,AB为O的直径,ADB90BCD40,ABCD40,ABD904050【例题2】(2019南京)如图,PA.PB是O的切线,A.B为切点,点C.D在O上若P102,则A+C
8、【答案】219【解析】连接AB,根据切线的性质得到PAPB,根据等腰三角形的性质得到PABPBA(180102)39,由圆内接四边形的性质得到DAB+C180,于是得到结论连接AB,PA.PB是O的切线,PAPB,P102,PABPBA(180102)39,DAB+C180,PAD+CPAB+DAB+C180+39219【例题3】(2019甘肃武威)如图,在ABC中,ABAC,BAC120,点D在BC边上,D经过点A和点B且与BC边相交于点E(1)求证:AC是D的切线;(2)若CE2,求D的半径【答案】见解析。【解析】本题考查了切线的判定和性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定和性质,正确的
9、作出辅助线是解题的关键(1)连接AD,根据等腰三角形的性质得到BC30,BADB30,求得ADC60,根据三角形的内角和得到DAC180603090,于是得到AC是D的切线;证明:连接AD,ABAC,BAC120,BC30,ADBD,BADB30,ADC60,DAC180603090,AC是D的切线;(2)连接AE,推出ADE是等边三角形,得到AEDE,AED60,求得EACAEDC30,得到AECE2,于是得到结论连接AE,ADDE,ADE60,ADE是等边三角形,AEDE,AED60,EACAEDC30,EACC,AECE2,D的半径AD2【例题4】(2019江苏苏州)如图,AE为的直径,
10、D是弧BC的中点BC与AD,OD分别交于点E,F.(1)求证:;(2)求证:;(3)若,求的值.【答案】见解析。【解析】(1)证明:D为弧BC的中点,OD为的半径又AB为的直径(2)证明:D为弧BC的中点,即(3)解:,设CD=,则DE=,又,所以又,即 专题典型训练题 一、选择题1(2019甘肃陇南)如图,点A,B,S在圆上,若弦AB的长度等于圆半径的倍,则ASB的度数是()A22.5B30C45D60【答案】C【解析】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半设圆心为0,连接OA.OB,如图,先证明OAB为等腰直角三角形得到AOB90,
11、然后根据圆周角定理确定ASB的度数设圆心为O,连接OA.OB,如图,弦AB的长度等于圆半径的倍,即ABOA,OA2+OB2AB2,OAB为等腰直角三角形,AOB90,ASBAOB452.(2019山东省聊城市)如图,BC是半圆O的直径,D,E是上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE如果A70,那么DOE的度数为()A35B38C40D42【答案】C【解析】考点是圆周角定理、直角三角形的性质。连接CD,由圆周角定理得出BDC90,求出ACD90A20,再由圆周角定理得出DOE2ACD40即可,连接CD,如图所示:BC是半圆O的直径,BDC90,ADC90,ACD90A20,DOE2
12、ACD403.(2019广西贵港)如图,AD是O的直径,若AOB40,则圆周角BPC的度数是()A40B50C60D70【答案】B【解析】根据圆周角定理即可求出答案,AOB40,CODAOB40,AOB+BOC+COD180,BOC100,BPCBOC504.(2019湖北天门)如图,AB为O的直径,BC为O的切线,弦ADOC,直线CD交BA的延长线于点E,连接BD下列结论:CD是O的切线;CODB;EDAEBD;EDBCBOBE其中正确结论的个数有()A4个B3个C2个D1个【答案】A 【解析】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质,注意掌握辅助线的作法,
13、注意数形结合思想的应用是解答此题的关键连结DOAB为O的直径,BC为O的切线,CBO90,ADOC,DAOCOB,ADOCOD又OAOD,DAOADO,CODCOB在COD和COB中,CODCOB(SAS),CDOCBO90又点D在O上,CD是O的切线;故正确,CODCOB,CDCB,ODOB,CO垂直平分DB,即CODB,故正确;AB为O的直径,DC为O的切线,EDOADB90,EDA+ADOBDO+ADO90,ADEBDO,ODOB,ODBOBD,EDADBE,EE,EDAEBD,故正确;EDOEBC90,EE,EODECB,ODOB,EDBCBOBE,故正确.5.(2019山东省德州市
14、)如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若ABC40,则ADC的度数是()A130B140C150D160【答案】B【解析】根据题意得到四边形ABCD共圆,利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数由题意得到OAOBOCOD,作出圆O,如图所示,四边形ABCD为圆O的内接四边形,ABC+ADC180,ABC40,ADC1406.(2019湖南益阳)如图,PA、PB为圆O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是()APAPBBBPDAPDCABPDDAB平分PD【答案】D【解析】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点
15、的半径也考查了切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质先根据切线长定理得到PAPB,APDBPD;再根据等腰三角形的性质得OPAB,根据菱形的性质,只有当ADPB,BDPA时,AB平分PD,由此可判断D不一定成立PA,PB是O的切线,PAPB,所以A成立;BPDAPD,所以B成立;ABPD,所以C成立;PA,PB是O的切线,ABPD,且ACBC,只有当ADPB,BDPA时,AB平分PD,所以D不一定成立7.(2019广东广州)平面内,O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作O的切线条数为()A0条B1条C2条D无数条【答案】C【解析】此题主要考查了对点与圆的位置关系,切线的定义,切线就是与圆
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