2020中考数学 专题练习:圆的综合题(含答案)
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1、2020中考数学 专题练习:圆的综合题(含答案)类型一与全等结合1. 如图,O的直径AB4,C为O上一点,AC2.过点C作O的切线DC,P点为优弧上一动点(不与A、C重合)(1)求APC与ACD的度数;(2)当点P移动到劣弧的中点时,求证:四边形OBPC是菱形;(3)当PC为O的直径时,求证:APC与ABC全等第1题图(1)解:AC2,OAOBOCAB2,ACOAOC,ACO为等边三角形,AOCACOOAC60,APCAOC30,又DC与O相切于点C,OCDC,DCO90,ACDDCOACO906030;第1题解图(2)证明:如解图,连接PB,OP,AB为直径,AOC60,COB120,当点P
2、移动到的中点时,COPPOB60,COP和BOP都为等边三角形,OCCPOBPB,四边形OBPC为菱形;(3)证明:CP与AB都为O的直径,CAPACB90,在RtABC与RtCPA中,RtABCRtCPA(HL)2. 如图,AB为O的直径,CA、CD分别切O于点A、D,CO的延长线交O于点M,连接BD、DM.(1)求证:ACDC;(2)求证:BDCM;(3)若sinB,求cosBDM的值第2题图(1)证明:如解图,连接OD,CA、CD分别与O相切于点A、D,OAAC,ODCD,在RtOAC和RtODC中,RtOACRtODC(HL),ACDC;(2)证明:由(1)知, OACODC,AOCD
3、OC,AOD2AOC,AOD2OBD,AOCOBD,BDCM;(3)解:BDCM,BDMM,DOCODB,AOCB,ODOBOM,ODMOMD,ODBBDOC,DOC2DMO,DOC2BDM,B2BDM,如解图,作OE平分AOC,交AC于点E,作EFOC于点F,第2题解图EFAE,在RtEAO和RtEFO中,RtEAORtEFO(HL),OAOF,AOEAOC,点F在O上,又AOCB2BDM,AOEBDM,设AEEFy,sinB,在RtAOC中,sinAOC,设AC4x,OC5x,则OA3x,在RtEFC中,EC2EF2CF2,EC4xy,CF5x3x2x,(4xy)2y2(2x)2,解得yx
4、,在RtOAE中,OEx,cosBDMcosAOE.3. 如图,O是ABC的外接圆,AC为直径,BEDC交DC的延长线于点E.(1)求证:1BCE;(2)求证:BE是O的切线;(3)若EC1,CD3,求cosDBA.第3题图(1)证明:如解图,过点B作BFAC于点F,ABBD在ABF与DBE中,ABFDBE(AAS),BFBE,BEDC,BFAC,1BCE;(2)证明:如解图,连接OB,AC是O的直径,ABC90,即1BAC90,BCEEBC90,且1BCE,BACEBC,OAOB,BACOBA,EBCOBA,EBCCBOOBACBO90,EBO90,又OB为O的半径,BE是O的切线;第3题解
5、图(3)解:在EBC与FBC中,EBCFBC(AAS),CECF1.由(1)可知:AFDE134,ACCFAF145,cosDBAcosDCA.类型二与相似结合4. 如图,ABC内接于O,ABAC,BAC36,过点A作ADBC,与ABC的平分线交于点D,BD与AC交于点E,与O交于点F.(1)求DAF的度数;(2)求证:AE2EFED;(3)求证:AD是O的切线第4题图(1)解:ABAC,BAC36,ABCACB(18036)72,AFBACB72,BD平分ABC,DBC36,ADBC,DDBC36,DAFAFBD723636;(2)证明:EAFFBCD,AEFAED,EAFEDA,AE2EF
6、ED;(3)证明:如解图,过点A作BC的垂线,G为垂足,ABAC,AG垂直平分BC,AG过圆心O,ADBC ,ADAG ,AD是O的切线第4题解图5. 如图,AB为半圆的直径,O为圆心,OCAB,D为的中点,连接DA、DB、DC,过点C作DC的垂线交DA于点E,DA交OC于点F.(1)求证:CED45;(2)求证:AEBD;(3)求的值第5题图(1)证明:CDACOA9045,又CEDC,DCE90,CED180904545;(2)解:如解图,连接AC,D为的中点,BADCAD4522.5,而CEDCAEACE45,CAEACE22.5,AECE,ECD90,CED45,CECD,又,CDBD
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