2020年中考数学专题复习:用函数的观点看方程与不等式
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1、用函数的观点看方程与不等式 知识互联网 题型一:方程思想思路导航抛物线与轴的交点抛物线与轴必有一个交点.抛物线与轴的交点当时,抛物线与轴有两个不同的交点.当时,抛物线与轴有一个交点.当时,抛物线与轴没有交点.直线(或直线或直线)与抛物线的交点问题,可运用方程思想联立方程(或或)求出方程组的解,从而得到交点坐标. 比如抛物线与轴的交点联立方程组为,其中的是一元二次方程的两根,则抛物线与轴交于两点.例题精讲【引例】 已知关于的二次函数探究二次函数的图象与轴的交点的个数,并写出相应的的取值范围.【解析】 令时,得:,以下分三种情况讨论:当时,方程有两个不相等的实数根,即,此时,的图象与轴有两个交点当
2、时,方程有两个相等的实数根,即,此时,的图象与轴只有一个交点当时,方程没有实数根,即,此时,的图象与轴没有交点综上所述:当时,的图象与x轴有两个交点;当时,的图象与轴只有一个交点;当时,的图象与轴没有交点典题精练【例1】 1. 抛物线与轴的交点.二次函数与轴的两个交点坐标为、,则一元二次方程的两根为 已知二次函数的部分图象如图所示,则关于的一元二次方程的解是 2. 抛物线与直线的交点.图中抛物线的解析式为,根据图象判断下列方程根的情况 方程的两根分别为 方程的两根分别为 方程的根的情况是 方程的根的情况是 3. 抛物线与直线的交点直线与抛物线只有一个交点,则 当取何值时,抛物线与直线: 有公共
3、点; 没有公共点【解析】 1.,;2. 用图象求解 , ,直线与抛物线只有一个交点,故有两个相等实根, 直线与抛物线有两个交点,故原方程有两个不相等的实根 直线与抛物线无交点,故原方程无实根3. 或; 联立方程组即,若有公共点,解得;当时,没有公共点 【例2】 在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于、两点,点的坐标为(1) 求点坐标;(2) 直线经过点. 求直线和抛物线的解析式; 点在抛物线上,过点作轴的垂线,垂足为将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新图象请结合图象回答:当图象与直线只有两个公共点时,的取值范围是 【解析】(1) 证明:当时,方程为,所以,
4、方程有实数根. 当时,所以,方程有实数根综上所述,无论k取任何实数时,方程总有实数根 (2) 令,则解关于的一元二次方程,得 , 二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数, (3) 由(2)得抛物线的解析式为配方得抛物线的顶点直线OD的解析式为于是设平移后的抛物线的顶点坐标为(h,h),平移后的抛物线解析式为当抛物线经过点C时,C(0,9),解得当h时,平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点 当抛物线与直线CD只有一个公共点时,由方程组,得,解得此时抛物线与射线CD唯一的公共点为,符合题意综上:平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时,顶点横坐标的值或取值范围是 或h【例3】
5、已知关于m的一元二次方程=0.(1) 判定方程根的情况;(2) 设m为整数,方程的两个根都大于且小于,当方程的两个根均为有理数时,求m的值【解析】(1) 所以无论m取任何实数,方程=0都有两个不相等的实数根. (2) 设 的两根都在和之间, 当时,即: 当时,即: 为整数, 当时,方程,此时方程的根为无理数,不合题意当时,方程,不符合题意当时,方程,符合题意 综合可知, 题型二:函数思想思路导航 抛物线的重要结论当时,图象落在轴的上方, 无论为任何实数,都有. 当时,图象落在轴的下方, 无论为任何实数,都有当,时,则;当时,则.当,时,则;当时,则.当, 或时,则;当或时,则;当时,则.当,或
6、时,则;当或时,则;当时,则.例题精讲【引例】1. 如图,函数的图象如图所示: 当 时, ; 当 时, ; 当 时, 2. 如图,在同一直角坐标系中,二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点,一次函数的图象与抛物线交于、两点 二次函数的解析式为 当自变量 时,两函数的函数值都随增大而增大 当自变量 时,一次函数值大于二次函数值 当自变量 时,两函数的函数值的积小于【解析】 1. 或; 或; 2. ; ; ; 典题精练【例4】 下列命题:若,则;若,则一元二次方程有两个不相等的实数根;若,则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是或若,则一元二次方程有两个不相等的实数根正确的是( )A B C
7、D若、()是关于的方程的两根,且,则、的大小关系是( )A B C D 方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标,那么用此方法可推断出方程的实根所在的范围是( ) A B CD 【解析】 C A B第题提示:1特殊值法2运用法则比大小3二次函数图象法方法一:与轴的交点为,把的图象向上平移1个单位,得到函数的图象,此图象与轴的交点为,由图象可得方法二:分析函数 可知,当时,当时,与轴有两个交点,则图象可得点评:本题是运用函数思想讨论方程问题,既直观又简捷起到了简化解题过程和加快解题速度的作用用函数图象来解决方程问题起到了以形助数的作用在讨论一元二次方程的解的个数、解的分布情况等问题时借助
8、函数图象可获得直观简捷的解答 【例5】 已知:关于的方程有两个实数根是、(),若关于的另一个方程的两个实数根都在和之间试比较:代数式、之间的大小关系【解析】 方程、分别对应的函数为和,显然这两个函数的图象的对称轴都为,即其中一个图象可以通过上下平移得到另一个图象,示意图如图所示:,即再因为方程有根,则,【例6】 在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,其对称轴与轴交于点(1)求点,的坐标;(2)设直线与直线关于该抛物线的对称轴对称,求直线的解析式;(3)若该抛物线在这一段位于直线的上方,并且在这一段位于直线的下方,求该抛物线的解析式【解析】(1)当时,.抛物线对称轴为(2)易得点关于对称轴的对称
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