2019-2020学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期中数学试卷（文科）含详细解答

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1、一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中只有一个是符合题意的）1（5分）下列语句不是命题的是（）A34B0.3是整数Ca3D4是3的约数2（5分）如图是一个正方体的表面展开图，则图中2的对面是（）A1B9C快D乐3（5分）下列求导运算正确的是（）A（）xB（xex）ex+1C（x2cosx）2xsinxD4（5分）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A“至少有一个黑球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D“至少有一个黑球”与“都是红球”5（5分）已知命题p：xR

2、，ax2+ax+10；命题q：xR，x2x+a0若pq是真命题，则a的取值范围是（）A（，4）B0，4）C（0，D0，6（5分）方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A3m0B3m2C3m4D1m37（5分）下列结论错误的是（）A若“pq”为假命题，则p，q均为假命题B“ab”是“ac2bc2”的充分不必要条件C命题：“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0”D命题：“若x23x+20，则x2”的逆否命题为“若x2，则x23x+20”8（5分）椭圆中，以点M（1，2）为中点的弦所在直线斜率为（）ABCD9（5分）系统找不到该试题10（5分）过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于

3、点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MNl，则M到直线NF的距离为（）AB2C2D311（5分）设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）AB0，），）CD12（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）ABCD二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）13（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机抽取两个数，则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为   14（5分）函数f（x）的图象在x2处的切线方程为2x+y30，则f（2）+f'（2）   15（5分）设m，

4、n是两条不同的直线，是三个不同的平面在下列命题中，正确的是   （写出所有正确命题的序号）若mn，n，则m或m；若m，n，m，n，则；若，则；若，m，则m16（5分）双曲线1（a0，b0）的渐近线与圆（x）2+y21相切，则此双曲线的离心率为   17（5分）魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术中，称一个正方体内两个相互垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：4若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为   三、解答题（本大题共5题，共65分）18袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球，其中

5、有4个编号为1，2，3，4的红球，2个编号为A、B的黑球，现从中任取2个小球（）求所取取2个小球都是红球的概率；（）求所取的2个小球颜色不相同的概率19已知aR，命题p：x2，1，x2a0，命题q：xR，x2+2ax（a2）0（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，求实数a的取值范围20在平面xOy中，已知椭圆C：过点P（2，1），且离心率（1）求椭圆C的方程；（2）直线l方程为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值21如图，已知AF面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，DAB90，ABCD，ADAFC

6、D1，AB2（）求证：AF面BCE；（）求证：AC面BCE；（）求三棱锥EBCF的体积22已知函数f（x）x2+alnx（1）当a1时，求函数f（x）在（2，f（2）处的切线方程；（2）当a2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（3）若在1，+）上是单调增函数，求实数a的取值范围2019-2020学年陕西省宝鸡中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中只有一个是符合题意的）1（5分）下列语句不是命题的是（）A34B0.3是整数Ca3D4是3的约数【分析】命题是表示判断一件事情的语句，根据定义分别判断即可【解答】

7、解：A，B，D都是表示判断一件事情，C无法判断，故选：C【点评】本题考查了命题的定义，属于基础题2（5分）如图是一个正方体的表面展开图，则图中2的对面是（）A1B9C快D乐【分析】将展开图还原为正方体后，即可得出结论【解答】解：将展开图还原成正方体，如图所示；则图中2（上底）的对面是9（下底）故选：B【点评】本题考查了棱柱的结构特征与展开图问题，是基础题3（5分）下列求导运算正确的是（）A（）xB（xex）ex+1C（x2cosx）2xsinxD【分析】根据导数的运算法则求导即可判断【解答】解：对于A：（）（lnx），对于B：（xex）ex+xex，对于C；（x2cosx）2xcosxx2si

8、nx，对于D：（x）1+，故选：D【点评】本题考查了导数的运算法则，掌握基本导数公式是关键，属于基础题4（5分）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A“至少有一个黑球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D“至少有一个黑球”与“都是红球”【分析】利用对立事件、互斥事件的定义求解【解答】解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，“

9、恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误故选：C【点评】本题考查互斥而不对立事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用5（5分）已知命题p：xR，ax2+ax+10；命题q：xR，x2x+a0若pq是真命题，则a的取值范围是（）A（，4）B0，4）C（0，D0，【分析】若命题p是真命题：利用一元二次不等式与判别式的关系及其a0的情况即可得出；若命题q是真命题：利用一元二次方程与判别式的关系即可得出；再利用复合命题的真假判定方法即可得出【解

10、答】解：若命题p是真命题：xR，ax2+ax+10，则a0或，解得0a4；若命题q是真命题：xR，x2x+a0，则14a0，解得若pq是真命题，则p，q都是真命题，则，解得则a的取值范围是故选：D【点评】本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了计算能力，属于基础题6（5分）方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A3m0B3m2C3m4D1m3【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得方程表示双曲线时m的取值范围，进而由充分必要条件的定义分析可得答案【解答】解：根据题意，方程表示双曲线，则有（m2）（m+3）0，解可得3m2，要求方程表示双曲线的一个充分

11、不必要条件，即要求的是m|3m2的真子集；依次分析选项：A符合条件，故选：A【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及充分必要条件的判定，关键是掌握二元二次方程表示双曲线的条件7（5分）下列结论错误的是（）A若“pq”为假命题，则p，q均为假命题B“ab”是“ac2bc2”的充分不必要条件C命题：“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0”D命题：“若x23x+20，则x2”的逆否命题为“若x2，则x23x+20”【分析】根据pq的真假判断，一真即真，全假为假，判断A；c0时，由“ab”不能得出“ac2bc2”，即可判断B；根据命题“xR，x2x10”是特称命题，其否定为全称命题，即xR，x2x1

12、0，即可判断C根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，判断D【解答】解：根据pq的真假判断，一真即真，全假为假，利用“pq”为假命题，则p，q均为假命题，正确；c0时，由“ab”不能得出“ac2bc2”，不正确；命题：“xR，x2x0”是特称命题，否定命题是“xR，x2x0”，正确；根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，可得命题：“若x23x+20，则x2”的逆否命题为“若x2，则x23x+20”，正确，故选：B【点评】本题考查命题的真假判断，考查充要条件的判断、命题的否定，考查逆否命题，复合命题的真假判断，属于中档题8（5分）椭圆中，以点M（1，2）为中点的弦所在直线斜

13、率为（）ABCD【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率【解答】解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆得，两式相减得+0，即，即，即，即，弦所在的直线的斜率为，故选：D【点评】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系在解决弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的9（5分）系统找不到该试题10（5分）过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MNl，则M到直线NF的距离为（）AB2C2D3【分

14、析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可【解答】解：抛物线C：y24x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y（x1），过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l可知：，解得M（3，2）可得N（1，2），NF的方程为：y（x1），即，则M到直线NF的距离为：2故选：C【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力11（5分）设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）AB0，），）CD【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围【解答】解：y3x2，tan，0，

15、），），故选：B【点评】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率12（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）ABCD【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4b2（），3，e故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）13（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机抽

16、取两个数，则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为【分析】从1，2，3，4这四个数中一次随机抽取两个数，先求出基本事件总数，再求出取出的数中一个是奇数一个包含的基本事件个数，由此能求出取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机抽取两个数，基本事件总数n6，取出的数中一个是奇数一个包含的基本事件个数m4，取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用14（5分）函数f（x）的图象在x2处的切线方程为2x+y30，则f（2）+f'（2）3【分析】先将x2代入

17、切线方程可求出f（2），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（2）的值，最后相加即可【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（2）1，切点处的导数为切线斜率，所以f'（2）2，所以f（2）+f（2）3故答案为：3【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率15（5分）设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面在下列命题中，正确的是（写出所有正确命题的序号）若mn，n，则m或m；若m，n，m，n，则；若，则；若，m，则m【分析】利用线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论【解答】解：若m，且mn，分两种情况：n在内或不在，则m

18、或m故正确；若m，n，m，n，m，n相交，则，故不正确；若，则，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；由平行的传递性知若，则，因为m，所以m，故正确故答案为：【点评】本题考查线面、面面平行、垂直的判定与性质，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于中档题16（5分）双曲线1（a0，b0）的渐近线与圆（x）2+y21相切，则此双曲线的离心率为【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到a、b关系，然后求解双曲线的离心率【解答】解：由题意可知双曲线的渐

19、近线方程之一为：bx+ay0，圆（x）2+y21的圆心（，0），半径为1，双曲线1（a0，b0）的渐近线与圆（x）2+y21相切，可得：1，可得a2b2，ca，e故答案为【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力17（5分）魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术中，称一个正方体内两个相互垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：4若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为【分析】首先利用棱长求出内切球体积，然后利用比值可得所求体积【解答】解：正方体棱长为2，其内切球半径为1，内切球体

20、积，设牟合方盖的体积为V，则，故答案为：【点评】此题考查了正方体内切球体积，难度不大三、解答题（本大题共5题，共65分）18袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球，其中有4个编号为1，2，3，4的红球，2个编号为A、B的黑球，现从中任取2个小球（）求所取取2个小球都是红球的概率；（）求所取的2个小球颜色不相同的概率【分析】（）利用列举法求出任取2个小球的基本事件总数，用M表示“所取取2个小球都是红球”，利用列举法求出M包含的基本事件个数，由此能求出所取取2个小球都是红球的概率（）用N表示“所取的2个小球颜色不相同”，利用列举法求出N包含的基本事件个数，由此能求出所取的2个小球颜色不相同的概

21、率【解答】解：（）由题意知，任取2个小球的基本事件有：1，2，1，3，1，4，1，A，1，B，2，3，2，4，2，A，2，B，3，4，3，A，3，B，4，A，4，B，A，B，共15个，用M表示“所取取2个小球都是红球”，则M包含的基本事件有：1，2，1，4，2，3，2，4，3，4，共6个，所取取2个小球都是红球的概率：P（M）（）用N表示“所取的2个小球颜色不相同”，则N包含的基本事件有：1，A，1，B，2，A，2，B，3，A，3，B，4，A，4，B，共8个，所取的2个小球颜色不相同的概率：P（N）【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化

22、思想，是基础题19已知aR，命题p：x2，1，x2a0，命题q：xR，x2+2ax（a2）0（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，求实数a的取值范围【分析】（1）令f（x）x2a，若命题p为真命题，只要x2，1时，f（x）min0即可，进而得到实数a的取值范围；（2）若命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，命题p与q一真一假，进而得到答案【解答】（本小题满分12分）解：（1）因为命题p：x2，1，x2a0令f（x）x2a，根据题意，只要x2，1时，f（x）min0即可，也就是1a0，即a1；（4分）（2）由（1）可知，当命题p为真

23、命题时，a1，命题q为真命题时，4a24（2a）0，解得a2或a1   （6分）因为命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，所以命题p与q一真一假，（7分）当命题p为真，命题q为假时，2a1，（9分）当命题p为假，命题q为真时，a1（11分）综上：a1或2a1（12分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查的知识点是复合命题，函数恒成立问题，方程根的存在性及个数判断，难度中档20在平面xOy中，已知椭圆C：过点P（2，1），且离心率（1）求椭圆C的方程；（2）直线l方程为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值【分析】（1）利用已知条件列出方程组，然后求解a，

24、b即可得到椭圆方程（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过基本不等式求解最值即可【解答】（12分）解：（1）椭圆C：过点P（2，1），且离心率可得：，解得a2，c，则b，椭圆方程为：（2）设直线方程为，A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组整理得：x2+2mx+2m240，x1+x22m，4，利用弦长公式得：，由点线距离公式得到P到l的距离S|AB|d2当且仅当m22，即时取到最大值最大值为：2【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力21如图，已知AF面ABCD，

25、四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，DAB90，ABCD，ADAFCD1，AB2（）求证：AF面BCE；（）求证：AC面BCE；（）求三棱锥EBCF的体积【分析】（）由四边形ABEF为矩形，得AFBE由此能证明AF面BCE（）推导出BE平面ABCD，BEAC，ACBC，由此能证明AC面BCE（III）三棱锥EBCF的体积VEBCFVCBEF，由此能求出结果【解答】证明：（）四边形ABEF为矩形，AFBEAF面BCE，BE面BCE，AF面BCE（）AF面ABCD，四边形ABEF为矩形，BE平面ABCD，AC平面ABCD，BEAC，四边形ABCD为直角梯形，DAB90，ABCD，ADA

26、FCD1，AB2，ACBC，AC2+BC2AB2，ACBC，BCBEB，AC面BCE解：（III）AF面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，DAB90，ABCD，ADAFCD1，AB2，AD平面BEF，点C到平面BEF的距离为AD1，1，三棱锥EBCF的体积：VEBCFVCBEF【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题22已知函数f（x）x2+alnx（1）当a1时，求函数f（x）在（2，f（2）处的切线方程；（2）当a2时，求函数f（x）的单调区间和极

27、值；（3）若在1，+）上是单调增函数，求实数a的取值范围【分析】（1）当a1时，求导函数，则函数在x2处的切线的斜率即为导数值f'（2），根据点斜式方程即可求出切线方程；（2）先求出函数的定义域，把a代入到函数中并求出f（x）0时x的值，在定义域内讨论导函数的正负得到函数的单调区间及极值；（3）把f（x）代入到g（x）中得到g（x）的解析式，求出其导函数大于0即函数单调，可设（x）2x2，求出其导函数在1，+）上单调递减，求出（x）的最大值，列出不等数求出解集即为a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，函数f（x）x2+lnx，则f'（x）2x+，函数f（x）在（2，f（2）处

28、的切线斜率为kf'（2）4+，切点为（2，4+ln2）；函数f（x）在（2，f（2）处的切线方程为：y（4+ln2）（x2）；即9x2y10+2ln20；（2）函数f（x）的定义域为（0，+），当a2时，f（x）x2+2lnx，x0，则f'（x）2x+0；f（x）在（0，+）上单调递增，f（x）无极值（3）由g（x）x2+alnx+，得g'（x）2x+；又函数g（x）x2+alnx+在1，+）上单调增函数，则g（x）0在1，+）上恒成立，即不等式2x3+ax20在1，+）上恒成立；也即a在1，+）上恒成立，又（x）2x2在1，+）为减函数，所以（x）max（1）0所以a0故a的取值范围为0，+）【点评】考查学生利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值以及理解函数恒成立所取的条件属于中档题