高考总复习:知识讲解_《概率》全章节复习与巩固
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1、概率全章节复习与巩固编稿:辛文升 审稿:李霞【学习目标】1.理解随机变量及其概率分布的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.3.理解事件的独立性和条件概率,并能进行简单的应用.4.理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.5.理解随机变量的均值、方差的概念,能计算简单随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.6.了解正态分布的有关概念.【要点梳理】要点一、离散型随机变量及其分布列1离散型随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量,随机变量常用希腊字母等表示。对于随机变量可能取的值
2、,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量;若是随机变量,其中a,b是常数,则也是随机变量,并且不改变其属性(离散型、连续型)。2离散性随机变量的分布列:设离散型随机变量可能取得值为x1,x2,x3,若取每一个值xi(i=1,2,)的概率为,则称表x1x2xiPP1P2Pi为随机变量的概率分布,简称的分布列. 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质:(1)pi0,i=1,2;(2)P1+P2+=13如果随机变量X的分布列为10P称离散型随机变量服从参数为的两点分布。要点二、超几何分布在含M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数,则事件发生的概率为:,其中,称分布列0
3、1为超几何分布列。离散型随机变量X服从超几何分布。要点三、独立性1.条件概率的概念设、为两个事件,且,在已知事件发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号表示。要点诠释在条件概率的定义中,事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的,应该说,每一个随机试验都是在一定条件下进行的而这里所说的条件概率,则是当试验结果的一部分信息已知,求另一事件在此条件下发生的概率2.条件概率的公式利用定义计算先分别计算概率P(AB)及P(B),然后借助于条件概率公式求解利用缩小样本空间的观点计算在这里,原来的样本空间缩小为已知的条件事件B,原来的事件A缩小为事件AB,从而,
4、即:,此法常应用于古典概型中的条件概率求解3.事件的独立性事件、满足,则称事件、独立。若与是相互独立事件,则与,与,与也相互独立。4相互独立事件同时发生的概率公式:对于事件A和事件B,用表示事件A、B同时发生。(1)若与是相互独立事件,则;(2)若事件相互独立,那么这个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即:。要点四、二项分布1.n次独立重复试验每次试验只考虑两种可能结果与,并且事件发生的概率相同。在相同的条件下重复地做次试验,各次试验的结果相互独立,称为次独立重复试验。要点诠释:在次独立重复试验中,一定要抓住四点:每次试验在同样的条件下进行;每次试验只有两种结果与,即某事件要么发
5、生,要么不发生; 每次试验中,某事件发生的概率是相同的;各次试验之间相互独立。总之,独立重复试验,是在同样的条件下重复的,各次之间相互独立地进行的一种试验,在这种试验中,每一次的试验结果只有两种,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。2.独立重复试验的概率公式如果事件A在一次试验中发生的概率为P,那么n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为:(k=0,1,2,n)令得,在n次独立重复试验中,事件A没有发生的概率为令得,在n次独立重复试验中,事件A全部发生的概率为。3.二项分布在一次随机试验中,事件A可能发生也可能不发生,在次独立重复试验中事件A发生的次数是
6、一个离散型随机变量如果在一次试验中事件A发生的概率是,则此事件不发生的概率为,那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率是,()于是得到离散型随机变量的概率分布如下:01knP由于表中第二行恰好是二项展开式中各对应项的值,所以称这样的随机变量服从参数为,的二项分布,记作要点诠释:判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有三:其一是独立性,即每次试验的结果是相互独立的;其二是重复性,即试验独立重复地进行了n次;其三是试验的结果的独特性,即一次试验中,事件发生与不发生,二者必居其一。要点五、随机变量的均值和方差1.离散型随机变量的期望一般地,若离散型随机变量的概率分布为P则称为的均值或数学期望,简
7、称期望要点诠释:(1)均值(期望)是随机变量的一个重要特征数,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平(2)一般地,在有限取值离散型随机变量的概率分布中,令,则有,所以的数学期望又称为平均数、均值。(3)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位2.离散型随机变量的方差与标准差方差:已知一组数据,它们的平均值为,那么各数据与的差的平方的平均数叫做这组数据的方差。离散型随机变量的方差:一般地,若离散型随机变量的概率分布为P则称称为随机变量的方差,式中的是随机变量的期望的算术平方根叫做随机变量的标准差,记作3.常见分布的期望与方差二点分布:若离散型随机变量服从参数为的二点分布,则期望;方差二项分布:
8、若离散型随机变量服从参数为的二项分布,即则期望;方差几何分布:独立重复试验中,若事件在每一次试验中发生的概率都为,事件第一次发生时所做的试验次数是随机变量,且,称离散型随机变量服从几何分布,记作:。若离散型随机变量服从几何分布,且则期望 方差超几何分布:若离散型随机变量服从参数为的超几何分布,则期望要点诠释:随机变量是否服从二项分布或者几何分布,要从取值和相应概率两个角度去验证。要点六、正态分布1概率密度函数对于连续型随机变量,位于轴上方,落在任一区间(a,b内的概率等于它与轴、直线与直线所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分),这条概率曲线叫做的概率密度曲线,以其作为图象的函数叫做的概率密度函
9、数。正态变量的概率密度函数表达式为:,()其中x是随机变量的取值;为正态变量的期望;是正态变量的标准差.2正态分布如果对于任何实数随机变量满足:,则称随机变量服从正态分布。记为。若,则的期望与方差分别为:,。3.正态密度曲线如果随机变量X的概率密度函数为,其中实数和为参数(),则称函数的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线。4正态曲线的性质:曲线位于轴上方,与轴不相交;曲线是单峰的,它关于直线对称;曲线在时达到峰值;当时,曲线上升;当时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.曲线与轴之间的面积为1;决定曲线的位置和对称性;当一定时,曲线的对称轴位置由确定;如
10、下图所示,曲线随着的变化而沿轴平移。确定曲线的形状;当一定时,曲线的形状由确定。越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中;越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散。如下图所示。【典型例题】类型一、概率分布的性质例1、若离散型随机变量的概率分布列为:01p9c2-c3-8c试求出常数c与的分布列。【解析】由离散型随机变量分布列的基本性质知:解得常数,从而的分布列为:01p【总结升华】解题关键是理解随机变量分布列的两个基本性质,在写出的分布列后,要及时检查所有的概率之和是否为1。举一反三:【变式1】某一射手射击所得的环数的分布列如下:45678910P0.020.040.060.090.280
11、.290.22求此射手“射击一次命中环数7”的概率【解析】根据射手射击所得的环数的分布列,有 P(=7)0.09,P(=8)0.28,P(=9)0.29,P(=10)0.22.所求的概率为P(7)0.09+0.28+0.29+0.220.88【变式2】随机变量的分布列如下:其中成等差数列,若,则的值是 【答案】;【解析】由题意知:,解得,所以。类型二:有关超几何分布问题例2、已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球现从甲、乙两个盒内各任取2个球()求取出的4个球均为黑球的概率;()求取出的4个球中恰有1个红球的概率;()设为取出的4个球中红球的个数,求的分
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