高考总复习：知识讲解_数学的扩充与复数的引入_不分层

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1、数系的扩充和复数的引入编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1知识与技能（1）了解数的发展过程和数集扩充到复数集的必然性；了解复数的代数表示法，理解虚数单位、复数的实部与虚部等概念和复数的分类，能够运用复数的概念解决简单的复数问题.（2）理解复数相等的充要条件，复数模的概念；了解复数与复平面内点的对应关系.2过程与方法通过回忆自然数到实数，再到复数的出现，体会实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充中的作用，感受人类理性思维在数系扩充过程中的作用以及数学与现实世界的联系.3.情感、态度与价值观通过对复数的学习，体会实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充中的作用.通过复数与与复平面内点的对应关系，体会二维

2、空间中数与形之间的内在联系.培养数形结合的意识.通过课内学习复数与课外阅读复数的相关材料了解其在力学、电学等现代科学技术方面以及在数学学科中的地位和作用.【要点梳理】要点一：复数的有关概念1.复数概念：形如的数叫复数， 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，叫虚数单位（）.表示：复数通常用字母表示.记作：.要点诠释：（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（2）复数中，实部和虚部都是实数，这一点不容忽视，它列方程求复数的重要依据.（3）是1的一个平方根，即方程的一个根. 方程有两个根，另一个根是；并且可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2.复

3、数集概念：复数的全体组成的集合叫作复数集表示：通常用大写字母C表示要点诠释：,其中N表示自然数集,Z表示整数集Q表示有理数集,R表示实数集.3.复数相等概念：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.表示：如果，那么特别地，.要点诠释：（1）根据复数+i与c+di相等的定义，可知在=c，=d两式中，只要有一个不成立，那么就有+ic+di（，c，dR）（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.（3）复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法，

4、 简称为“复数问题实数化”要点二：复数的分类表示：用集合表示如下图：要点三：复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.要点诠释：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，

5、每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数.设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定.复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即复数平面向量这是复数的另一种几何意义.4.复数的模设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.即.要点诠释：两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等.【典型例题】类型一：复数的概念例1请说出下面各复数的实部和虚部，有没有纯虚数？（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）0.【

6、思路点拨】将复数化为的标准形式，实数为，虚部为.当实部，而虚部时，该复数为纯虚数.【解析】（1）复数的实部是2，虚部是3，不是纯虚数；（2）=，其实部是3，虚部是，不是纯虚数；（3）的实部是0，虚部是，是纯虚数；（4），其实部是，虚部是，不是纯虚数；（5）是实数，可写成，其实部为，虚部为0，不是纯虚数；（6）0是实数，可写出，其实部为0，虚部为0，不是纯虚数.【总结升华】准确理解复数的概念，明确实部、虚部的所指是关键.举一反三：【变式1】符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由(1)实部为2的虚数；(2)虚部为2的虚数；(3)虚部为2的纯虚数；(4)实部为2的纯虚

7、数【答案】(1)存在且有无数个，如2i等；(2)存在且不唯一，如12i等；(3)存在且唯一，即2i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.【变式2】以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是_【答案】的虚部为2，的实部为-2，所以新复数为22i .【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题1】例2当实数取何值时，复数，表示：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【思路点拨】根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的值.【解析】（1）当为实数时，要求虚部为0，即，解得或.（2）当表示虚数，要求虚部非0，即，解得且.（3）当表示纯虚数，

8、要求实部为0，且虚部非0，即，解得.【总结升华】 复数包括实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，合理利用复数是实数、虚数以及纯虚数的条件是解决本类题目的关键举一反三：【变式1】 若复数为纯虚数，则实数的值为_.【答案】.由复数为纯虚数，得，解得【变式2】已知复数，试求实数分别取什么值时，z为： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数【答案】（1）当z为实数时，则 ，故=6，当=6时，z为实数 （2）当z为虚数时，则有，1且6， 当（，1）（1，1）（1，6）（6，+）时，z为虚数（3）当z为纯虚数时，则有，不存在实数使z为纯虚数 【变式3】设复数，R，当为何值时，z是：（1）实数； （2）

9、z是纯虚数【答案】（1）要使z是实数，则需=1或=2，所以当=1或=2时，z是实数 （2）要使z是纯虚数， 则需，所以=3时，z是纯虚数类型二：两个复数相等例3.已知，其中，求与.【思路点拨】利用复数相等的条件，列方程组，求解.【解析】根据复数相等的定义，得方程组，所以，【总结升华】两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数举一反三：【变式1】已知且，求以为实部、以虚部的复数【答案】由题意知，解得 或 所以x+yi的值为4+3i或43i【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题2】【变式2】，复数与复数相等，求

10、. 【答案】，所以，解得.【变式3】已知集合M=（+3）+（2-1）i,8,集合N=3i，（2-1）+(+2)i同时满足：NM，求整数,.【答案】 或 或 由得=-3,=2,经检验，=-3,=-2不合题意，舍去.=-3，=2由得=3, =-2.又=-3,=-2不合题意，=3,=-2;由得,此方程组无整数解.综合得=-3，=2或=3,=-2.类型三、复数的几何意义例4. 在复平面内，若复数对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线上，分别求实数的取值范围【思路点拨】复数在复平面内对应的点为：在虚轴上；在第二象限；在上.【解析】复数在复平面内的对应点为.(1)由题意得，解得2或1.(2)

11、由题意得，解得 11.(3)由已知得，解得2.【总结升华】按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值举一反三：【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题3】【变式1】已知复数（R）在复平面上对应的点为Z，求实数取什么值时，点Z（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.【答案】（1）点Z在实轴上，即复数z为实数，由当时，点Z在实轴上.（2）点Z在虚轴上，即复数z为纯虚数或0，故当时，点Z在虚轴上.3）点Z在第一象限，即复数z的实部虚部均大于0由 ，

12、解得1或3当1或3时，点Z在第一象限.【变式2】在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】，故相应的点在第四象限，选D.【变式3】 已知复数(2k23k2)+(k2k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围.【答案】复数对应的点在第二象限，即解得：例5. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2+i （1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数【解析】（1）设所求向量对应的复数z1=x1+y1i（x1，y1R），则点B的坐标为（x1，y1）由题意可知点A的坐标为（

13、2，1），根据对称性可知x1=2，y1=1，故z1=2i （2）设所求点C对应的复数为z2=x2+y2i（x2，y2R），则点C的坐标为（x2，y2）由对称性可知x2=2，y2=1，故z2=2i【总结升华】 由复数的几何意义知，复数与复平面上的点建立起一一对应的关系，因而在解决复数的相关问题时，我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决 举一反三：【变式】在复平面内，复数z1=1+i、z2=2+3i对应的点分别为A、B，O为坐标原点，若点P在第四象限内，则实数的取值范围是_【答案】由题意：，解得：例6. 已知，求.【解析】.【总结升华】依据复数的模的定义，即可求得.举一反三：【变式1】若复数()是纯虚数，则= .【答案】由, 所以=2.【变式2】已知z|z|=1+i，求复数z 【答案】方法一：设z=x+yi（x，yR）， 由题意，得， 即 根据复数相等的定义，得， 解得，z=i方法二：由已知可得z=(|z|1)+i， 等式两边取模，得 两边平方，得|z|2=|z|22|z|+1+1|z|=1 把|z|=1代入原方程，可得z=i