高考总复习:知识讲解_《推理与证明》全章复习与巩固_基础
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1、推理与证明全章复习与巩固编稿:张林娟 审稿:孙永钊 【考纲要求】1.能对推理与证明的各种方法进行梳理,建立知识网络,把握整体结构.2.能比较数学证明的几种基本方法的思维过程和特点,灵活选用各种方法进行一些数学证明.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系、差异和各自所起的作用.【知识网络】【考点梳理】要点一:归纳与类比数学推理是由一个或几个已知的判断(或前提),推导出一个未知结论的思维过程一般包括合情推理和演绎推理,而归纳和类比是合情推理的两种主要形式.归纳推理概念根据某类事物的部分对象具有某种特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称
2、归纳)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,一般分为完全归纳推理与不完全归纳推理.一般步骤推广为明确表述的一般命题(猜想)检 验观察特例发现相似性类比推理概念 两类不同的对象具有某些共同的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程叫类比推理 一般步骤(1)找出两类事物之间可以确切表述的相似性或一致性(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)(3)检验猜想要点诠释:(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围;而类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性
3、.(2)归纳推理的前提是特殊的情况,所以归纳推理是立足于观察、实验和经验的基础上的;类比是根据已经掌握了的事物的属性,推测正在研究中的事物的属性,它以旧有认识为基础,类比出新的结果.(3)归纳和类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却具有发现的功能(4)注意合情推理和演绎推理的区别演绎推理是从一般性的原理出发,按照严格的逻辑法则,推出某个特殊情况下的结论的推理,是由一般到特殊的推理演绎推理的特征是前提为真,结论必为真要点二:综合法与分析法1.综合法定义:综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是这样一种思维方法:从命题的已知条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,经过演绎推理,一步步地接近要证
4、明的结论,直到完成命题的证明综合法是一种执因索果的证明方法,又叫顺推法思维框图:用表示已知条件,表示要证明的结论,为已知的定义、定理、公理等,则综合法可用框图表示为:(已知) (逐步推导结论成立的必要条件) (结论)2. 分析法定义一般地,从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,逐步寻找使命题成立的充分条件,直至所寻求的充分条件显然成立(已知条件、定理、定义、公理等),或由已知证明成立,从而确定所证的命题成立的一种证明方法,叫做分析法.,分析法是一种执果索因的证明方法,又叫逆推法思维框图:用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等,所要证明的结论,则用分析法证明可用框图表示为:
5、(结论) (逐步寻找使结论成立的充分条件) (已知)要点诠释:(1) 综合法是把整个不等式看做一个整体,通过对欲证不等式的分析、观察,选择恰当不等式作为证题的出发点,其难点在于到底从哪个不等式出发合适,这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式,还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用分析法的优点是利于思考,因为它方向明确,思路自然,易于掌握,而综合法的优点是宜于表述,条理清晰,形式简洁我们在证明不等式时,常用分析法寻找解题思路,即从结论出发,逐步缩小范围,进而确定我们所需要的“因”,再用综合法有条理地表述证题过程分析法一般用于综合法难以实施的时候(2)有不等式的证明,需要把综合法和分
6、析法联合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立,这种边分析边综合的证明方法,称之为分析综合法,或称“两头挤法”分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系,分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点 命题“若P则Q”的推演过程可表示为: 要点三:反证法中学阶段反正法是最常见的间接证法.定义:一般地,首先假设要证明的命题结论不正确,即结论的反面成立,然后利用公理,已知的定义、定理,命题的条件逐步分析,得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等
7、矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.反证法的格式:用反证法证明命题“若p则q”时,它的全部过程和逻辑根据可以表示如下: 反证法的一般步骤: (1)反设:假设所要证明的结论不成立,假设结论的反面成立; (2)归谬:由“反设”出发,通过正确的推理,导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾;(3)结论:因为推理正确,产生矛盾的原因在于“反设”的谬误,既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立要点诠释:(1)反证法体现出正难则反的思维策略(补集的思想)和以退为进的思维策略,故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时,有独
8、特的效果(2) 反证法的优点:对原结论否定的假定的提出,相当于增加了一个已知条件.要点四:数学归纳法数学归纳法证明命题的步骤:(1)证明当n取第一个值时结论正确;(2)假设当时结论正确,证明时结论也正确,由(1)(2)确定对时结论都正确。要点诠释:(1)数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法,它是一种完全归纳法:第(1)步是递推的基础,第(2)步是递推的依据.(2)不要弄错起始n0:n0不一定恒为1,也可能n0=2或3(即起点问题)(3)项数要估算正确:特别是当寻找n=k与n=k+1的关系时,项数的变化易出现错误(即跨度问题)(4)必须利用归纳假设:归纳假设是必须要用的,假设是起桥
9、梁作用的,桥梁断了就过不去了,整个证明过程也就不正确了(即伪证问题)(5)切忌关键步骤含糊不清:“假设n=k时结论成立,利用此假设证明n=k+1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,推导的过程中要把步骤写完整,另外要注意证明过程的严谨性、规范性(即规范问题)【典型例题】类型一:归纳与类比例1设,计算的值,同时作出归纳推理,并用=40验证猜想结论是否正确.【思路点拨】先计算的值,观察这10个数的共同特征,归纳出一般性的结论,再验证是否符合这个结论。【解析】由此猜测,为任意正整数时,都是质数.当=40时,为合数,因此猜想的结论不成立.【总结升华】所谓归纳,就是由特殊到一般
10、,因此在归纳时要分析所给条件之间的变化规律,从而得到一般性的结论,若无严格要求,结论并不唯一。如本题中,观察已知的10个数据,可知它们都是质数或奇数,因此,除本题解析中做出的猜测外,还可以得出结论:为任意正整数时,都是奇数。在这个猜测中,是成立的。举一反三:【变式1】观察下来等式:1=1, 13=1,1+2=3, 13+23=9,1+2+3=6, 13+23+33=36,1+2+3+4=10, 13+23+33+43=100,1+2+3+4+5=15. 13+23+33+43+53=225.可以推测:13+23+33+n3=_(nN*,用含有n的代数式表示).【答案】 第二列的右端分别是12,
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