高考总复习：知识讲解 条件概率与独立事件 基础

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1、条件概率与独立事件编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.通过实例探究条件概率计算公式的推导过程和事件独立性的概念，学会判断事件独立性的方法.3.通过本节的学习，体会数学来源于实践又服务于实践，发展数学的应用意识.【要点梳理】要点一：条件概率1.概念设、为两个事件，求已知发生的条件下，发生的概率，称为发生时发生的条件概率，记为，读作：事件发生的条件下发生的概率。要点诠释：我们用韦恩图能更好的理解条件概率，如图，我们将封闭图形的面积理解为相应事件的概率，那么由条件概率的概率，我们仅局限于事件这个范围来考察事件发生的概率，几何直观上，相当于在内的那部分（

2、即事件）在中所占的比例。2.公式当时，.要点诠释：（1）对于古典（几何）概型的题目，可采用缩减样本空间的办法计算条件概率：古典概型：，即；几何概型：.（2）公式揭示了、的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若0，则，该式称为概率的乘法公式（3）类似地，当时，发生时发生的条件概率为：.3. 性质（1）非负性：；（2）规范性：（其中为样本空间）；（3）可列可加性：若两个事件、互斥，则.4.概率与的联系与区别：联系：事件，都发生了。区别： 在中，事件，发生有时间上的差异，事件先发生，事件后发生；在中，事件，同时发生；基本事件空间不同在中，事件成为基本事件空间；在中，基本事件空间保持不

3、变，仍为原基本事件空间。 要点二：独立事件1.定义：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，即，这样的两个事件叫做相互独立事件。若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立。2相互独立事件同时发生的概率公式：对于事件和事件，用表示事件、同时发生。（1）若与是相互独立事件，则；（2）若事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：。要点诠释（1）（）=（）（）使用的前提是、为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积（2）两个事件、相互独立事件的充要条件是。3相互独立事件与互斥事件的比较互斥事件与相互独立事件是两

4、个不同的概念，它们之间没有直接关系。互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。4. 几种事件的概率公式的比较已知两个事件，它们发生的概率为（），（），则：，中至少有一个发生记为事件+（或）；，都发生记为事件（或）；都不发生记为事件（或）；恰有一个发生记为事件；至多有一个发生记为事件.则它们的概率间的关系如下表所示：概率，互斥，相互独

5、立（+）（）+（）（）0（）（）1（）+（）（）+（）11（）（）【典型例题】类型一：条件概率例1甲、乙两名推销员推销某种产品，据以往经验，两人在一天内卖出一份产品的概率分别为和，两人在一天内都卖出一份产品的概率为，问：（1）在一天内甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品的概率是多少？（2）在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品的概率是多少？【思路点拨】这两小问都是求条件概率，注意各事件发生的先后顺序：（1）求；（2）求.【答案】记事件=“甲在一天内卖出一份产品”，事件=“乙在一天内卖出一份产品”.由题意可知，。（1）因为“在一天内甲先卖出一份产品乙后卖出一份产品”这一事件是甲在一天内卖出一份产品

6、后，乙卖出一份产品，所以由条件概率公式，可得（2）因为“在一天内乙先卖出一份产品甲后卖出一份产品”这一事件是乙在一天内卖出一份产品后，甲卖出一份产品，所以由条件概率公式，可得【总结升华】这类条件概率的应用问题，首先分清一前一后两事件的发生，前面的事件对后面的事件的发生有没有影响？若没有影响，就是无条件概率；若有影响，就是条件概率，然后根据相应的公式计算即可。举一反三：【变式】甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20和18，两地同时下雨的比例为12，问： （1）乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为多少？ （2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多

7、少？【答案】设表示“甲地为雨天”，表示“乙地为雨天”，则根据题意有（）=0.20，（）=0.18，（）=0.12 （1）；（2）例2.盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，从中不放回地抽取产品，每次抽取1件。求：取两次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率。【思路点拨】本题为古典概型，采用缩减样本空间的办法计算条件概率较简便.【解析】记事件为“第二次取到一等品”，事件为“第一次取得二等品”，则“第二次取得一等品，第一次取得的是二等品”可表示为.把3件一等品编上序号1，2，3；把2件二等品编上序号甲，乙，于是事件A的所有结果，可用树状图直观的表示：则，所以所以，第二次取得一等

8、品，第一次取得的是二等品的概率为.【总结升华】求条件概率的关键就是要抓住事件作为条件和事件与同时发生这两件事，然后具体问题具体对待。举一反三：【变式1】抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为，记事件，则（ ）. . D.【答案】 方法一：根据条件概率的定义因为，事件，所以，所以，.方法二：利用缩减样本空间计算：因为，则，所以，.【变式2】某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人；来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，问该女生来自北京的概率是多少？【答案】依题意知，该校一年级男女学生情况如下表所示：来自北京非北京人总数男生124860女生83240 由

9、条件概率的定义可知，“该女生来自北京的概率”就是来自北京的女生占女生总人数的比例，为. 具体解析如下：用表示事件“任选一人是女生”，表示事件“任选一人来自北京”，则事件“任选一人是女生，该女生来自北京”用表示.则，所以，.【变式3】在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，若从中任取2支，则在第1次取到的是次品的条件下，第二次取到正品的概率是（ ）A B C D【答案】利用缩小样本空间的方法求解。因为第一次取到1支次品，还剩9支铅笔，其中有8支正品，所以第二次取正品的概率是。类型二：独立事件例3. 容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球 （1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个

10、球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？ （2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？ 【思路点拨】 从相互独立事件的定义入手 【解析】 （1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件 （2）由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有

11、影响，所以二者是相互独立事件 【总结升华】 判断两事件是否相互独立的方法有： （1）通过计算（|）=（）可以判断两个事件相互独立： （2）通过验证（）=（）（）也可以判断两个事件相互独立举一反三：【变式】判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件 （1）运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”； （2）甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”： （3）甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”； （4）甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”【答案】（1）甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”这两个事

12、件不可能同时发生，二者是互斥事件（2）甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者为相互独立事件（3）甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件（4）甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，但也不可能是相互独立事件例4. 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：（1）都抽到某一指定号码； （2

13、）恰有一次抽到某一指定号码；（3）至少有一次抽到某一指定号码；（4）两次都没有抽中指定号码【思路点拨】用、分别表示两次抽中某一指定号码，则事件、相互独立.利用概率的加法公式和独立事件解决问题.【解析】 记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件 ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件由于两次抽奖结果互不影响，因此与相互独立 则.（1）“两次抽奖都抽到某一指定号码”为事件，则,所以两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为0.05.（2）设“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”为事件，则： =0. 05(1-0.05 ) + (1-0.05 ) 0.05 = 0.

14、095.所以，两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095.（3）设“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”为事件，则: = 0.0025 +0. 095 = 0. 097.所以，两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097.（4）设“两次都没有抽中指定号码”为事件，则，所以，两次都没有抽中指定号码的概率为0.9025.【总结升华】 审题应注意关键的词句，例如“恰好有一个发生”“至多（至少）有一个发生”“都（不）发生”等，应学会在求复杂事件的概率时对事件等价拆分来求解举一反三：【变式1】甲、乙各进行一次射击，若甲、乙击中目标的概率分别为0.8、0.7求下列事件的概率： （1）两人都

15、击中目标； （2）至少有一人击中目标； （3）恰有一人击中目标【答案】记为“甲射击一次，击中目标”，为“乙射击一次，击中目标”，则与相互独立.由已知，（）=0.8，（）=0.7，（1）两人都击中目标的概率 （）=（）（）=0.80.7=0.56（2）至少有一人击中目标的概率 =0.20.7+0.80.3+0.80.7=0.94 （3）恰有一人击中目标的概率=0.20.7+0.80.3=0.38【变式2】甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。若分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，求取出的两球都是红球的概率。【答

16、案】因从甲袋中取一球为红球的概率为，从乙袋中取一球为红球的概率为，故从两袋中各取一球，取出的都是红球的概率为。【变式3】在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，若在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则在这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（ ）0.12 0.88 0.28 D0.42【答案】D甲乙两地不下雨的概率为：=(10.3)(10.4)=0.42.例5甲、乙、丙三位同学完成6道数学自测题，已知他们及格的概率依次为，。求（1）三人中有且只有两人及格的概率；（2）三人中至少有一人不及格的概率。【思路点拨】 三件（或三件以上）相互独立的事同时发生，和两个相互独立的事同

17、时发生是类似的，都用乘法公式。【解析】设甲、乙、丙三位同学答题及格分别为事件，则事件，相互独立。（1）三人中有且只有两人及格的概率为；（2）三人中至少有一人不及格的概率为。【总结升华】明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义。在求事件的概率时，有时会遇到求“至少”或“至多”等事件的概率问题，它们是诸多事件的和或积，可以从正面或对立面解决问题。如果从正面考虑这些问题，求解过程繁琐，但“至少”或“至多”这些事件的对立事件却相对简单，其概率也易求出，此时，可逆向思维，运用“正难则反”的原则求解。举一反三：【变式1】某道路的、三处设

18、有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（ ）. . . D. 【答案】在、三处不停车的概率分别为，故三处都不停车的概率是。【变式2】甲射击命中目标的概率是，乙射击命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是，若现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率是（ ） D【答案】设“甲射击命中目标”为事件，“乙射击命中目标”为事件，“丙射击命中目标”为事件。因击中目标表示事件，中至少有一个发生：目标可能被一人、两人或三人击中。因目标被击中的事件的对立事件是目标未被击中，即三人都未击中目标，它可以表示为，而三人射击结果是相互独立的，

19、故目标被击中的概率为，故目标被击中的概率。【变式3】设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响已知在某1 h内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125 （1）求甲、乙、丙在这1 h内需要照顾的概率分别是多少； （2）计算这1 h内至少有一台机器需要照顾的概率【答案】记“机器甲需要照顾”为事件，“机器乙需要照顾”为事件，“机器丙需要照顾”为事件由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，、是相互独立事件 （1）由已知得（）=（）（）=0.05， （）=（）（）=0.1， （）=（）（）=0.125， 解得（）=0.2，（）=0.25，（）=0.5 甲、乙、丙在这1 h内需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5 （2）记的对立事件为，的对立事件为，的对立事件为， 则， 这1 h内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7【高清课堂：条件概率 事件的相互独立性 408736 例题3】【变式4】 如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率. 【答案】法一：法二：