高考总复习:知识讲解 组合(理)(基础)
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1、 组 合编稿:赵雷 审稿:李霞【学习目标】1理解组合的概念 2能利用计数原理推导组合数公式 3能解决简单的实际问题 4理解组合与排列之间的联系与区别【要点梳理】要点一:组合1.定义:一般地,从个不同元素中取出()个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合要点诠释: 从排列与组合的定义可知,一是“取出元素”;二是“并成一组”,“并成一组”即表示与顺序无关排列与元素的顺序有关,而组合与元素的顺序无关,这是它们的根本区别 如果两个组合中的元素相同,那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题,它主要涉及元素被取到或
2、未被取到.要点二:组合数及其公式1.组合数的定义:从个不同元素中取出()个元素的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数记作要点诠释:“组合”与“组合数”是两个不同的概念:一个组合是指“从n个不同的元素中取出m(mn)个元素并成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;组合数是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数”,它是一个数 例如,从3个不同元素a,b,c中取出2个元素的组合为ab,ac,bc,其中每一种都叫做一个组合,而数字3就是组合数 2组合数的公式及推导 求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,可以按以下两步来考虑: 第一步,先求出从这n个不同元素中取出m
3、个元素的组合数; 第二步,求每一个组合中m个元素的全排列数 根据分步计数原理,得到 因此 这里n,mN+,且mn,这个公式叫做组合数公式因为,所以组合数公式还可表示为: 要点诠释:组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法!在以后学习排列组合的混合问题时,一般都是按先取后排(先组合后排列)的顺序解决问题。3. 组合数公式:(1)( 、,且)(2) ( 、,且)要点诠释:上面第一个公式一般用于计算,但当数值、较大时,利用第二个式子计算组合数较为方便,在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时,常用第二个公式要点三:组合数的性质性质1:(、,且)性质2:(、,且)要点诠释:规定:. 要点四、纯组合问
4、题常见题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取如:现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表,若男甲、女A都必须当选,有多少种不同的选法?由于男甲、女A必须当选,只需从剩下7人中任选3人即可满足题目的要求,故有种不同的选法(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解,但通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理如(1)中,将问题改为至少有一名女同学当选,有多少种不同的选法?则在全部的选
5、法中,排除全部男生当选的情况即可,故有种不同的选法(3)分堆问题 平均分堆,其分法数为: 例如 将6本不同的书平均分成三份,每份两本,求不同的分法数 依据上述公式,其分法为(种) 分堆但不平均,其分法数为 例如,将12本不同的书分成五份,分别为2本、2本、2本、3本、3本,求不同的分法数 依据上述公式,分到指定位置数为 其中两本的有三堆,故除以3!;3本的有两堆,要除以2!,故分法数为 (4)定序问题 对于某些元素的顺序固定的排列问题,可先全排,再除以定序元素的全排,或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列,然后对其他元素进行排列 例:5人站成一排,如果甲必须站在乙的左边,则不同的排法有多
6、少种? 法一: 5人不加限制的排列方法有种,“甲在乙的左边”和“甲在乙的右边”的排法是相对的,所以甲必须在乙的左边的排法有(种) 法二: 第一步,在5个位置中选2个位置给甲、乙二人有种选法; 第二步,剩下三个位置由剩下三人全排,有种排法,共有(种); 法三: 从5个位置选3个位置由除甲、乙两人之外的三人排列有种(剩下两个位置,甲、乙随之确定)(5)指标问题用“隔板法”:如,将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班,每班至少一名,共有多少种分配方案? 将10个名额并成一排,名额之间有9个空,用5块隔板插入9个空,就可将10个名额分为6部分,每一种插法就对应一种分配法,故有种方案 注意
7、:隔板法与插空法是不同的,要予以“区分”隔板法只适用于相同元素的分配问题要点五、组合组合的综合应用 处理排列、组合综合题时,应遵循四大原则:(1) 先特殊后一般的原则(2) 先取后排的原则(3) 先分类后分步的原则(4) 正难则反、等价转化原则【典型例题】类型一、 组合概念及组合数公式 例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题 (1)设集合A=a,b,c,d,e,则集合A的子集中含有3个元素的有多少个? (2)某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票?多少种票价? (3)3人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法? (4)把3本相同的书分给5个学生,每人最多得1本,有几种分
8、配方法?【思路点拨】 排列与顺序有关,组合与顺序无关【解析】 (1)因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题 (2)因为甲站到乙站车票与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题,但票价与顺序无关,甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题 (3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种,按一定次序分给3个人去干,故是排列问题 (4)因为3本书是相同的,无论把3本书分给哪三人,都不需考虑他们的顺序,故是组合问题【总结升华】 区分排列与组合问题,关键是利用排列与组合的定义,组合是“只选不排、并成一组,与顺序无关”举一反三:【变式1】平面内有10个点,(1)以其中每2个点为端点的线段共有多少条?(2
9、)以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?【解析】线段不考虑线段两个端点的顺序,是组合问题;有向线段考虑线段两个端点的顺序,是排列问题(1)以每2个点为端点的线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即以其中每2个点为端点的线段共有(条)(2)由于有向线段的两个端点中一个是起点,一个是终点,以每2个点为端点的有向线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数,即以其中每2个点为端点的有向线段共(条)【变式2】计算:(1); (2); 【答案】(1) 35;(2)解法1:120 解法2:120类型二、 组合应用题例2某医院有内科医生12名,外科医生8名,现要选派5名参加赈
10、灾医疗队,则(1) 某内科医生必须参加,某外科医生不能参加,有几种选法?(2) 至少有一名内科医生和至少有一名外科医生参加,有几种选法?【思路点拨】要正确理解题意中的关键性词语, 从“在”与“不在”“至少”中寻求解题思路.【解析】(1) 某内科医生参加,某外科医生不参加,只需从剩下的18名医生中选4名即可,故有=3 060种.(2)方法一(直接法):至少有一名内科医生和至少有一名外科医生当选可分为四类:一内四外;二内三外;三内二外;四内一外,共有C112C48+C212C38+C312C28+C412C18=14 656(种).方法二(排除法):事件“至少有一名内科医生和至少有一名外科医生”的
11、反面是“全部为内科医生或外科医生”,共有C512+C58种选法,则C520-(C512+C58)=14 656种.【总结升华】 本题属有限制条件的组合问题,“含”与“不含”,“最多”与“至少”是常见题型.“含有”一般先将这些元素取出,不足部分由另外的元素补充,“不含”可将这些元素剔除,再从剩下的元素中去取.解“最多”与“至少”问题,是用直接法还是排除法,要具体问题具体分析,一般是正难则反.举一反三:【变式】男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加;(4
12、)既要有队长,又要有女运动员.【答案】(1)第一步:选3名男运动员,有种选法. 第二步:选2名女运动员,有种选法. 共有种选法.(2)方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男. 由分类加法计数原理可得总选法数为.方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解. 从10人中任选5人有种选法,其中全是男运动员的选法有种. 所以“至少有1名女运动员”的选法为.(3)方法一:可分类求解:“只有男队长”的选法为;“只有女队长”的选法为; “男、女队长都入选”的选法为; 所以共有种选法.方法二:间接法: 从10人中任选5人有种选法. 其中不选队长
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