高考总复习:知识讲解_直线、平面垂直的判定_提高
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1、直线、平面垂直的判定编稿:丁会敏 审稿:王静伟【学习目标】1了解空间直线和平面的位置关系;2掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理; 3能利用直线与平面、平面与平面垂直的定义、判定定理解决与其相关的问题。 【要点梳理】要点一:直线与直线垂直的定义两条直线垂直的定义:如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直。要点诠释:空间中两直线垂直可能是相交垂直,也可能是异面垂直,即两条直线互相垂直时可能没有垂足。要点二:直线与平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直的定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线与平面互相垂直,记作.直线叫平面的垂线;平面
2、叫直线的垂面;垂线和平面的交点叫垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段。垂线段的长度叫做这个点到平面的距离。要点诠释:(1)定义中的“任何直线”与“所有直线”是同义语,定义是说这条直线和平面内所有直线垂直 (2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式(3)如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直,简述之,即“线面垂直,则线线垂直”,这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法画直线和平面垂直时,通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示符号语言描述:(4)在平面几何中,我们有命题:经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,
3、在本节中,也有类似的命题 命题1:过一点有且只有一条直线和已知平面垂直 命题2:过一点有且只有一个平面和已知直线垂直2.直线和平面垂直的判定定理文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直图形语言:符号语言:特征:线线垂直线面垂直要点诠释:(1)判定定理的条件中:“平面内的两条相交直线”是关键性词语,不可忽视.(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,则无关紧要.相关的重要结论 过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个;过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条 如果两条平行
4、线中的一条与一个平面垂直,那么另一条也与这个平面垂直如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直,那么另一个也与这条直线垂直要点三:平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直.表示方法:平面与垂直,记作.画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图: 2.平面与平面垂直的判定定理文字语言:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号语言:图形语言:特征:线面垂直面面垂直要点诠释:平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直,则面面
5、垂直”.因此,处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题,进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直,只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.要点四:求点线、点面、线面距离的方法 (1)若P是平面外一点,a是平面内的一条直线,过P作平面的垂线PO,O为垂足,过O作OAa,连接PA,则以PAa则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示) (2)一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离 (3)求点面距离的常用方法:直接过点作面的垂线,求垂线段的长,通常要借助于某个直角三角形来求解 转移法:借助线面平行将点转移到直线上某一特殊
6、点到平面的距离来求解 体积法:利用三棱锥的特征转换位置来求解【典型例题】类型一、直线和平面垂直的定义例1下列命题正确的个数为( ) (1)垂直于同一条直线的两条直线平行;(2)一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直;(3)一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直;(4)如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线所确定的平面;(5)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边A2 B3 C4 D5【答案】B【解析】(1)错误因为空间内和一条直线同时垂直的两条直线可能相交,可能平行,也可能异面(2)正确因为命题条件不满足线面垂直定义的要
7、求,因此直线一定不与这个平面垂直(3)错误因为这无数条直线可能是一组平行直线(4)正确设三条直线共点于O,由,且确定一平面,设为,得同理可知垂直于由确定的平面,垂直于由确定的平面(5)正确因为垂直于三角形两边的直线必垂直于该三角形所在的平面,所以这条直线就垂直于三角形的第三条边故正确答案为B举一反三:【变式1】设直线与平面相交但不垂直,则下列说法中正确的是( )A在平面内有且只有一条直线与直线垂直 B过直线有且只有一个平面与平面垂直 C与直线垂直的直线不可能与平面平行 D与直线平行的平面不可能与垂直【答案】B【解析】可以通过观察正方体进行判断,取为直线,平面为平面,由均与垂直知,选项错;由与垂
8、直且与平行知,选项错;由平面与平行且与垂直知,选项错,故选B。类型二、直线与平面垂直的判定例2如图,已知空间四边形ABDC的边BC=AC,AD=BD,作BECD,E为垂足,作AHBE于H,求证:AH平面BCD。【思路点拨】要证AH平面BCD,只需利用直线和平面垂直的判定定理,证AH垂直平面BCD中两条相交直线即可。【解析】证明:取AB中点F,连CF,DF,AB=BD,CFAB。又AD=BD,DFAB,AB平面CDF,ABCD。又BECD,且ABBE=B,根据直线与平面垂直的判定定理,直线CD平面ABE。CDAH。而AHBE,CDBE=E,AH平面BCD。【总结升华】本题主要考查线面垂直的判定,
9、关键是找到平面BCD内与AH垂直的两条相交直线,要证线面垂直,需证线线垂直;要证线线垂直,需证线面垂直,即通过判定定理实现线线垂直与线面垂直的互相转化。例3如图所示,已知PA矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MNCD;(2)若PDA=45.求证:MN平面PCD. 【证明】(1)连接AC,AN,BN,PA平面ABCD,PAAC,在RtPAC中,N为PC中点,AN=PC.PA平面ABCD,PABC,又BCAB,PAAB=A,BC平面PAB,BCPB,从而在RtPBC中,BN为斜边PC上的中线,BN=PC.AN=BN,ABN为等腰三角形,又M为底边的中点,MNAB,又A
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