高考总复习:知识讲解_用样本估计总体_基础
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1、用样本估计总体编稿:丁会敏审稿:王静伟【学习目标】1.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.2.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征,从而恰当地选择上述方法分析样本的分布,准确地做出总体估计.3.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差.4.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并做出合理的解释.5.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.【要点梳理】要点一、频率分布的概念频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分
2、布.其一般步骤为:1.计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差2.决定组距与组数3.将数据分组4.列频率分布表5.画频率分布直方图要点诠释:频率分布直方图的特征:1.从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.2.从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.要点二、频率分布折线图、总体密度曲线1.频率分布折线图的定义:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.2.总体密度曲线的定义:在样本频率分布直方图中,样本容量越大,所分组数越多,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.要点诠
3、释:总体密度曲线能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息,能够精确的反映一个总体在各个区域内取值的规律.要点三、茎叶图当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图.要点诠释:茎叶图的特征:(1)用茎叶图表示数据有两个优点:一是在统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.(2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的
4、数据,两个以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰.要点四、众数、中位数与平均数1.众数一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.如果变量是分类的,用众数是很有必要的.例如班委会要作出一项决定,考察全班同学对它赞成与否就可以用众数.2.中位数将一组数据从小到大依次排列,把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数.中位数把样本数据分成了相同数目的两部分.3.平均数样本数据的算术平均数,即.要点诠释:由于众数仅能刻画某一数据出现的次数较多,中位数对极端值不敏感,而平均数又受极端值左右,因此这些因素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确性.要点五、标准差与方差1.标准差样本
5、数据的标准差的算法:(1)算出样本数据的平均数.(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差:(3)算出(2)中的平方.(4)算出(3)中n个平方数的平均数,即为样本方差.(5)算出(4)中平均数的算术平方根,即为样本标准差.其计算公式为:2.方差从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方(即方差)来代替标准差,作为测量样本数据分散程度的工具:要点诠释:在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.数据的离散值程度可以用极差、方差或标准差来描述.极差反映了一组数据变化的幅度;样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小;样本方差的算术根表示样本的标准差,它也
6、描述了数据对平均数的离散程度.【典型例题】类型一:频率分布表、频率分布直方图例1(1)为了帮助班上的两名贫困生解决经济困难,班上的20名同学捐出了自己的零花钱,他们的捐款数(单位:元)如下:19,20,25,30,24,23,25,29,27,27,28,28,26,27,21,30,20,19,22,20班主任老师准备将这组数据制成频率分布直方图,以表彰他们的爱心制图时先计算最大值与最小值的差是_,若取组距为2,则应分成_组;若第一组的起点定为18.5,则在26.5,28.5)内的频数为_ (2)将容量为100的某个样本数据拆分为10组,若前七组的频率之和为0.79,而剩下的三组中频率依次相
7、差0.05,则剩下的三组中频率最大的一组的频率为_【答案】(1)11 6 5 (2)0.12【解析】(1)由题意知,极差为3019=11;由于组距为2,则不是整数,所以取6组;捐款数落在26.5,28.5)内的有27,27,28,28,27共5个,因此频数为5 (2)设剩下的三组中频率最大的一组的频率为x,则另两组的频率分别为x0.05,x0.1因为频率总和为1,所以有0.79+(x0.05)+(x0.1)+x=1,解得x=0.12,所以应填0.12【总结升华】此类题主要考查在应用频率分布来估计总体的过程中的相关计算问题,其中常用到的就是样本频率的计算:频率=,还要注意此公式的一些变形应用举一
8、反三:【变式1】如图是一容量为100的样本的频率分布直方图,试根据图形中的数据填空 (1)样本数据落在6,10)内的频率为_; (2)样本数据落在10,14)内的频数为_高清课堂:用样本估计总体 400450 例1例2对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:寿命h100200200300300400400500500600个数2030804030 (1)列出频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)估计该电子元件寿命在100400 h以内的占总体的比例; (4)估计该电子元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例【思路点拨】理解频率分布直方图的具体含义.【解析】(1)样本频率分布表如下:
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