高考总复习:知识讲解_空间直角坐标系_提高
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1、空间直角坐标系编稿:丁会敏 审稿:王静伟【学习目标】通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式.【要点梳理】要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,这样就建立了空间直角坐标系Oxyz,点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中
2、指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A的坐标可以用有序数组(x,y,z)来表示,有序数组(x,y,z)叫做点A的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点,作两条轴所确定平面的平行平面,此平面交另一轴于一点,交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标:原点;轴上的点的坐标分别为;坐标平面上的点的坐标分别为.2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中,点,则有点关于原点的对称点是;点关于横轴(x轴)的对称点是;
3、点关于纵轴(y轴)的对称点是;点关于竖轴(z轴)的对称点是;点关于坐标平面的对称点是;点关于坐标平面的对称点是;点关于坐标平面的对称点是.要点三、空间两点间距离公式1.空间两点间距离公式空间中有两点,则此两点间的距离.特别地,点与原点间的距离公式为.2.空间线段中点坐标空间中有两点,则线段AB的中点C的坐标为.【典型例题】类型一:空间坐标系例1画一个正方体ABCDA1B1C1D1,以A为坐标原点,以棱AB、AD、AA1所在直线为坐标轴,取正方体的棱长为单位长度,建立空间直角坐标系。 (1)求各顶点的坐标;(2)求棱C1C中点的坐标;(3)求平面AA1B1B对角线交点的坐标。【答案】(1)略(2
4、)(3)【解析】如图所示,由棱长为1,可得(1)各顶点坐标分别是A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0)、D(0,1,0)、A1(0,0,1)、B1(1,0,1)、C1(1,1,1)、D1(0,1,1);(2)棱CC1中点为;(3)平面AA1B1B对角线交点为。【总结升华】(1)空间的中点坐标公式:设A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),则AB的中点为。(2)熟记坐标轴上点的坐标和坐标平面上点的坐标表示的特征。举一反三:【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中,OABCD1A1B1C1是单位正方体,N是BB1的中点,求这个单位正方体各顶点和点N的坐标【答案】O(0,0,0)
5、,A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),N(1,1,)。例2在平面直角坐标系中,点P(x,y)的几种特殊的对称点的坐标如下: (1)关于原点的对称点是P(x,y); (2)关于轴的对称点是P(x,y); (3)关于轴的对称点是P(x,y) 那么,在空间直角坐标系内,点P(x,y,z)的几种特殊的对称点坐标为: 关于原点的对称点是P1_; 关于横轴(x轴)的对称点是P2_; 关于纵轴(y轴)的对称点是P3_; 关于竖轴(z轴)的对称点是P4_; 关于xOy坐标平面的对称点是P5_; 关于yOz坐标平面
6、的对称点是P6_; 关于zOx坐标平面的对称点是P7_【答案】 (x,y,z) (x,y,z) (x,y,z) (x,y,z)(x,y,z) (x,y,z) (x,y,z)【解析】 类比平面直角坐标系,在空间直角坐标系有如下结论:P1(x,y,z);P2(x,y,z);P3(x,y,z);P4(x,y,z);P5(x,y,z);P6(x,y,z);P7(x,y,z) 【总结升华】 上述结论的证明,可类比平面直角坐标系的方法加以证明:如P点关于原点的对称点P1,则有PP1的中点为原点。由中点坐标公式即可求出P1点坐标上述结论的记忆方法:“关于谁对称谁不变,其余的相反”,如关于轴对称的点,横坐标不
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