高考总复习：知识讲解_《解析几何初步》全章复习与巩固 -提高

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1、 解析几何初步全章复习与巩固编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7.能根据给定直线、圆的

2、方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.【知识网络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式 （1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用 （2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法常用的直线方程有： ； ； ； (为参数)要点二：两条直线的位置关系1特殊情况下的两直线平行与垂直 (1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为），另一条直线的倾斜角为时，

3、两直线互相垂直2斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线和，则=且（2）已知直线：和：，则 要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定3斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线和，则 ；（2）已知直线：和：，则要点三：点到直线的距离公式1点到直线距离公式：点到直线的距离为：2两平行线间的距离公式 已知两条平行直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为要点诠释：一般在其中一条直线上随意地取一点M，再求出点M到另一条直线的距离即可要点四：对称问题1点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公

4、式的应用问题设，对称中心为，则P关于A的对称点为2点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点关于直线的对称点为，则有，求出、特殊地，点关于直线的对称点为；点关于直线的对称点为3两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点关于x轴的对称点为；（2）点关于y轴的对称点为；（3）点关于原点的对称点为；（4）点关于直线的对称点为；（5）点关于直线的对称点为 要点五：圆的方程求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一

5、般方程运用圆的几何性质可以使运算简便1圆的标准方程，其中为圆心，为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：.(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.2圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.要点诠释：由方程得(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.(2)当时，方程没有实

6、数解，因而它不表示任何图形(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 要点六：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有(1)若点在圆上(2)若点在圆外(3)若点在圆内要点七：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定方法：(1)代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线与圆C有公共点；有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离.(2)几何法：设直线，圆，圆心到直线的距离记为

7、，则:当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离.要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.要点八：圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(内含或

8、外离)，没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离.(2)几何法：圆与圆，两圆圆心距，则：当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当时，两圆内切；当时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数

9、法.要点九：求圆的切线方程的常用方法：(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；(3)定义法：根据直线方程的定义求出切线方程.常见圆的切线方程：过圆上一点的切线方程是；过圆上一点的切线方程是：. 要点十：空间直角坐标系空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法【典型例题】类型

10、一：直线方程的综合问题例1已知A(-m-3，2)，B(-2m-4，4)，C(-m，m)，D(3，3m+2)，若直线ABCD，求m的值 【思路点拨】两直线垂直的前提条件是、均存在且不为零，所以这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论【答案】1或-1 【解析】 A、B两点纵坐标不相等， AB与x轴不平行 ABCD， CD与x轴不垂直，-m3，m-3 当AB与x轴垂直时， -m-3-2m-4，解得m-1 而m-1时，C、D纵坐标均为-1， CDx轴，此时ABCD，满足题意当AB与x轴不垂直时，由斜率公式， ABCD， ， 即，解得m1 综上，m的值为1或-1 举一反三：【变式1】已知：，求使的的值【

11、答案】或【解析】解法一：当直线斜率不存在，即时，有，符合；直线斜率存在时，故使的的值为或解法二：由解得或，故使的的值为或例2已知三条直线，且与的距离为 (1)求a的值 (2)能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：点P是第一象限点，点P到、的距离比是:，点P到、的距离比是1:2若能，求点P的坐标；若不能，说明理由【思路点拨】用平行线间的距离、点到直线的距离公式求解【答案】（1）3 （2）【解析】 (1)直线的方程变为， 与的距离， ， ， (2)设P(x0，y0)，若点P满足条件，则点P在与直线、平行的直线上，且，即或， 为或若点P满足条件，由点到直线的距离公式得，解得或( 点P是第一象

12、限点， 不合题意，舍去)联立方程 解得，舍去联立方程， 解得 为同时满足三个条件的点【总结升华】本题综合性较强，用距离公式时要注意转化为方程的一般形式例3求直线关于直线对称的直线的方程【思路点拨】1. 曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）2. 由平面几何知识可知，若与关于对称，则应具有下列几何性质：（1）若点A在直线上，则A点关于的对称点B一定在直线上，即为线段的垂直平分线（，AB的中点在上）；（2）设是所求直线上一点，则P关于的对称点的坐标适合直线的方程；（3）若与相交，则过与交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若，则，三条

13、直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案【解析】方法一：在直线上取一点，设A点于的对称点，则，解得，由，解得交点由两点式可求得直线的方程：方法二：设是所求直线上任一点；设关于的对称点，则有：，解得在直线上，整理得，故所求直线的方程：【总结升华】1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论2. 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线为二次曲线C，仍可用此方法解决举一反三：【变式1】

14、由点P（2，3）发出的光线射到直线上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在直线的一般方程为_【答案】：【解析】设点P关于直线的对称点，则满足条件解得， 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为，即类型二：圆的方程的综合问题例4求过P(-2，4)，Q(3，-1)两点，且在x轴上截得弦长为6的圆的方程【思路点拨】设圆的一般方程，用待定系数法求解【答案】或【解析】设圆的方程为，将P、Q点的坐标分别代入圆的方程，得 又令y0，得 设的两个根为x1，x2， 则， 由求得D-2，E-4，F-8或D-6，E-8，F0 故所求圆的方程为或 【总结升华】本题运用了待定系数法、方程(组)的思想方法 举一反

15、三：【变式1】直线被圆C:所截得的弦的中点是，求直线的方程【答案】：【变式2】已知直线：和圆：.（1）时，证明与总相交（2）取何值时，被截得弦长最短，求此弦长【答案】：（1）将直线整理成点斜式方程，则直线过定点，斜率为.将圆整理为标准方程，则圆心，半径. .点在圆内，故时， 与总相交（2）由，当与垂直时，被截得弦长最短，当即时，弦长最短，设弦端点为、，则，即最短弦长为例5已知圆的方程：，其中a1，且aR (1)求证：a1，且aR时，圆恒过定点； (2)求与圆相切的直线方程； (3)求证圆心总在一条直线上，并求其方程 【思路点拨】本题是含参数的圆的方程，可用分离参数法、待定系数法、配方法解题【解

16、析】(1)证明：方程变为，令 解得 定点为(1，1)故圆恒过定点(1，1) (2)解：易求圆心坐标为(a，2-a)，半径为设所求切线方程为，即，则圆心到直线的距离等于半径，即恒成立，即 恒成立比较系数可得 解得 故所求切线方程为yx(3)解：易求圆心坐标为(a，2-a)，又设圆心坐标为(x，y)，则消去a，可得，即故圆心(a，2-a)总在直线x+y-20上举一反三：【变式1】求过两圆与的交点和点(3，1)的圆的方程 【解析】设所求圆的方程为， 点(3，1)在圆上，把(3，1)代入圆的方程求得 所求圆的方程为【总结升华】注意圆系方程的特殊情形：过直线与圆的交点的圆系方程和过圆与圆的交点的圆的方程

17、类型三：直线与圆的方程的综合问题例6求半径为4，与圆相切，且和直线y0相切的圆的方程 【思路点拨】题目要分圆心在直线y0上方或下方两种情况讨论，另外，还要考虑两圆外切或内切的情况 【答案】或【解析】设所求圆C的方程为 圆C与直线y0相切且半径为4， 则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，-4) 已知圆的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3 由两圆相切，得，或， 当圆心为C1(a，4)时， 或(无解)， 故可得， 所求圆的方程为或 当圆心为C2(a，-4)时，或(无解) 故可得 所求圆的方程为或 综上，所求圆的方程为或或或举一反三：【变式1】已知直线过点P(2，4)，且与圆相切，求直线的方程

18、错解： ，且， ， 的方程为，即 错因分析：本题错误的原因是误把点P当作切点求过定点的圆的切线方程，应首先验证定点是否在圆上 正解：当直线斜率不存在时，直线的方程为x2，适合题意 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 直线与圆相切， ，解得， 直线的方程为 直线的方程为或例7已知mR，直线和圆 (1)求直线斜率的取值范围；(2)直线能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么?【答案】（1）（2）不能 【解析】(1)直线的方程可化为， 直线的斜率 因为， 所以，当且仅当时等号成立 所以斜率k的取值范围是 (2)不能 由(1)知的方程为yk(x-4)，其中 圆C的圆心为C(4，-2)，半径r

19、2 圆心C到直线的距离 由，得d，即 从而，若与圆C相交，则圆C截直线所得的弦所对的圆心角小于 所以不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧类型四：空间直角坐标系例8正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动若|CM|=|BN|=a（）当a为何值时，|MN|最小？【思路点拨】建立空间直角坐标系，把|MN|写成a的函数，用函数的思想方法解题【答案】【解析】因为平面ABCD平面ABEF，且交线为AB，BEAB，所以BE平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直取B为坐标原点，过BA，BE，BC的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间

20、直角坐标系因为|BC|=1，|CM|=a，且点M在坐标平面xBz内且在正方形ABCD的对角线上，所以点因为点N在坐标平面xBy内且在正方形ABEF的对角线上，|BN|=a，所以点由空间两点间的距离公式，得，=，当（满足）时，取得最小值，即|MN|最小，最小值为【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN的长度，并利用二次函数求MN的最小值举一反三：【变式1】空间直角坐标系中，在平面内的直线上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小，求出最小值【思路点拨】注意在平面内的直线上的点的特点【解析】设点，则，当时，此时，点M（1，0，0）