2017-2018学年陕西省西安市长安一中高二（上）期末数学试卷（理科）含详细解答

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1、2017-2018学年陕西省西安市长安一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）1（5分）设复数z满足（1+i）z2i，则|z|（）ABCD22（5分）已知命题“xR，2x2+（a1）x+0是假命题，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（1，3）C（3，+）D（3，1）3（5分）在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常

2、速度通过该处的汽车约有（）A30辆B300辆C170辆D1700辆4（5分）用数学归纳法证明1+2+3+n2，则当nk+1时左端应在nk的基础上加上（）Ak2+1B（k+1）2CD（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）25（5分）已知正四面体ABCD的棱长为a点E，F分别是棱AC，BD的中点，则的值是（）Aa2Ba2Ca2Da26（5分）直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A4B4C2D27（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家

3、说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩8（5分）如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A2，5B5，5C5，8D8，89（5分）已知命题p：x2+2x30；命题q：xa，且q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（）A（，1B1，+）C1，+）D（，310（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A2B

4、CD111（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）与直线交于M（x1，y1），N（x2，y2），其中x10，y10，x20，y20，若，且MNQ30，则双曲线C的渐近线方程为（）AByxCy2xD12（5分）设函数f（x）ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）0，则a的取值范围是（）A）B）C）D）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题纸的相应横线上.）13（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级

5、的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生14（5分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为 15（5分）设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是 16（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1（a0，b0）的渐近线与抛物线C2：x22py（p0）交于点O，A，B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知p：“直线x+ym0与圆（x1）2+y

6、21相交”；q：“方程mx2x+m40有一正根和一负根”若p或q为真，非p为真，求实数m的取值范围18（12分）已知函数f（x）alnxbx2，若函数f（x）的图象在x1处与直线y相切（）求实数a，b的值；（）求函数f（x）在，e上的最大值19（12分）已知过抛物线y22px（p0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）两点，且|AB|9（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若+，求的值20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，求二

7、面角APBC的余弦值21（12分）一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y28及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP的交点为M（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：ykx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求ABO的面积的取值范围22（12分）已知函数（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a1时，证明：对于任意的x1，2成立2017-2018学年陕西省西安市长安一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）

8、1（5分）设复数z满足（1+i）z2i，则|z|（）ABCD2【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：（1+i）z2i，（1i）（1+i）z2i（1i），zi+1则|z|故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（5分）已知命题“xR，2x2+（a1）x+0是假命题，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（1，3）C（3，+）D（3，1）【分析】写出原命题的否命题，据命题p与p真假相反，得到2x2+（a1）x+0恒成立，令判别式小于0，求出a的范围【解答】解：“xR，2x2+（a1）x+0”的否定为“xR，2x2+（a1）x

9、+0“xR，2x2+（a1）x+0”为假命题“xR，2x2+（a1）x+0“为真命题即2x2+（a1）x+0恒成立（a1）2420解得1a3故选：B【点评】本题考查含量词的命题的否定形式：将量词”与“”互换，同时结论否定、考查命题与其否定真假相反、考查二次不等式恒成立从开口方向及判别式两方面考虑3（5分）在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A30辆B300辆C170辆D1700辆【分析】

10、由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆【解答】解：由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为（0.03+0.035+0.02）100.85，估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有：20000.851700（辆）故选：D【点评】本题考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用4（5分）用数学归纳法证明1+2+3+n2，则当nk+1时左端应在nk的基础上加上（）Ak2+1B（k+1）2CD（k2+1）+（k2+2）

11、+（k2+3）+（k+1）2【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+n2时，当nk+1时左端应在nk的基础上加上的式子，可以分别使得nk，和nk+1代入等式，然后把nk+1时等式的左端减去nk时等式的左端，即可得到答案【解答】解：当nk时，等式左端1+2+k2，当nk+1时，等式左端1+2+k2+k2+1+k2+2+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2故选：D【点评】此题主要考查数学归纳法的问题，属于概念考查题，这类题型比较简单多在选择填空中出现，属于基础题目5（5分）已知正四面体ABCD的棱长为a点E，F分别是棱AC，BD的中点，则的值是（）

12、Aa2Ba2Ca2Da2【分析】如图所示，正四面体ABCD的棱长为a点E，F分别是棱AC，BD的中点，可得，a2cos60代入即可得出【解答】解：如图所示，正四面体ABCD的棱长为a点E，F分别是棱AC，BD的中点，a2cos60故选：C【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、正四面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（5分）直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A4B4C2D2【分析】由题意首先求出第一象限的交点，然后利用定积分表示围成的图形的面积，然后计算即可【解答】解：先根据题意画出图形，两个图形在第一象限的交点为（2，8），所以曲线yx

13、3与直线y4x在第一象限所围成的图形的面积是02（4xx3）dx，而02（4xx3）dx（2x2x4）|02844曲封闭图形的面积是4，故选：B【点评】本题考查学生利用定积分求曲边梯形的面积，会求出原函数的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题7（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说

14、及最后甲说话，继而可以推出正确答案【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知自己的成绩丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故

15、选：D【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题8（5分）如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A2，5B5，5C5，8D8，8【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值【解答】解：甲组数据分别为：9，12，10+x，24，27；乙组数据分别为：9，15，10+y，18，24因为甲组的中位数为15，所以10+x15，所以x5；因为乙组的平均数为16.8，所以16.8，所以y8，故选：C【点评】本题考查了利

16、用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题9（5分）已知命题p：x2+2x30；命题q：xa，且q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（）A（，1B1，+）C1，+）D（，3【分析】由p转化到p，求出q，然后解出a【解答】解：由p：x2+2x30，知 x3或x1，则p为3x1，q为xa，又p是q的充分不必要条件，所以a1故选：B【点评】四种命题的转化，二次不等式的解法，充要条件的判定都制约本题结果基本知识的考查10（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A2BCD1【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线

17、C1A平面BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OEC1A，从而C1A平面BDE，直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，在三棱锥EABD中，VEABDSABDEC22在三棱锥ABDE中，BD2，BE，DE，SEBD22VABDESEBDh2hh1故选：D【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题11（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）与直线交于M（x1，y1），N（x2，y2），其中x10，y10，

18、x20，y20，若，且MNQ30，则双曲线C的渐近线方程为（）AByxCy2xD【分析】设MN的中点为H，MN与x轴交于P，将直线方程代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得H的坐标，再由平行线的性质和等腰三角形的性质，可得POPH，OHPO，由两点的距离公式，化简整理，即可得到所求双曲线的渐近线方程【解答】解：设MN的中点为H，MN与x轴交于P，由直线，可得P（，0），由yxm代入双曲线的方程，可得：（b23a2）x22ma2xa2b2a2m20，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2，可得MN的中点H（，），若，则O为MQ的中点，由OH为MNQ的中位线，可得MNQM

19、HO30，又MPO18012060，HPO为等腰三角形，且POPH，OHPO，即有（）2+（）23，化为ab，则双曲线的渐近线方程为yx，即为yx故选：B【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，注意运用中位线定理和等腰三角形的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题12（5分）设函数f（x）ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）0，则a的取值范围是（）A）B）C）D）【分析】设g（x）ex（2x1），yaxa，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线yaxa的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得ag（0）1且g（1）3e1aa，解关于a的不等式组可得【解答

20、】解：设g（x）ex（2x1），yaxa，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线yaxa的下方，g（x）ex（2x1）+2exex（2x+1），当x时，g（x）0，当x时，g（x）0，当x时，g（x）取最小值2，当x0时，g（0）1，当x1时，g（1）e0，直线yaxa恒过定点（1，0）且斜率为a，故ag（0）1且g（1）3e1aa，解得a1故选：D【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题纸的相应横线上.）13（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该

21、校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为，故应从一年级本科生中抽取名学生数为30060，故答案为：60【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题14（5分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为3【分析】设圆柱的高为h，半

22、径为r则由圆柱的体积公式可得，r2h27，即，要使用料最省即求全面积的最小值，而S全面积r2+2rh（法一）令Sf（r），结合导数可判断函数f（r）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径（法二）：S全面积r2+2rh，利用基本不等式可求用料最小时的r【解答】解：设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，r2h27S全面积r2+2rh（法一）令Sf（r），（r0）令f（r）0可得r3，令f（r）0可得0r3f（r）在（0，3）单调递减，在3，+）单调递增，则f（r）在r3时取得最小值（法二）：S全面积r2+2rh27当且仅当即r3时取等号当半径为3时，S最小即用料最省故答案为：3【点评】

23、本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决15（5分）设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（，1）（0，1）【分析】构造函数g（x），利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，画出函数g（x）的大致图象，结合图形求出不等式f（x）0的解集【解答】解：设g（x），则g（x）的导数为：g（x），当x0时总有xf（x）f（x）成立，即当x0时，g（x）恒小于0，当x0时，函数g（x）为减函数，又g（x）g（x），函数g（x）

24、为定义域上的偶函数又g（1）0，函数g（x）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f（x）0xg（x）0或，0x1或x1f（x）0成立的x的取值范围是（，1）（0，1）故答案为：（，1）（0，1）【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题目16（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1（a0，b0）的渐近线与抛物线C2：x22py（p0）交于点O，A，B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为【分析】求出A的坐标，可得，利用OAB的垂心为C2的焦点，可得（）1，由此可求C1的离心率【解答】解：双曲线C1：1（a0，b0）的渐近线

25、方程为yx，与抛物线C2：x22py联立，可得x0或x，取A（，），设垂心H（0，），则kAH，OAB的垂心为C2的焦点，（）1，5a24b2，5a24（c2a2）e故答案为：【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知p：“直线x+ym0与圆（x1）2+y21相交”；q：“方程mx2x+m40有一正根和一负根”若p或q为真，非p为真，求实数m的取值范围【分析】根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行判断即可【解答】解：对p：直线与圆相交，d1+

26、1m+1对q：方程mx2x+m40有一正根和一负根，令f（x）mx2x+m4，或，解得0m4又p为真，p假又p或q为真，q为真由数轴可得+1m4故m的取值范围是+1m4【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键18（12分）已知函数f（x）alnxbx2，若函数f（x）的图象在x1处与直线y相切（）求实数a，b的值；（）求函数f（x）在，e上的最大值【分析】（）求出原函数的导函数，得到f（1），由f（1）0且f（1），列方程组求得实数a，b的值；（）由（）求得函数f（x）的解析式，然后利用导数求函数在，e上的最大值【解答】解：（）由f（

27、x）alnxbx2，得f（x）2bx，f（1）a2b，则，解得a1，b；（）由（）知，f（x）lnxx2f（x）x（x0）当x（，1）时，f（x）0，当x（1，e）时，f（x）0f（x）在（，1）上为增函数，在（1，e）上为减函数，则f（x）maxf（1）【点评】本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题19（12分）已知过抛物线y22px（p0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）两点，且|AB|9（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若+，求的值【分析】（1）由题意求得焦点坐标

28、，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得p，则抛物线方程可求；（2）由（1）求出A，B的坐标结合+，求出C的坐标，代入抛物线方程求得值【解答】解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为（，0），故直线AB的方程为y2xp，联立，可得4x25px+p20x1x2，p0，25p216p29p20，解得，x2p经过抛物线焦点的弦|AB|x1+x2+pp9，解得p4抛物线方程为y28x；（2）由（1）知，x11，x24，代入直线y2x4，可求得，即A（1，2），B（4，4），+（1，2）+（4，4）（4+1，42），C（4+1，42），C点在抛物线上，故，解得：0或2【点评】本题考查抛物线的简单

29、性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值【分析】（1）由已知可得PAAB，PDCD，再由ABCD，得ABPD，利用线面垂直的判定可得AB平面PAD，进一步得到平面PAB平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB平面PAD，得到ABAD，则四边形ABCD为矩形，设PAAB2a，则AD取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所

30、在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角APBC的余弦值【解答】（1）证明：BAPCDP90，PAAB，PDCD，ABCD，ABPD，又PAPDP，且PA平面PAD，PD平面PAD，AB平面PAD，又AB平面PAB，平面PAB平面PAD；（2）解：ABCD，ABCD，四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB平面PAD，ABAD，则四边形ABCD为矩形，在APD中，由PAPD，APD90，可得PAD为等腰直角三角形，设PAAB2a，则AD取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O

31、为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（），设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y1，得AB平面PAD，AD平面PAD，ABPD，又PDPA，PAABA，PD平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，cos由图可知，二面角APBC为钝角，二面角APBC的余弦值为【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题21（12分）一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y28及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP的交点为

32、M（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：ykx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求ABO的面积的取值范围【分析】（1）折痕为PP的垂直平分线，则|MP|MP|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a，c1，由此能求出M的轨迹C的方程（2）l与以EP为直径的圆x2+y21相切，从而m2k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m220，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出AOB的面积的取值范围【解答】解：（1）折痕为PP的垂直平分线，则|MP|MP|，由题意知圆E的半径为2，|ME|+|MP|ME|+|MP|2|E

33、P|，E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a，c1，b2a2c21，M的轨迹C的方程为1（2）l与以EP为直径的圆x2+y21相切，则O到l即直线AB的距离：1，即m2k2+1，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m220，直线l与椭圆交于两个不同点，16k2m28（1+2k2）（m21）8k20，k20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2（kx1+m）（kx2+m）k2x1x2+km（x1+x2）+m2，又x1x2+y1y2，设k4+k2，则，SAOB关于在，2单调递增，AOB的面积的取值范围是，【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，考查

34、圆、椭圆、根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式、换元法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题22（12分）已知函数（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a1时，证明：对于任意的x1，2成立【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；（2）构造函数F（x）f（x）f（x），令g（x）xlnx，h（x）+1则F（x）f（x）f（x）g（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得到F（x）恒成立由此可得f（x）f（x）+对于任意的x1，2成立【解答】（1）解：

35、由f（x）a（xlnx）+，得f（x）a（1）+（x0）若a0，则ax220恒成立，当x（0，1）时，f（x）0，f（x）为增函数，当x（1，+）时，f（x）0，f（x）为减函数；当a0，若0a2，当x（0，1）和（，+）时，f（x）0，f（x）为增函数，当x（1，）时，f（x）0，f（x）为减函数；若a2，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）上为增函数；若a2，当x（0，）和（1，+）时，f（x）0，f（x）为增函数，当x（，1）时，f（x）0，f（x）为减函数；（2）证明：a1，令F（x）f（x）f（x）xlnx+1+xlnx+1令g（x）xlnx，h（x）+1则F（x）f（x）f（x）

36、g（x）+h（x），由g（x）0，可得g（x）g（1）1，当且仅当x1时取等号；又h（x），设（x）3x22x+6，则（x）在1，2上单调递减，且（1）1，（2）10，在1，2上存在x0，使得x（1，x0） 时（x0）0，x（x0，2）时，（x0）0，函数h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，由于h（1）1，h（2），因此h（x）h（2），当且仅当x2取等号，f（x）f（x）g（x）+h（x）g（1）+h（2），F（x）恒成立即f（x）f（x）+对于任意的x1，2成立【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题