2017-2018学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（文科）含详细解答

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1、2017-2018学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1（5分）设0ab1，cR，则下列不等式成立的是（）Aa2b2BCab1Dbcac2（5分）下列求导数运算正确的是（）ABC（3x）'3xlog3eD（x2cosx）'2xsinx3（5分）命题“若a2，则a1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（）A1B2C3D44（5分）在等比数列an中，若a12，a416，则an的前5项和S5等于（）A30B31C62D645（5分）如果aR，且a

2、2+a0，那么a，a2，a的大小关系为（）Aa2aaBaa2aCaaa2Da2aa6（5分）“a1”是“lna0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件7（5分）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca2Da28（5分）已知x3，则函数的最小值为（）A1B4C7D59（5分）已知ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120，则这个三角形的周长为（）A15B18C21D2410（5分）方程x22ax+10的两根分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围为（）A1aBa1或a1C1a1Da111（5分）九章算术是我国古代的数

3、学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等”，则其中分得钱数最多的是（）A钱B1钱C钱D钱12（5分）函数yf（x）的导函数yf（x）的图象如图所示，则函数yf（x）的图象可能是（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）设函数yf（x）的xx0处可导，且，则f'（x0）等于   14（5分）已知双曲线，点（4，2）在它的一条渐近线上，则其离心率等于   15（5分）若

4、命题“”是真命题，则实数a的取值范围是   16（5分）若x、y满足约束条件，则zx+2y的最大值为   三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知动圆在运动过程中，其圆心M到点（0，1）与到直线y1的距离始终保持相等（1）求圆心M的轨迹方程；（2）若直线与点M的轨迹交于A、B两点，且|AB|8，求k的值18（12分）已知an是等比数列，a12，且a1，a3+1，a4成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若bnlog2an，求数列bn的前n项和Sn19（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（）求

5、角A；（）若，求ABC的面积S20（12分）已知函数f（x）x312x（1）求函数f（x）的极值；（2）当x3，3时，求f（x）的最值21（12分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），左、右顶点分别为A、B，经过点F且斜率为k的直线l与椭圆M交于C（x1，y1），D（x2，y2）两点（1）求椭圆M的方程；（2）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|关于k的表达式22（12分）已知f（x）xlnx，g（x）x3+ax2x+2（1）若函数g（x）的单调递减区间为，求函数yg（x）的图象在点P（1，1）处的切线方程；（2）若不等式2f（x）g'（x）+2恒成立，求实数a的取值范

6、围2017-2018学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1（5分）设0ab1，cR，则下列不等式成立的是（）Aa2b2BCab1Dbcac【分析】由二次函数的单调性可判断A；由反比例函数的单调性可判断B；由指数函数的单调性可判断C；由不等式的性质可判断D【解答】解：0ab1，可得a2b2，故A错；由y在x0递减，可得，故B错；由yax（0a1）在R上递减，可得aba01，故C错；由ba可得bcac，故D对故选：D【点评】本题考查不等式的性质和运用，考查函数的单

7、调性的运用：比较大小，考查推理能力，属于基础题2（5分）下列求导数运算正确的是（）ABC（3x）'3xlog3eD（x2cosx）'2xsinx【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案【解答】解：因为（x+）'x'+（）'1，故A错误；（log2x），故B正确；（3x）3xln3，故C错误；（x2cosx）（x2）cosx+x2（cosx）2xcosxx2sinx，故D错误故选：B【点评】本题主要考查导数的运算法则的应用，求复合函数的导数的方法，属于基础题3（5分）命题“若a2，则a1”及其逆命题、否命

8、题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（）A1B2C3D4【分析】根据四种命题真假之间的关系进行判断即可【解答】解：若a2，则a1，成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，逆命题为：若a1，则a2，为假命题，当a1.5时，满足a1，但a2不成立，则否命题为假命题，故真命题的个数为2个，故选：B【点评】本题主要考查四种命题真假关系的判断，根据逆否命题的等价性只需要判断两个命题即可，4（5分）在等比数列an中，若a12，a416，则an的前5项和S5等于（）A30B31C62D64【分析】设公比为q，运用等比数列的通项公式可得q，再由等比数列的求和公式计算即可得到所求值【解答】解：等比数列

9、an中，a12，a416，设公比为q，q38，解得q2，则此数列的前5项的和S562故选：C【点评】本题考查等比数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的通项公式的灵活运用5（5分）如果aR，且a2+a0，那么a，a2，a的大小关系为（）Aa2aaBaa2aCaaa2Da2aa【分析】由已知中a2+a0，解不等式可能求出参数a的范围，进而根据实数的性质确定出a，a2，a，的大小关系【解答】解：因为a2+a0，即a（a+1）0，所以1a0，因此aa20，有aa2a故选：B【点评】本题考查的知识点是不等式比较大小，其中解不等式求出参数a的范围是解答的关键6（5分）“a1”是“lna0”

10、的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件【分析】当a0时，满足a1，但此时lna0不成立若 lna0，由对数函数得性质得0a1，满足a1【解答】解：a1推不出“lna0”，比如 当a0时若 lna0，由对数函数得性质得0a1，满足a1故选：B【点评】本题利用对数的知识考查充要条件的知识属于基础题7（5分）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca2Da2【分析】根据不等式的性质进行转化求解即可【解答】解：由得，即，若不等式组有解，则a2，即a2，故选：D【点评】本题主要考查不等式的求解，结合一元一次不等式的性质是解决本题的关键8（5分）已知x

11、3，则函数的最小值为（）A1B4C7D5【分析】由题意可得x30，函数y（x3）+3，由基本不等式即可得到所求最小值【解答】解：x3，可得x30，则y（x3）+32+37，当且仅当x5时，上式取得等号，则函数y的最小值为7故选：C【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用变形和基本不等式，以及等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题9（5分）已知ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120，则这个三角形的周长为（）A15B18C21D24【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且abc0，设公差为d2，推出abbc2，ac+4，bc+2，利用余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周

12、长【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且abc0，设公差为d2，三个角分别为、A、B、C，则abbc2，ac+4，bc+2，A120cosAc3，bc+25，ac+47这个三角形的周长3+5+715故选：A【点评】本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想注意余弦定理的合理运用，是中档题10（5分）方程x22ax+10的两根分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围为（）A1aBa1或a1C1a1Da1【分析】由已知中关于x的方程x22ax+10的两根分别在（0，1）与（1，2）内，则函数f（x）x22ax+1在（0，1）

13、与（1，2）内各有一个零点，由此构造关于a的不等式，解不等式组即可得到实数a的取值范围【解答】解：若关于x的方程x22ax+10的两根分别在（0，1）与（1，2）内，则函数f（x）x22ax+1在（0，1）与（1，2）内各有一个零点则f（0）0，f（1）0，f（2）0即10，22a0，54a0解得1a故选：A【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，二次函数的性质，其中根据方程的根与零点零点的关系，将问题转化为确定函数的零点问题，是解答本题的关键11（5分）九章算术是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”意思是：“5人

14、分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等”，则其中分得钱数最多的是（）A钱B1钱C钱D钱【分析】依题意设5人所得钱分别为a2d，ad，a，a+d，a+2d，由题意求得a6d，结合a2d+ad+a+a+d+a+2d5a5求得a1，则答案可求【解答】解：依题意设5人所得钱分别为a2d，ad，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a2d+ada+a+d+a+2d，即a6d，又a2d+ad+a+a+d+a+2d5a5，a1，则a2da2（）a故选：D【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题12（5分）函数yf（x）的导函数yf（x）的图象如图所示，则

15、函数yf（x）的图象可能是（）ABCD【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f（x）0时，函数f（x）单调递减，当f（x）0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数yf（x）的图象可能【解答】解：由当f（x）0时，函数f（x）单调递减，当f（x）0时，函数f（x）单调递增，则由导函数yf（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，

16、考查数形结合思想，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）设函数yf（x）的xx0处可导，且，则f'（x0）等于【分析】根据题意，由极限的计算公式可得31，结合导数的定义分析可得答案【解答】解：根据题意，31，则有，则f'（x0），故答案为：【点评】本题考查函数导数的定义以及极限的计算，属于基础题14（5分）已知双曲线，点（4，2）在它的一条渐近线上，则其离心率等于【分析】渐近线方程为yx，（4，2）满足方程：24，然后求解双曲线的离心率【解答】解：渐近线方程为yx，（4，2）满足方程，可得：24，所以a2b，e，故答案为：

17、【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题15（5分）若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（，1）（3，+）【分析】根据二次函数的性质得到关于a的不等式，解出即可【解答】解：x0R，x02+（a1）x0+10，是真命题，则（a1）240，解得：a3或a1，故答案为：（，1）（3，+）【点评】本题考查了特称命题的真假，考查二次函数的性质，是一道基础题16（5分）若x、y满足约束条件，则zx+2y的最大值为6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图：化目标函数zx

18、+2y为，y+由图可知，当直线y+过点A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6故答案为：6【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知动圆在运动过程中，其圆心M到点（0，1）与到直线y1的距离始终保持相等（1）求圆心M的轨迹方程；（2）若直线与点M的轨迹交于A、B两点，且|AB|8，求k的值【分析】（1）通过圆心M到点（0，1）与到直线y1的距离始终保持相等，判断圆心M的轨迹为抛物线，利用抛物线的定义求解即可（2）联立消去y并整理，得x24kx+80，设A（x

19、1，y1）、B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可【解答】解：（1）圆心M到点（0，1）与到直线y1的距离始终保持相等，圆心M的轨迹为抛物线，且，解得p2，圆心M的轨迹方程为x24y；（2）联立消去y并整理，得x24kx+80，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x24k，x1x28，解得，结合已知得【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力18（12分）已知an是等比数列，a12，且a1，a3+1，a4成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若bnlog2an，求数列bn的前n项和Sn【分析】（）设数列an的公比为q0，由a1，a3+1，

20、a4成等差数列2（a3+1）a1+a4可得：2（2q2+1）2+2q3，解得q即可得出（）bnn，利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：（）设数列an的公比为q0，a1，a3+1，a4成等差数列2（a3+1）a1+a42（2q2+1）2+2q3，整理为q2（q2）0，q0解得q2an2n（）bnlog2ann，Sn1+2+n【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（）求角A；（）若，求ABC的面积S【分析】（）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式

21、化简已知等式可求cosA，结合A的范围可求A的值（）由已知及余弦定理可求b+c的值，进而可求ab的值，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（）在ABC中，由正弦定理可得：，又sinBsin（A+C），即，又sinC0，又A为内角，A60；（）由余弦定理得：a2b2+c22bccosAb2+c2bc（b+c）23bc，又，（b+c）24（b+c）12，b+c6，可得：bc8，【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题20（12分）已知函数f（x）x312x（1）求函数f（x）的极值；（2）当

22、x3，3时，求f（x）的最值【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，令f（x）0，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值，（2）由（1）得x2时，函数取最大值，x2时，函数取最小值【解答】解：（1），令0，解得x2，x2，x，f（x），f（x）的变化如下表：x（，2）2（2，2）2（2，+）f（x）+00+f（x）单调递增16单调递减16单调递增f（x）极大值为f（2）16，f（x）极小值为f（2）16；（2）由（1）知，f（2）16，f（2）16，又f（3）9，f（3）9f（x）最大值为f（2）16，f（x）最小值为f（2）16【点评】本题考察了利用导数求函数的单调性，求函数的最值问题，本题

23、是一道基础题21（12分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），左、右顶点分别为A、B，经过点F且斜率为k的直线l与椭圆M交于C（x1，y1），D（x2，y2）两点（1）求椭圆M的方程；（2）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|关于k的表达式【分析】（1）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值，即可求出椭圆方程，（2）当直线l不存在斜率时可得，|S1S2|0；当直线l斜率存在（显然k0）时，设直线方程为yk（x+1）（k0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达

24、式【解答】解：（1）F（1，0）为椭圆M的焦点，c1，又，a2，椭圆M的方程为；（2）依题意，知k0，设直线方程为yk（x+1），和椭圆方程联立消掉y，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2120，计算知0，方程有两实根，且，此时【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，属于中档题22（12分）已知f（x）xlnx，g（x）x3+ax2x+2（1）若函数g（x）的单调递减区间为，求函数yg（x）的图象在点P（1，1）处的切线方程；（2）若不等式2f（x）g'（x）+2恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）根据单调减区间

25、得出a的值，再根据导数的几何意义求出切线方程；（2）分类参数得恒成立，求出右侧函数的最大值即可得出a的范围【解答】解：（1）g'（x）3x2+2ax1，由题意，知3x2+2ax10的解集是，即方程3x2+2ax10的两根分别是将x1或代入方程3x2+2ax10，得a1，g（x）x3x2x+2，g'（x）3x22x1，g'（1）4，g（x）的图象在点P（1，1）处的切线斜率kg'（1）4，函数yg（x）的图象在点P（1，1）处的切线方程为：y14（x+1），即4xy+50；（2）2f（x）g'（x）+2恒成立，即2xlnx3x2+2ax+1对一切x（0，+）恒成立，整理可得对一切x（0，+）恒成立，设，则，令h'（x）0，得（舍），当0x1时，h'（x）0，h（x）单调递增；当x1时，h'（x）0，h（x）单调递减，当x1时，h（x）取得最大值h（1）2，a2故实数a的取值范围是2，+）【点评】本题考查了导数的几何意义，函数最值与恒成立问题，属于中档题