2017-2018学年陕西省安康市高二（上）期末数学试卷（理科）含详细解答

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1、2017-2018学年陕西省安康市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知a1，集合，Bx|x23x+20，则下列集合为空集的是（）AABBR（AB）C（RA）BDA（RB）2（5分）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若l，m，则lmB若l，m，则lmC若l，lm，则mD若lm，m，则l3（5分）若x，y满足约束条件，则z4x+8y的最大值为（）A16B20C24D284（5分）已知命题p1：xR，2x2x0；p2：xR，2x+2x2，则在命题q1：p1p2，

2、q2：（p1）（p2），q3：（p1）p2和q4：p1（p2）中，真命题是（）Aq1，q3Bq2，q4Cq1，q4Dq2，q35（5分）过点F（0，3），且与直线y3相切的动圆圆心的轨迹方程为（）Ax212yBx212yCy212xDy212x6（5分）设，c满足不等式，则（）AabcBacbCbacDcab7（5分）已知Sn是等差数列an的前n项和，a24，S420，若a1，ak，Sk+2成等比数列，则正整数k（）A3B4C5D68（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A4B6C12D249（5分）执行如图所示程序框图，若输入的n16，则输出的S（）ABC2D10

3、（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，且PF2F160，则PF1F2的面积为（）ABCD11（5分）在l和l7之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当取最小值时，n（）A4B5C6D712（5分）已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点，若|FA|3，|FB|1，则p（）A1BCD3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）已知非零向量满足，则与的夹角为   14（5分）已知ABC的内角A，B，C满足，则角C   15（5分）已知P是椭圆上异于点A（a

4、，0），B（a，0）的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为   16（5分）已知数列an的前n项和为Sn，则S2018的值为   三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知双曲线的离心率为，抛物线D：y22px（p0）的焦点为F，准线为l，l交C的两条渐近线于M，N两点，MFN的面积为12（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）求抛物线D的方程18（12分）某高校自主招生一次面试成绩的茎叶图如图1和频率分布直方图如图2均受到了不同程度的损坏，其可见部分信息如下，据此解答下列问题：（1）求参加此次高校自主招生面试

5、的总人数n，面试成绩的中位数及分数在80，90）内的人数；（2）若从面试成绩在80，100）内的学生中任选两人进行随机复查，求恰好有一人分数在90，100）内的概率19（12分）如图，三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BC2，E是AC的中点（1）若F是AD的中点，证明：平面BEF平面ABC；（2）若AF2FD，求平面BEF与平面BCD所成锐二面角的大小20（12分）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，且（1）若，求sinC的值；（2）若a2，求ABC面积的最大值21（12分）已知数列bn与等差数列an满足：，且a12，b364b2（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设

6、，nN*，求数列cn的前n项和Tn22（12分）已知椭圆的离心率为，点在C上（1）求椭圆C的方程；（2）设A，B，P三点均在椭圆C上，O为坐标原点，证明：四边形OAPB的面积为定值2017-2018学年陕西省安康市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知a1，集合，Bx|x23x+20，则下列集合为空集的是（）AABBR（AB）C（RA）BDA（RB）【分析】化简集合A、B，再根据集合的定义判断即可【解答】解：a1时，a+（a1）+12+13，当且仅当a2时取“”；集合

7、x|0x3，Bx|x23x+20x|x1或x2，ABR，R（AB）故选：B【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2（5分）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若l，m，则lmB若l，m，则lmC若l，lm，则mD若lm，m，则l【分析】分别根据线面平行和线面垂直的性质和定义进行判断即可【解答】解：A根据线面平行的性质可知，若l，m，则lm或者l与m是异面直线，所以A错误B平行于同一个平面的两条直线，可能平行，可能相交，可能是异面直线，所以B错误C根据线面垂直和直线平行的性质可知，若l，lm，则m，所以C正确D根据线面垂直的判定定理可知，要使直线l，则必须有l

8、垂直平面内的两条直线，所以D错误故选：C【点评】本题主要考查线面平行和线面垂直的位置关系的判断和应用，要求熟练掌握相应的定义和判断定理3（5分）若x，y满足约束条件，则z4x+8y的最大值为（）A16B20C24D28【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，A（2，2），化目标函数z4x+8y为yx+，由图可知，当直线yx+过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为42+2824故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题4（5

9、分）已知命题p1：xR，2x2x0；p2：xR，2x+2x2，则在命题q1：p1p2，q2：（p1）（p2），q3：（p1）p2和q4：p1（p2）中，真命题是（）Aq1，q3Bq2，q4Cq1，q4Dq2，q3【分析】利用函数判断命题的真假；用真值表判断复合命题的真假【解答】解：根据题意得，p1：真；p2：假q1：假；q2：真；q3：假；q4：真故选：B【点评】本题考查简单命题的真假判断；真值表的用法；函数的零点和单调性5（5分）过点F（0，3），且与直线y3相切的动圆圆心的轨迹方程为（）Ax212yBx212yCy212xDy212x【分析】由已知条件可知：动圆圆心符合抛物线的定义，进而可

10、求出【解答】解：由已知条件：过点F（0，3），且和直线y3相切的动圆圆心轨迹是以点F（0，3）为焦点，直线y3为准线的抛物线，故其方程为x212y故选：B【点评】本题考查轨迹方程的求法，掌握抛物线的定义与性质是解题的关键6（5分）设，c满足不等式，则（）AabcBacbCbacDcab【分析】分别利用有理指数幂与对数的运算性质半径a，b，与1的大小，再求解对数不等式得到c的范围得答案【解答】解：，1由，得log2c2，即0cabc故选：A【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题7（5分）已知Sn是等差数列an的前n项和，a24，S420，若a1，ak，Sk+2成等比数列，

11、则正整数k（）A3B4C5D6【分析】设等差数列的公差为d，运用等差数列通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等比数列中项性质，解方程可得k的值【解答】解：设等差数列an的公差为d，a24，S420，可得a1+d4，4a1+6d20，解得a1d2，则an2+2（n1）2n，a1，ak，Sk+2成等比数列，可得a1Sk+2ak2，即2（k+2）（2+2k+4）4k2，解得k6，故选：D【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题8（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A4B6C12D24【分析】由

12、三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，侧棱PA底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA2，ABAD1，然后利用补形法求其外接球的半径，代入表面积公式得答案【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，侧棱PA底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA2，ABAD1把该四棱锥补形为长方体，则长方体的对角线长为该四棱锥外接球的半径为，外接球的表面积为故选：B【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题9（5分）执行如图所示程序框图，若输入的n16，则输出的S（）ABC2D【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程

13、序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，其中，S+，由于：（），所以：S+（）+（）+（）（71）2故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题10（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，且PF2F160，则PF1F2的面积为（）ABCD【分析】由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos60，由双曲线定义得：|PF1|PF2|2，由此推导出|PF1|PF2|60，从而能求出P

14、F1F2的面积【解答】解：F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，F1（4，0），F2（4，0），P是双曲线右支上一点，且PF2F160，|F1F2|2|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos60，64|PF1|2+|PF2|2|PF1|PF2|，由双曲线定义得：|PF1|PF2|2，|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|4，联立，得：|PF1|PF2|60，PF1F2的面积：S|PF1|PF2|sin6015故选：B【点评】本题考查三有形面积的求法，考查双曲线的性质、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题11（5分）在l和l7之间插入n个数，使这n

15、+2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当取最小值时，n（）A4B5C6D7【分析】利用等差数列的性质可得a+b18，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：由已知得a+b18，则+（+）（25+1+）（26+10）2，当且仅当b5a时取等号，此时a3，b15，可得n7故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题12（5分）已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点，若|FA|3，|FB|1，则p（）A1BCD3【分析】求出焦点坐标，设出直线方程，利用直线与抛物线方程联立，利用弦长

16、公式，转化求解即可【解答】解：由题意可知抛物线的焦点坐标（，0），如图：AM，BN，垂直抛物线的准线，BHAM于M，|FA|3，|FB|1，可得AH2，所以BH2，k，直线l方程为：y（x），代入抛物线方程可得：3x25px+0，x1+x2，|FA|3，|FB|1，可得|AB|4x1+x2+p+p，解得p故选：C【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）已知非零向量满足，则与的夹角为120【分析】设与的夹角为，（0，180），由题意根据两个向量数量积的定义，求向量的模的方法，求得cos的值，可得的值【解答】解：设与的夹

17、角为，（0，180），非零向量满足，即 2cos+3，求得cos，120，故答案为：120【点评】本题主要考查两个向量数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题14（5分）已知ABC的内角A，B，C满足，则角C135【分析】由正弦定理及已知可得：c2b2ab，ba，解得：ca，由余弦定理可求cosC，结合范围C（0，180），可求C的值【解答】解：，由正弦定理可得：c2b2ab，ba，解得：ca，由余弦定理可得：cosC，C（0，180），C135故答案为：135【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题15（5分）已知P是椭圆上异于点A（

18、a，0），B（a，0）的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为【分析】利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查双曲线的方程，即可确定a，b的关系，从而通过双曲线的离心率，求解即可【解答】解：设P（x，y），点A（a，0），B（a，0），椭圆，y2椭圆的离心率为，则，所以，点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为：，故答案为：【点评】本题考查斜率的计算，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题16（5分）已知数列an的前n项和为Sn，则S2018的值为2018【分析】由已知可得：当n2时，an+an1，进而利用分组求和法，可得答案【解答】解：数列an的

19、前n项和为Sn，当n1时，a11，当n2时，得：an+an1，故S201822018，故答案为：2018【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式，分组求和法，难度不大，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知双曲线的离心率为，抛物线D：y22px（p0）的焦点为F，准线为l，l交C的两条渐近线于M，N两点，MFN的面积为12（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）求抛物线D的方程【分析】（1）利用双曲线的标准方程，然后求解渐近线方程即可（2）利用渐近线方程求出M、N坐标，通过三角形的面积转化求解抛物线方程即可【解答】解：（1），即

20、，C的渐近线方程为y3x（2）由已知得，代入渐近线方程得，|MN|3p，解得，D的方程为【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，考查计算能力18（12分）某高校自主招生一次面试成绩的茎叶图如图1和频率分布直方图如图2均受到了不同程度的损坏，其可见部分信息如下，据此解答下列问题：（1）求参加此次高校自主招生面试的总人数n，面试成绩的中位数及分数在80，90）内的人数；（2）若从面试成绩在80，100）内的学生中任选两人进行随机复查，求恰好有一人分数在90，100）内的概率【分析】（1）面试成绩在50，60）内的频数为2，由此能求出n20由茎叶图能求出面试成绩

21、的中位数由频率分布直方图可以看出，分数在90，100）内有2人，由此能求出分数在80，90）内的人数（2）将80，90）内的4人编号为a，b，c，d，90，100）内的2人编号为A，B，在80，100）内任取两人，利用列举法能法语出恰好有一人分数在90，100）内的概率【解答】解：（1）面试成绩在50，60）内的频数为2，由，得n20由茎叶图可知面试成绩的中位数为由频率分布直方图可以看出，分数在90，100）内有2人，故分数在80，90）内的人数为20（2+5+7+2）4（2）将80，90）内的4人编号为a，b，c，d，90，100）内的2人编号为A，B，在80，100）内任取两人的基本事件为

22、：ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB，共15个，其中恰好有一人分数在90，100）内的基本事件为：aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，共8个，恰好有一人分数在90，100）内的概率为【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查总体单元数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、茎叶图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题19（12分）如图，三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BC2，E是AC的中点（1）若F是AD的中点，证明：平面BEF平面ABC；（2）若AF2FD，求平面BEF与平面BCD

23、所成锐二面角的大小【分析】（1）证明ABCD，结合BCCD，求出CD平面ABC通过EFCD，证明EF平面ABC然后推出平面BEF平面ABC（2）建立如图所示空间直角坐标系Cxyz，求出平面BEF的一个法向量，平面BCD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解，平面BEF与平面BCD所成的锐二面角即可【解答】（1）证明：AB平面BCD，ABCD，又BCCD，BCABB，CD平面ABCE、F分别是AC、AD的中点，EFCD，EF平面ABC又EF平面BEF，平面BEF平面ABC（2）解：建立如图所示空间直角坐标系Cxyz，则B（2，0，0），设平面BEF的一个法向量为，则，取平面BCD的一个法向量，平

24、面BEF与平面BCD所成的锐二面角为45【点评】本题考查直线与平面以及平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，且（1）若，求sinC的值；（2）若a2，求ABC面积的最大值【分析】（1）根据题意，将变形可得2sin2A+5sinA30，解可得sinA的值，进而可得cosA、sinB的值，由正弦的和角公式分析可得答案；（2）根据题意，由余弦定理分析可得a24b2+c22bccosA，结合基本不等式分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，若，则有2cos2A5sinA1，即2sin2A+5sin

25、A30，解可得，显然cosA0，（2）由余弦定理得a24b2+c22bccosA，当且仅当时取等号，ABC面积的最大值为【点评】本题考查解三角形，涉及余弦定理以及和差公式的应用，属于综合题21（12分）已知数列bn与等差数列an满足：，且a12，b364b2（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设，nN*，求数列cn的前n项和Tn【分析】（1）利用数列的递推关系式，转化求解数列的公差，然后利用等差数列求和即可（2）利用错位相减法求解数列的和，求解即可【解答】解：（1）由已知得a1+a2+a3log2b3，a1+a2log2b2，设an的公差为d，则a3a1+2d2+2d6，d2，an2+（n

26、1）22na1+a2+a3+anlog2bn，（2），两式相减得，【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列的求和，考查计算能力22（12分）已知椭圆的离心率为，点在C上（1）求椭圆C的方程；（2）设A，B，P三点均在椭圆C上，O为坐标原点，证明：四边形OAPB的面积为定值【分析】（1）利用离心率以及点在C上，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（2）当ABx轴时，AB方程为x1，此时SOAPB3当AB与x轴不垂直时，设AB：ykx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）将AB代入C方程整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120，利用韦达定理以及距离公式，通过三角形的面积，推出四边形OAPB的面积为定值【解答】解：（1）由已知可得，a2b2+c2，联立解得c1，a2，椭圆C的方程为（2）证明：当ABx轴时，AB方程为x1，此时SOAPB3当AB与x轴不垂直时，设AB：ykx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）将AB代入C方程整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120，（x1+x2，y1+y2），将代入C方程整理得4m23+4k2，原点O到直线AB的距离，SOAPBd|AB|3四边形OAPB的面积为定值3【点评】本题考查椭圆的简单性质与题意方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力