2017-2018学年陕西省西安市雁塔区高新一中高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答
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1、2017-2018学年陕西省西安市雁塔区高新一中高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题绐出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)1(3分)复效z满足,i为虚数单位,则为()ABCD2(3分)下列结论中正确的是()A若直线l与平面a内无数条直线平行,则l一定与a平行B若直线l写平面垂直,则l一定垂直于直于内意一条直线C若平面与平面均垂直于平面,则一定平行于D空间中,经过三点一定可以确定一个平面3(3分)由抛物线yx2与直线y2x围成的封闭图形的面积为()A8BCD44(3分)已如直线2x+my80与圆C:(xm)2+y24相交于A、B两点,
2、且ABC为等腰直角形,则m()A2或14B2C14D15(3分)直三棱柱ABCA1B1C1中,若BAC90,ABACAA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30B45C60D906(3分)已知R上的可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x22x3)f(x)0的解集为()A(,2)(1,+)B(,2)(1,2)C(,1)(1,1)(3,+)D(,1)(1,0)(2,+)7(3分)对任意复数zx+yi(x,yR),i为虚数单位,则下列结论正确的是()A|z|2yBz2x2+y2C|z|2xD|z|x|+|y|8(3分)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)x33x2+2x和yx
3、2+a都相切,则a的值是()A1BC1或D1或9(3分)如果函数f(x)xsin2x+asinx在区间0,上递增,则实数a的取值范围是()A1,B1,1C,+)D,+)10(3分)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为棱A1B1中点,点Q在侧面DCC1D1内运动,若PBQPBD,则动点Q的轨迹所在曲线为()A圆B椭圆C双曲线D抛物线二、填空题:(共大题共4小题,每小题4分,共16分)11(4分)已知两直线l1:(m+2)x+(m+3)y50,l2:6x+(2m1)y5,若l1l1,则实数m等于 12(4分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 13(4分)已知双
4、曲线的左右焦点分别为F1、F2,若双曲线上存在点A,使F1AF290,且|AF1|3|AF2|,则双曲线的离心率为 14(4分)如图所示,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,AC1,AB3,BC,则该三棱锥外接球的表面积为 三、解答题(本大题共4小题,共54分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(8分)如图,PCBM是直角梯形,PCB90,PMBCPM1,BC2,又AC1,ACB120,ABPC,直线AM与直线PC所成的角为60(1)求证:平面PAC平面ABC;(2)求三棱锥PMAC的体积16(12分)如图,在几何体ABCDEF中,平面ADE平面ABCD,四边形ABCD为菱形,且DAB
5、60,EAEDAB2EF,EFAB,M为BC中点(1)求证:FM平面BDE;(2)求二面角DBFC的平面角的正弦值17(12分)椭圆C:的长轴是短轴的两倍,点在椭圆上不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点,设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2,且k1、k、k2恰好构成等比数列,记ABO的面积为S(1)求椭圆C的方程(2)试判断|OA|2+|OB|2是否为定值?若是,求出这个值;若不是,请说明理由?(3)求S的最大值18(12分)已知函数f(x)lnx+() 若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;() 证明:当a,b1时,f(lnb)请考生在19、20两题中任选一题极坐标与参数方程
6、19(10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0,),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的圆心C的极坐标为(2,),半径为2,直线l与圆C相交于M,N两点(I)求圆C的极坐标方程;()求当变化时,弦长|MN|的取值范围不等式选讲20已知函数f(x)|a3x|2+x|;(1)若a2,解不等式f(x)3;(2)若关于x的不等式f(x)1a+2|2+x|有实数解,求实数a的取值范围六、附加题21设点P(x1,y2)在椭圆上,点Q(x2,y2)在直线x+2y80上,求:|x1x2|+|y1y2|最小值22已知、均为锐角,满足sin2+sin2sin(+)
7、,求+的值2017-2018学年陕西省西安市雁塔区高新一中高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题绐出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)1(3分)复效z满足,i为虚数单位,则为()ABCD【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解:由,得z(zi)izi+1,z,故选:B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题2(3分)下列结论中正确的是()A若直线l与平面a内无数条直线平行,则l一定与a平行B若直线l写平面垂直,则l一定垂直于直于内意一条直线C若平面与平面均垂直
8、于平面,则一定平行于D空间中,经过三点一定可以确定一个平面【分析】运用线面平行的判定即可判断A;由线面垂直的性质可判断B;运用面面平行和垂直的判定定理,即可判断C;运用公理三,即可判断D【解答】解:对于A,直线l与平面a内无数条直线平行,则l不一定与a平行,可能直线l在平面a内;对于B,若直线l与平面垂直,则l一定垂直于直于内任意一条直线,正确;对于C,若平面与平面均垂直于平面,则不一定平行于,比如墙角,和相交;对于D,空间中,经过不共线的三点一定可以确定一个平面,则D不正确故选:B【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系的判断,注意运用线面平行和垂直的判断和性质,考查空间想象能力和推理能力,
9、属于基础题3(3分)由抛物线yx2与直线y2x围成的封闭图形的面积为()A8BCD4【分析】先求曲线的交点的坐标,确定积分区间,再用定积分表示面积即可得到结论【解答】解:由,可得交点的坐标为(0,0),A(2,4),所求的封闭图形的面积为S(x2)4,故选:C【点评】本题考查定积分的运用,解题的关键是确定积分区间与被积函数4(3分)已如直线2x+my80与圆C:(xm)2+y24相交于A、B两点,且ABC为等腰直角形,则m()A2或14B2C14D1【分析】由题意知ABC为等腰直角三角形,则圆心C到直线2x+my80的距离为drsin45,列方程求得m的值【解答】解:由题意得ABC为等腰直角三
10、角形,圆心C(m,0)到直线2x+my80的距离drsin45,即,整理得m216m+280,解得m2或14故选:A【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题,是基础题5(3分)直三棱柱ABCA1B1C1中,若BAC90,ABACAA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30B45C60D90【分析】延长CA到D,根据异面直线所成角的定义可知DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,而三角形A1DB为等边三角形,可求得此角【解答】解:延长CA到D,使得ADAC,则ADA1C1为平行四边形,DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角,又A1DA1BDBAB,则三角形A1DB为等边三角形,
11、DA1B60故选:C【点评】本小题主要考查直三棱柱ABCA1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法,考查转化思想,属于基础题6(3分)已知R上的可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x22x3)f(x)0的解集为()A(,2)(1,+)B(,2)(1,2)C(,1)(1,1)(3,+)D(,1)(1,0)(2,+)【分析】结合已知中可导函数f(x)的图象,分析不同区间上(x22x3)和f(x)的符号,进而可得答案【解答】解:由已知中函数f(x)的图象可得:当x1时,函数为增函数,此时f(x)0,x22x30,(x22x3)f(x)0;当1x1时,函数为减函数,此时f(x)
12、0,x22x30,(x22x3)f(x)0;当x1时,函数为增函数,此时f(x)0;当1x3时,x22x30,(x22x3)f(x)0,当x3时,x22x30,(x22x3)f(x)0;综上可得:不等式(x22x3)f(x)0的解集为(,1)(1,1)(3,+),故选:C【点评】本题考查的知识点是函数的图象,利用导数研究函数的单调性,数形结合思想,分类讨论思想,难度中档7(3分)对任意复数zx+yi(x,yR),i为虚数单位,则下列结论正确的是()A|z|2yBz2x2+y2C|z|2xD|z|x|+|y|【分析】根据|z|2yi|2|y|,可得 A、C不正确,根据z2 x2y22xyi,可得
13、B不正确,由|z| 可得D正确【解答】解:由于复数zx+yi(x,yR),i为虚数单位,|z|2yi|2|y|,故(A)错误由z2 x2y2+2xyi,故(B)错误由|z|2|y|,不一定大于或等于2x,故(C)错误由|z|x|+|y|,故(D)正确故选:D【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法,虚数单位i的幂运算性质,复数的模的定义,准确理解复数的模的定义,是解题的关键,属于基础题8(3分)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)x33x2+2x和yx2+a都相切,则a的值是()A1BC1或D1或【分析】设切点为(x0,y0),则y0x033x02+2x0,一方面利用两点斜率公式表示切线
14、斜率k,另一方面,根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率,便可建立关于x0的方程继而得出k的值,即可求l的方程再根据与yx2+a相切,联立方程组,0可求出所求【解答】解:设直线l:ykxy3x26x+2,y|x02,又直线与曲线均过原点,于是直线ykx与曲线yx33x2+2相切于原点时,k2直线l的方程为2xy0若直线与曲线f(x)x33x2+2x切于点(x0,y0)(x00),则k,y0x033x02+2x0,x023x0+2,又ky|_xx03x026x0+2,x023x0+23x026x0+2,2x023x00,x00,x0,kx023x0+2,直线l的方程为x+4y0直线l的方
15、程为2xy0与yx2+a联立,可得x22x+a0,其中0,即(2)24a0,解得a1;直线l的方程为x+4y0与yx2+a联立,可得x2+x+a0,其中0,即()24a0,解得a故选:C【点评】本题主要考查了导数的几何意义,以及利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会根据一点坐标和斜率写出直线的方程,是一道综合题9(3分)如果函数f(x)xsin2x+asinx在区间0,上递增,则实数a的取值范围是()A1,B1,1C,+)D,+)【分析】由求导公式和法则求出f(x),由题意可得f(x)0在区间0,上恒成立,设tcosx(0t1),化简得54t2+3at0,对t分t0、0t1讨论,分离出参数a
16、,运用函数的单调性求出最值,由恒成立求出实数a的取值范围【解答】解:由题意得,f(x)1cos2x+acosx,函数f(x)xsin2x+asinx在区间0,上递增,函数f(x)0在区间0,上恒成立,则1cos2x+acosx0,即cos2x+acosx0,设tcosx(0t1),即有54t2+3at0,当t0时,不等式显然成立;当0t1时,3a4t,y4t在(0,1递增,t1时,取得最大值1,即3a1,解得a,综上可得a的范围是)故选:C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,不等式恒成立问题的转化,注意运用参数分离和换元法,考查函数的单调性的运用,属于中档题10(3分)如图,在棱长为1
17、的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为棱A1B1中点,点Q在侧面DCC1D1内运动,若PBQPBD,则动点Q的轨迹所在曲线为()A圆B椭圆C双曲线D抛物线【分析】先确定PBQ是定值,利用平面DCC1D1BP,可得动点Q的轨迹所在曲线为双曲线【解答】解:PBQPBD,PBQ是定值,平面DCC1D1BP,动点Q的轨迹所在曲线为双曲线,故选:C【点评】本题考查立体几何中的轨迹问题,考查考查圆锥曲线的定义,比较基础二、填空题:(共大题共4小题,每小题4分,共16分)11(4分)已知两直线l1:(m+2)x+(m+3)y50,l2:6x+(2m1)y5,若l1l1,则实数m等于【分析】利用直线与直线平
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