2017-2018学年陕西省西安市长安一中高二（上）期末数学试卷（文科）含详细解答

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1、2017-2018学年陕西省西安市长安一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（5分）命题“若，则tan1”的否命题是（）A若，则tan1B若，则tan1C若tan1，则D若tan1，则2（5分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A抽签法B系统抽样法C分层抽样法D随机数法3（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）ABCD4（5分）设f（x）xlnx，若f（x0）2，则x0等于（

2、）Ae2BeCDln25（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）Ax1，x2，xn的平均数Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位数6（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A3，5B5，5C3，7D5，77（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万

3、人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳8（5分）根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.52.03.0得到了回归方程x+，则（）A0，0B0，0C0，0D0，09（5分）“a1”是“函数ycos2axsin2ax的最小正周期为”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10（5分）如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，则下面判断正确的是（）A在区间（2，1）内f

4、（x）是增函数B在（1，3）内f（x）是减函数C在（4，5）内f（x）是增函数D在x2时f（x）取到极小值11（5分）已知命题p：xR，exx+1；命题q：若a2b2，则ab下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq12（5分）已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）ABCD13（5分）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随

5、机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A0.852B0.8192C0.75D0.814（5分）若函数f（x）满足f（x）f（x）2xex（e为自然对数的底数），f（0）1，其中f（x）为f（x）的导函数，则当x0时，的取值范围是（）A（，2B（0，2C（1，2D（2，3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题纸相应的位置）.15（5分）记函数f（x）定义域为D在

6、区间4，5上随机取一个数x，则xD的概率是   16（5分）若函数f（x）x3+x2+2ax在，+）上存在单调递增区间，则a的取值范围是   17（5分）设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|   18（5分）已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是   三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游（）若从这6个国家中任选

7、2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率20（12分）已知函数f（x）alnxbx2，若函数f（x）的图象在x1处与直线y相切（）求实数a，b的值；（）求函数f（x）在，e上的最大值21（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20，30），30，40），80，90，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中

8、分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例22（12分）设椭圆+1（a）的右焦点为F，右顶点为A，已知+，其中O为原点，e为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率23（12分）已知函数f（x）xlnx，g（x）x2+ax3（）对任意x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（）证明：对任意x（0，+），都有lnx恒成立2017-2018学年陕西省

9、西安市长安一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（5分）命题“若，则tan1”的否命题是（）A若，则tan1B若，则tan1C若tan1，则D若tan1，则【分析】根据否命题的定义进行判断即可【解答】解：同时否定条件和结论即可得命题的否命题，即若，则tan1，故选：A【点评】本题主要考查四种命题的关系，结合否命题的定义是解决本题的关键比较基础2（5分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查

10、，则最合理的抽样方法是（）A抽签法B系统抽样法C分层抽样法D随机数法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，为了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，用分层抽样法比较合理故选：C【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题3（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）ABCD【分析】由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离【解答】解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，则顶点到渐近线

11、的距离d故选：C【点评】熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键4（5分）设f（x）xlnx，若f（x0）2，则x0等于（）Ae2BeCDln2【分析】求函数的导数，解导数方程即可【解答】解：f（x）xlnx，f（x）lnx+1，由f（x0）2，得lnx0+12，即lnx01，则x0e，故选：B【点评】本题主要考查导数的计算，比较基础5（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）Ax1，x2，xn的平均数Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn

12、的最大值Dx1，x2，xn的中位数【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度故选：B【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要

13、认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用6（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A3，5B5，5C3，7D5，7【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得x，y的值【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y5，则乙组数据的平均数为：66，故x3，故选：A【点评】本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，难度不大，属于基础题7（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至201

14、6年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1

15、月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；故选：A【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题8（5分）根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.52.03.0得到了回归方程x+，则（）A0，0B0，0C0，0D0，0【分析】利用公式求出b，a，即可得出结论【解答】解：样本平均数5.5，0.25，24.5，17.5，b1.4，a0.25（1.4）5.57.95，故选：A【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题9（5分）“a1”是“函数ycos2axsin2ax的最小正周期为”的（）A充分

16、不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】化简ycos2axsin2ax，利用最小正周期为，求出a，即可判断选项【解答】解：函数ycos2axsin2axcos2ax，它的周期是，a1显然“a1”可得“函数ycos2axsin2ax的最小正周期为”后者推不出前者，故选：A【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题10（5分）如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，则下面判断正确的是（）A在区间（2，1）内f（x）是增函数B在（1，3）内f（x）是减函数C在（4，5）内f（x）是增函数D在x2时f（x）取到极小值【分析】根

17、据函数单调性，极值和导数之间的关系进行判断【解答】解：由图象知当x2或x4时，f（x）0，函数为增函数，当3x或2x4时，f（x）0，函数为减函数，则当x或x4函数取得极小值，在x2时函数取得极大值，故ABD错误，正确的是C，故选：C【点评】本题主要考查函数单调性极值和导数的关系，根据图象确定函数的单调性是解决本题的关键11（5分）已知命题p：xR，exx+1；命题q：若a2b2，则ab下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq【分析】判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可【解答】解：当x0时，exx+1成立，即命题p是真命题，当a0，b1时，满足a2b2，但ab不成立，

18、即命题q是假命题则pq为真命题，其余为假命题故选：B【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键12（5分）已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）ABCD【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c2，求解a，b，然后等到双曲线的方程【解答】解：双曲线1（a0，b0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c2，即，解得a1，b，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的

19、应用，考查计算能力13（5分）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A0.852B0.8192C0.75D0.8【分析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20

20、组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果【解答】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 46986233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，所求概率为0.75故选：C【点评】本题考查模拟方法估计概率、随机数的含义与应用，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用14（5分）若函数f（x）满足f（x）f（

21、x）2xex（e为自然对数的底数），f（0）1，其中f（x）为f（x）的导函数，则当x0时，的取值范围是（）A（，2B（0，2C（1，2D（2，3【分析】利用函数f（x）满足f（x）f（x）2xex，f（0）1，求出f（x），再代入利用基本不等式即可得出结论【解答】解：由题意，（）2x，x2+b，f（x）（x2+b）ex，f（0）1，b1，f（x）（x2+1）ex，f（x）（x+1）2ex，当x0时，1+2，当且仅当x1时取等号，当x0时，的最大值为2，x+时，1+1，故12，故选：C【点评】本题考查导数知识的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，确定f（x）是关键二、填空题（本大题共4小

22、题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题纸相应的位置）.15（5分）记函数f（x）定义域为D在区间4，5上随机取一个数x，则xD的概率是【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可【解答】解：由6+xx20得x2x60，得2x3，则D2，3，则在区间4，5上随机取一个数x，则xD的概率P，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键16（5分）若函数f（x）x3+x2+2ax在，+）上存在单调递增区间，则a的取值范围是【分析】求出函数的导数，利用导函数值大于0，转化为a的表达式，求出最值即可得到a

23、的范围【解答】解：函数f（x）x3+x2+2ax，f（x）x2+x+2a（x）2+2a当x，+）时，f（x）的最大值为f（）2a+，令2a+0，解得a，所以a的取值范围是故答案为：【点评】本题考查函数的导数的应用，考查计算能力17（5分）设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|12【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和，代入抛物线过焦点的弦长公式得答案【解答】解：由y23x，得2p3，p，则F（，0），过A，B的直线

24、方程为y（x），联立，得16x2168x+90设A（x1，y1），B（x2，y2），则，|AB|故答案为：12【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题18（5分）已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k的范围，再根据ktan，结合正切函数的图象求出角的范围【解答】解：根据题意得f（x），且k0则曲线yf（x）上切点处的切线的斜率k1

25、，又ktan，结合正切函数的图象由图可得，故答案为：【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游（）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率【分析】（）从这6个国家中任选2个，基本事件总数n15，这2个国家都是亚洲国家

26、包含的基本事件个数m，由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率（）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，利用列举法能求出这2个国家包括A1但不包括B1的概率【解答】解：（）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游从这6个国家中任选2个，基本事件总数n15，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m，这2个国家都是亚洲国家的概率P（）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），这2

27、个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有：（A1，B2），（A1，B3），共2个，这2个国家包括A1但不包括B1的概率P【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列、组合、列举举等知识点，考查运算求解能力，考查集合思想，是基础题20（12分）已知函数f（x）alnxbx2，若函数f（x）的图象在x1处与直线y相切（）求实数a，b的值；（）求函数f（x）在，e上的最大值【分析】（）求出原函数的导函数，得到f（1），由f（1）0且f（1），列方程组求得实数a，b的值；（）由（）求得函数f（x）的解析式，然后利用导数求函数在，e上的最大值【解答】解：（）由f（x）alnxbx2，得f（x）2b

28、x，f（1）a2b，则，解得a1，b；（）由（）知，f（x）lnxx2f（x）x（x0）当x（，1）时，f（x）0，当x（1，e）时，f（x）0f（x）在（，1）上为增函数，在（1，e）上为减函数，则f（x）maxf（1）【点评】本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题21（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20，30），30，40），80，90，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于7

29、0的概率；（）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例【分析】（）根据频率组距高，可得分数小于70的概率为：1（0.04+0.02）10；（）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间40，50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等进而得到答案【解答】解：（）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1（0.04+0.02）100.4故从总

30、体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间40，50）内的频率为：1（0.04+0.02+0.02+0.01）100.050.05，估计总体中分数在区间40，50）内的人数为4000.0520人，（）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，

31、用样本估计总体，难度不大，属于基础题22（12分）设椭圆+1（a）的右焦点为F，右顶点为A，已知+，其中O为原点，e为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；（2）由已知设直线l的方程为yk（x2），（k0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BFHF，得，整理

32、得到M的坐标与k的关系，由MOAMAO，得到x01，转化为关于k的等式求得k的值【解答】解：（1）由+，得+，即，aa2（a23）3a（a23），解得a2椭圆方程为；（2）由已知设直线l的方程为yk（x2），（k0），设B（x1，y1），M（x0，k（x02），MOAMAO，x01，再设H（0，yH），联立，得（3+4k2）x216k2x+16k2120（16k2）24（3+4k2）（16k212）1440由根与系数的关系得，MH所在直线方程为yk（x02）（xx0），令x0，得yH（k+）x02k，BFHF，即1x1+y1yH1（k+）x02k0，整理得：1，即8k23k或k【点评】本题考查

33、椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题23（12分）已知函数f（x）xlnx，g（x）x2+ax3（）对任意x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（）证明：对任意x（0，+），都有lnx恒成立【分析】（）问题转化为a2ln x+x+，设h（x）2ln x+x+（x0），根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的范围即可；（）问题等价于xln x（x（0，+），根据函数的单调性证明即可【解答】（）解对一切x（0，+），有2xln xx2+ax3，则a2ln x+x+，设h（x）2ln x+x+（x0），则h（x），当x（0，1）时，h（x）0，h（x）是减少的，当x（1，+）时，h（x）0，h（x）是增加的，所以h（x）minh（1）4因为对一切x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，所以ah（x）min4（5分）（）证明：问题等价于xln x（x（0，+），f（x）xln x（x（0，+）的最小值是，当且仅当x时取到，设m（x）（x（0，+），则m（x），易知m（x）maxm（1），当且仅当x1时取到从而对一切x（0，+），都有ln x成立 （12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道中档题