2018-2019学年陕西省汉中市城固一中高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、2018-2019学年陕西省汉中市城固一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共13小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）不等式0的解集为（）A（1，+）B（，2）C（2，1）D（，2）（1，+）2（5分）已知ABC中，AB6，A30，B120，则ABC的面积为（）A9B18C9D93（5分）设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是（）AacbdBacbdCa+cb+dDa+db+c4（5分）已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A4B6C8D105（5分）若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则txy

2、的取值范围是（）A2，1B2，1C1，2D1，26（5分）等差数列an中，已知前15项的和S1590，则a8等于（）AB12CD67（5分）已知在ABC中，sinA：sinB：sinC3：5：7，那么这个三角形的最大角是（）A30B45C60D1208（5分）下列各式中最小值是2的是（）ABCtanx+cotxD2x+2x9（5分）在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（）Ab7，c3，C30Bb5，c14，B45Ca6，b6，B60Da20，b30，A3010（5分）已知等比数列an 的前n项和为Sn，若S41，S84，则a13+a14+a15+a16（）A7B16C27D6411

3、（5分）在ABC中，若，则ABC的形状是（）A直角三角形B等腰或直角三角形C等腰三角形D不能确定12等比数列an中，a11，q2，则Tn+的结果可化为（）A1B1C（1）D（1）13（5分）已知函数f（n）且anf（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+a100等于（）A0B100C100D10200二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上.14（5分）ABC中，cosA，sinB，则cosC的值为   15（5分）不等式ax2+bx+20的解集是，则ab的值等于   16（5分）若数列an满足d（nN*，d为常数），别称数列an为调和数

4、列，已知数列为调和数列且x1+x2+x20200，则x5+x16   17（5分）若不等式（m+1）x2（m1）x+3（m1）0的解集为实数集R，则实数m的取值范围为   三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（解答题共70分，第17题10分，其余各题均为12分）18（10分）求不等式x22ax3a20的解集19（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且an+Snn（1）设cnan1，求证：cn是等比数列；（2）求数列an的通项公式20（12分）在ABC中，a、b是方程x22+20的两根，且2cos（A+B）1（1）求角C的度数；（2）求c；（3）求ABC的面积

5、21（12分）为了更好地掌握有关飓风的数据资料，决定在海上的四岛A、B、C、D建立观测站，已知B在A正北方向15海里处，C在A的东偏北30方向，又在D的东北方向，D在A的正东方向，且BC相距21海里，求C、D两岛间的距离22（12分）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？23（12分）数列an中，a12，an+1an+cn（c是不为0的常数，nN*），且a1，a2，a3成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，求数列bn的前n项

6、和Tn2018-2019学年陕西省汉中市城固一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共13小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）不等式0的解集为（）A（1，+）B（，2）C（2，1）D（，2）（1，+）【分析】直接转化分式不等式为二次不等式求解即可【解答】解：不等式0等价于（x1）（x+2）0，所以表达式的解集为：x|2x1故选：C【点评】本题考查分式不等式的求法，考查转化思想计算能力2（5分）已知ABC中，AB6，A30，B120，则ABC的面积为（）A9B18C9D9【分析】利用三角形的内角和公式求得C30，可得ABC为等

7、腰三角形，故ABC的面积为 ，运算求得结果【解答】解：ABC中，AB6，A30，B120，C30故ABC为等腰三角形，故BC6，则ABC的面积为 9，故选：D【点评】本题考查三角形中的几何计算，是一道基础题3（5分）设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是（）AacbdBacbdCa+cb+dDa+db+c【分析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决【解答】解：ba，dc设b1，a2，d2，c3选项A，2312，不成立选项B，（2）3（1）2，不成立选项D，2+21+3，不成立故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题

8、4（5分）已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A4B6C8D10【分析】利用等差数列an的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2【解答】解：等差数列an的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，（a1+4）2a1（a1+6），a18，a26故选：B【点评】本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础5（5分）若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则txy的取值范围是（）A2，1B2，1C1，2D1，2【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，txy表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可

9、行域直线在y轴上的截距最值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得B（2，0），由，得A（0，1），当直线txy过点A（0，1）时，t最小，t最小是1，当直线txy过点B（2，0）时，t最大，t最大是2，则txy的取值范围是1，2故选：C【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题6（5分）等差数列an中，已知前15项的和S1590，则a8等于（）AB12CD6【分析】令等差数列的前n项和公式中的n15，化简后提取15整体代换得到关于a8的方程，求出即可【解答】解：因为S1515a1+d15（a1+7d）15a890，所以a86故选：D【点评】本题主要考查了等

10、差数列的前n项和公式及等差数列的通项公式，解题的关键是求出S15后提取15找出S15与a8的关系7（5分）已知在ABC中，sinA：sinB：sinC3：5：7，那么这个三角形的最大角是（）A30B45C60D120【分析】根据正弦定理化简已知的等式，得到三角形的三边之比，设出三角形的三边，利用余弦定理表示出cosC，把表示出的a，b及c代入即可求出cosC的值，由C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数，即为三角形最大角的度数【解答】解：设三角形的三边长分别为a，b及c，根据正弦定理化简已知的等式得：a：b：c3：5：7，设a3k，b5k，c7k，根据余弦定理得cosC，C（0，18

11、0），C120则这个三角形的最大角为120故选：D【点评】此题考查了正弦定理，以及余弦定理，遇到比例问题，往往根据比例设出线段的长度来解决问题，熟练掌握定理是解题的关键8（5分）下列各式中最小值是2的是（）ABCtanx+cotxD2x+2x【分析】基本不等式求最值需满足正，定，等，可以排除选项【解答】解：因为基本不等式求最值需满足正，定，等，A选项不能保证为正，B选项等价为+，取不到等号C选项tanx，cotx不能保证为正故选：D【点评】本题考查了基本不等式的条件，属于简单题9（5分）在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（）Ab7，c3，C30Bb5，c14，B45Ca6，b6，

12、B60Da20，b30，A30【分析】对于A，由正弦定理可得sinB1，此时三角形无解；对于B，由正弦定理可得sinC1，此时三角形无解；对于C，由等边三角形的定义知此时只有一解；对于D，由正弦定理可得sinB的值，结合ba知此时B有两解【解答】解：对于A，由正弦定理可得sinB1，此时三角形无解，不合题意；对于B，由正弦定理可得sinC1，此时三角形无解，不符合题意；对于C，由ab6，且B60，则此三角形为等边三角形，只有一解，符合题意；对于D，由正弦定理可得sinB，ba，A30，此时B有两解，不符合题意故选：C【点评】本题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理，熟练掌握

13、正弦定理是解本题的关键10（5分）已知等比数列an 的前n项和为Sn，若S41，S84，则a13+a14+a15+a16（）A7B16C27D64【分析】由给出的数列an是等比数列，则该数列的第一个四项和、第二个四项和、仍然构成等比数列，利用等比数列的通项公式求a13+a14+a15+a16的值【解答】解：因为数列an是等比数列，所以，该数列的第一个四项和，第二个四项和，第三个四项和，第四个四项和依然构成等比数列，则其公比q，所以，a13+a14+a15+a16故选：C【点评】本题考查了等比数列的性质，如果一个数列是等比数列，则该数列的第一个n项和，第二个n项和，依然构成等比数列，且公比为原等

14、比数列公比的n次方，此题是中档题11（5分）在ABC中，若，则ABC的形状是（）A直角三角形B等腰或直角三角形C等腰三角形D不能确定【分析】利用正弦定理、倍角公式、诱导公式即可得出【解答】解：，由正弦定理和商数关系可得，化为，sin2Asin2B，A、B（0，），2A、2B（0，2）2A2B或2A2B，化为AB或ABC是等腰或直角三角形故选：B【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题12等比数列an中，a11，q2，则Tn+的结果可化为（）A1B1C（1）D（1）【分析】由题设条件，利用等比数列的通项公式能够推导出anan+122n1，再由等比数列的前

15、n项和公式能求出结果【解答】解：等比数列an中，a11，q2，anan+122n1，Tn+故选：C【点评】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，解题时要注意等价转化思想的合理运用13（5分）已知函数f（n）且anf（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+a100等于（）A0B100C100D10200【分析】先求出通项公式an，然后两项一组，即可求解数列的前100项的和【解答】解：anf（n）+f（n+1）由已知条件知，即an（1）n（2n+1）an+an+12（n是奇数）a1+a2+a3+a100（a1+a2）+（a3+a4）+（a99+a100）2+2+2+2100故选：B

16、【点评】本题考查数列的通项公式的求法和前n项和的求法，须注意对通项公式和问题的灵活变形属简单题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上.14（5分）ABC中，cosA，sinB，则cosC的值为【分析】由cosA和sinB的值利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinA和cosB的值，然后把所求的式子利用诱导公式和两角和的余弦函数公式化简后，把sinA和cosB的值代入即可求出值【解答】解：sinA，由sinAsinB及正弦定理，大边对大角得到B为锐角，则cosB，则cosCcos（A+B）cos（A+B）cosAcosB+sinAsinB+，所以cosC故答

17、案为：【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及诱导公式化简求值，是一道中档题学生容易在求cosB时考虑不周全而得到两种情况导致出错15（5分）不等式ax2+bx+20的解集是，则ab的值等于10【分析】根据不等式的解集构造不等式，化简后于已知得不等式对比即可求出a与b的值，进而求出ab的值【解答】解：由不等式ax2+bx+20的解集是，构造不等式（x+）（x）0，整理得：6x2+x10，即12x22x+20，与ax2+bx+20对比得：a12，b2，则ab12+210故答案为：10【点评】此题考查学生理解不等式解集的意义，会根据解集构造不等式，是一道基础题16（5分）若数列an满

18、足d（nN*，d为常数），别称数列an为调和数列，已知数列为调和数列且x1+x2+x20200，则x5+x1620【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知xn是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案【解答】解：由题意知：数列为调和数列xn是等差数列 又x1+x2+x20200x1+x2020又x1+x20x5+x16x5+x1620故答案为20【点评】本题主要考查新数列定义，及等差数列的重要性质，属中档题型17（5分）若不等式（m+1）x2（m1）x+3（m1）0的解集为实数集R，则实数m的取值范围为m【分析】结合不等式恒成立，讨论m+10和不等于0时，利用判别式求出满足题

19、意的实数m的取值范围【解答】解：不等式（m+1）x2（m1）x+3（m1）0的解集为实数集R，当m1时，不等式化为2x60，解得x3，不满足题意；当m1时，则，即，可得，解得m，综上，实数m的取值范围是m，故答案为：m【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的恒成立问题，解题时应对字母系数进行讨论，是中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（解答题共70分，第17题10分，其余各题均为12分）18（10分）求不等式x22ax3a20的解集【分析】将所求不等式的左端因式分解后，对a分类讨论即可【解答】解：x22ax3a20（x3a）（x+a）03分当a0时，不等式的解集为：x|ax

20、3a；6分当a0时，不等式的解集为：x；9分当a0时，不等式的解集为：x|3axa；12分【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题19（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且an+Snn（1）设cnan1，求证：cn是等比数列；（2）求数列an的通项公式【分析】（1）通过an+Snn与an+1+Sn+1n+1作差、整理可知an+11（an1），进而可知数列cn是以为首项、为公比的等比数列；（2）通过（1）可知cnan1，进而可知an1【解答】（1）证明：an+Snn，an+1+Sn+1n+1，两式相减得：an+1an+an+11，整理得：an+11（an1），又cn

21、an1，cn+1cn，又a1+a11，即a1，c1a111，数列cn是以为首项、为公比的等比数列；（2）解：由（1）可知，cnan1，an1【点评】本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题20（12分）在ABC中，a、b是方程x22+20的两根，且2cos（A+B）1（1）求角C的度数；（2）求c；（3）求ABC的面积【分析】（1）利用三角形的内角和及诱导公式，即可求得结论；（2）利用韦达定理及余弦定理，可求c的值；（3）利用三角形的面积公式，可求面积【解答】解：（1）2cos（A+B）1，A+B+C180，2cos（180C）1，cos（180C）cosC，0C180，C60；（2

22、）a、b是方程x22+20的两根，a+b2，ab2由余弦定理可知cosC，c；（3）SABCabsinC【点评】本题考查三角函数的诱导公式，方程的根与系数的关系，余弦定理，三角形的面积公式的综合运用，解决此类问题，不但要熟练掌握基本公式，基本运算，还要具备综合运用知识的推理的能力21（12分）为了更好地掌握有关飓风的数据资料，决定在海上的四岛A、B、C、D建立观测站，已知B在A正北方向15海里处，C在A的东偏北30方向，又在D的东北方向，D在A的正东方向，且BC相距21海里，求C、D两岛间的距离【分析】根据题意结合图形，在ABC中由余弦定理求得AC的值，在ADC中由正弦定理求得CD的值【解答】

23、解：由已知得 A、B、C、D四岛的位置如图所示，设A、C两岛相距x海里C在A的东偏北30方向，BAC60在ABC中，由余弦定理得，212152+x2215xcos 60，化简得x215x2160，解得x24或x9（舍去）又C在D的东北方向，ADC135，在ADC中，由正弦定理得，CD12C、D两岛间的距离为12海里【点评】本题考查了解三角形的实际应用问题，也考查了方程的应用与数形结合的问题，是中档题22（12分）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植

24、面积是多少？【分析】设出矩形的长为a与宽b，建立蔬菜面积关于矩形边长的函数关系式S（a4）（b2）ab4b2a+88002（a+2b）利用基本不等式变形求解【解答】解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab800蔬菜的种植面积S（a4）（b2）ab4b2a+88082（a+2b）所以S8084648（m2）当且仅当a2b，即a40（m），b20（m）时，S最大值648（m2）答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2【点评】此类问题一般用函数最值来求解，本题别出心裁，利用基本不等式求解，设计巧妙23（12分）数列an中，a12

25、，an+1an+cn（c是不为0的常数，nN*），且a1，a2，a3成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）由已知可得，（2+c）22（2+3c）可求c，代入可得an+1an+2n，利用叠加可求通项（2）由bn，考虑利用错位相减可求和【解答】解：（1）由已知可知a22+c，a32+3c（1分）则（2+c）22（2+3c）c2从而有an+1an+2n（2分）当n2时，ana1+（a2a1）+a3a2+（anan1）2+21+22+2nn2n+2（4分）当n1时，a12适合上式，因而ann2n+2（5分）（2）bn（6分）Tnb1+b2+bn相减可得，（9分）（10分）【点评】本题主要考查了利用叠加法求解数列的通项公式，而错位相减求解数列的和是数列求和的重点和难点，要注意掌握