2018-2019学年山西省太原五中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）（5月份）含详细解答

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1、2018-2019学年山西省太原五中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）（5月份）一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个正确答案）1（4分）若，则x的值为（）A4B4或5C6D4或62（4分）一个教室有五盏灯，一个开关控制一盏灯，每盏灯都能正常照明，那么这个教室能照明的方法有_种（）A24B25C31D323（4分）若随机变量XB（4，），则D（2X+1）（）A2B4C8D94（4分）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A192种B216种C240种D288种5（4分）将多项式分解因式得（x2）（x+1）5，则a4（）

2、A20B15C10D06（4分）如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形OEF（阴影部分）内”，则P（B|A）（）ABCD7（4分）一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P（X12）等于（）A（）10（）2B（）9（）2（）C（）9（）2D（）10（）28（4分）某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有（）A60种B90种C150种D240种9（4分

3、）随机变量的分布列如下，且满足E（）2，则E（a+b）的值（）123PabcA0B1C2D无法确定，与a，b有关10（4分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种A19B26C7D12二、填空题（每小题4分，共20分）11（4分）现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，从中任选一人参加接待外宾的活动，有m种不同的选法；从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有n种不同的选法，则m+n 12（4分

4、）将4张相同的卡片放入编号为1、2、3的三个盒子中（可以有空盒），共有 种放法13（4分）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位数Aa1a2a3a4a5，其中A的各位数中，记Xa2+a3+a4+a5，当程序运行一次时，X的数学期望E（X） 14（4分）甲乙两人组队参加答题大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲、乙两人各答一题，已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为，甲、乙在答题这件事上互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人共答对三个题的概率为 15（4分）随机变量X服从正态分布XN（10，2），P（X12）m，P（8X10）n，则的最小值为 三、解答题（每小题10分，共40分）16（10分）某次文

5、艺晚会上共演出7个节目，其中2个歌曲，3个舞蹈，2个曲艺节目，求分别满足下列条件的节自编排方法有多少种？（用数字作答）（1）一个歌曲节目开头，另个歌曲节目放在最后压台；（2）2个歌曲节目相邻且2个曲艺节目不相邻17（10分）已知（+）n的展开式前三项中的系数成等差数列（1）求n的值和展开式系数的和；（2）求展开式中所有x的有理项18（10分）某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题已知这6道问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、

6、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的（）求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率（）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？19（10分）山西省在2019年3月份的高三适应性考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩近似服从正态分布N（120，52），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组85，95），第二组95，105），第六组135，145，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求全市数学成绩在135分以上的人数；（2）试由样本频率分布直方图佔计该校数学成

7、绩的平均分数；（3）若从这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望附：若XN（，2），则P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.99742018-2019学年山西省太原五中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个正确答案）1（4分）若，则x的值为（）A4B4或5C6D4或6【分析】根据组合数的性质：CC【解答】解：依题意得：2x1x+3或2x1+x+320，解得：x4，或x6，经检验x4和x6都符合题意故选：D【点评

8、】本题考查了组合及组合数公式，属基础题2（4分）一个教室有五盏灯，一个开关控制一盏灯，每盏灯都能正常照明，那么这个教室能照明的方法有_种（）A24B25C31D32【分析】由排列组合及简单计数问题知，这个教室能照明的方法有22222131种【解答】解：由题意有这个教室能照明的方法有22222131种，故选：C【点评】本题考查了排列组合及简单计数问题，属简单题3（4分）若随机变量XB（4，），则D（2X+1）（）A2B4C8D9【分析】由二项分布的性质得D（X）1，由方差的性质得D（2X+1）4D（X），由此能求出结果【解答】解：随机变量XB（4，），D（X）1，D（2X+1）4D（X）4故选：

9、B【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差的性质的合理运用4（4分）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A192种B216种C240种D288种【分析】分类讨论，最前排甲；最前只排乙，最后不能排甲，根据加法原理可得结论【解答】解：最前排甲，共有120种，最前只排乙，最后不能排甲，有96种，根据加法原理可得，共有120+96216种故选：B【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题5（4分）将多项式分解因式得（x2）（x+1）5，则a4（）A20B15C10D0【分析】由题意利

10、用二项展开式的通项公式，求得a4的值【解答】解：多项式（x2）（x+1）5（x2）（x5+5x4+10x3+10x2+5x+1），则a410250，故选：D【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题6（4分）如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形OEF（阴影部分）内”，则P（B|A）（）ABCD【分析】利用几何概型先求出P（A），P（AB），再由条件概型能求出P（B|A）【解答】解：如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随

11、机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形OEF（阴影部分）内”，则P（A），P（AB），P（B|A）故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概型能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7（4分）一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P（X12）等于（）A（）10（）2B（）9（）2（）C（）9（）2D（）10（）2【分析】由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，即可求得P（X12）的值【解答】解：由题意可得，取得红球的概率为，P（X12）

12、说明前11次取球中，有9次取得红球、2次取得白球，且第12次取得红球，故P（X12），故选：D【点评】本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，属于基础题8（4分）某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有（）A60种B90种C150种D240种【分析】根据题意，分2步分析：先将5个班分为3组，有2种分组方法，分为2、2、1的三组或3、1、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的工厂，由排列数公式可得其对应方法数目；由分步计数原理计算可得答案【解答】解：

13、根据题意，分2步进行分析：、将5个班分为3组，若分为2、2、1的三组，有15种分组方法；若分为3、1、1的三组，有C5310种方法，则一共有15+1025种分组方法；、将分好的三组对应3个工厂，有A336种情况，则共有256150种不同的分配方案故选：C【点评】本题考查分类计数原理，考查平均分组，是一个易错题，这种题目特别要注意做到不重不漏，首先要分组，再排列9（4分）随机变量的分布列如下，且满足E（）2，则E（a+b）的值（）123PabcA0B1C2D无法确定，与a，b有关【分析】由随机变量的分布列及数学期限望得到：a+2b+3c2，且a+b+c1，从而2a+b1，由此能求出E（a+b）【

14、解答】解：E（）2，由随机变量的分布列得到：a+2b+3c2，又a+b+c1，解得ac，2a+b1，E（a+b）aE（）+b2a+b1故选：B【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列及数学期望的性质的合理运用10（4分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种A19B26C7D12【分析】由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出【

15、解答】解：顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人A222种，当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C215，故有2+57种，当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人A222种，当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C215，故有2+57种，当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则C31A226种，若没有人使用现金，则有C32A226种，故有6+

16、612种，根据分步计数原理可得共有7+7+6+626种，故选：B【点评】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题二、填空题（每小题4分，共20分）11（4分）现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，从中任选一人参加接待外宾的活动，有m种不同的选法；从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有n种不同的选法，则m+n72【分析】由排列组合、简单计数问题及加法原理，乘法原理可得：m+n12+6072，得解【解答】解：高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，从中任选一人参加接待外宾的活动，有12种不同的选法，即m12，从三个年级的

17、学生中各选1人参加接待外宾的活动，有60种不同的选法，即n60，即m+n12+6072，故答案为：72【点评】本题考查了排列组合及简单计数问题，属中档题12（4分）将4张相同的卡片放入编号为1、2、3的三个盒子中（可以有空盒），共有30种放法【分析】由排列组合、简单计数问题及隔板法得：共有30，得解【解答】解：由排列组合中的相同元素分组问题隔板法得：将4张相同的卡片放入编号为1、2、3的三个盒子中（可以有空盒），共有30，故答案为：30【点评】本题考查了排列组合、简单计数问题及隔板法，属中档题13（4分）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位数Aa1a2a3a4a5，其中A的各位数中，记Xa

18、2+a3+a4+a5，当程序运行一次时，X的数学期望E（X）【分析】由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值【解答】解：由题意知X的可能取值分别为0，1，2，3，4；X0表示这4个数字都是0，则P（X0）；X1表示这4个数字中有一个为1，则P（X1）；同理P（X2）；P（X3）；P（X4）；所以X的分布列为，X01234P计算数学期望为EX0+1+2+3+4故答案为：【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是基础题14（4分）甲乙两人组队参加答题大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲、乙两人各答一题，已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为，甲、乙在答

19、题这件事上互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人共答对三个题的概率为【分析】分别求出甲答对2个题，乙答对1个题的概率和甲答对1个题，乙答对2个题的概率，再把这2个值相加，即得所求【解答】解：甲、乙两人共答对三个题，即甲答对2个题，乙答对1个题；或者甲答对1个题，乙答对2个题甲答对2个题，乙答对1个题的概率为；甲答对1个题，乙答对2个题的概率为，故甲、乙两人共答对三个题的概率为+，故答案为：【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题15（4分）随机变量X服从正态分布XN（10，2），P（X12）m，P（8X10）n，则的最小值为6+【分析】由正态分布曲线的对称性求出m+n，再由

20、基本不等式求最值【解答】解：随机变量X服从正态分布XN（10，2），P（X10），由P（8X10）n，得P（10X12）n，又P（X12）m，m+n，且m0，n0，则（）（2m+2n）6+6+26+4当且仅当，即m，n时等号成立的最小值为6+4故答案为：6+【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线的对称性，训练了利用基本不等式求最值，是中档题三、解答题（每小题10分，共40分）16（10分）某次文艺晚会上共演出7个节目，其中2个歌曲，3个舞蹈，2个曲艺节目，求分别满足下列条件的节自编排方法有多少种？（用数字作答）（1）一个歌曲节目开头，另个歌曲节目放在最后压台；（2）2个

21、歌曲节目相邻且2个曲艺节目不相邻【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：，要求2个歌曲节目1个在开头，另一个在最后，将剩下的5个节目全排列，安排在中间，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分3步进行分析：，2个歌曲节目相邻，将其看成一个整体，将这个整体与3个舞蹈节目全排列，排好后有5个空位，在5个空位中任选2个，安排2个曲艺节目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：，要求2个歌曲节目1个在开头，另一个在最后，有A222种安排方法，将剩下的5个节目全排列，安排在中间，有A55120种安排方法，则一共有2120240种安排方法；（2）根据题意，分3步进行分

22、析：，2个歌曲节目相邻，将其看成一个整体，有A222种情况，将这个整体与3个舞蹈节目全排列，有A4424种情况，排好后有5个空位，在5个空位中任选2个，安排2个曲艺节目，有A5220种情况，则一共有22420960种安排方法【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题17（10分）已知（+）n的展开式前三项中的系数成等差数列（1）求n的值和展开式系数的和；（2）求展开式中所有x的有理项【分析】（1）根据题意，求出该二项式的展开式，分析其前三项的系数，由等差数列的性质可得21+，解可得n的值；进而在（+）8中，令x1，分析可得展开式系数的和；（2）由（1）的结论，分

23、析可得该二项式的展开式，分析其中的有理项，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，（+）n的展开式的通项为Tr+1nr（）nr（）r，其系数为nr，其第一项的系数为n01，第二项的系数为n1，第三项的系数为n2，若其展开式前三项中的系数成等差数列，则21+，解可得：n8或n1，又由n3，则n8，在（+）8中，令x1可得：（+）8（）8；（2）由（1）的结论，n8，则（+）8的展开式的通项为Tr+1C8r（）8r（）rC8r，当r0时，有T1x4，当r4时，有T5x，当r8时，有T9x2；则展开式中所有x的有理项为x4，x，x2【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础

24、题18（10分）某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题已知这6道问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的（）求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率（）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？【分析】（）利用互斥事件概率加法公式、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出甲、乙两名学生共答对2个问题的概率（）设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取

25、值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出E（X），D（X）X），设学生乙答对题数为Y，则Y所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知YB（3，），从而求出E（Y），D（X），由E（X）E（Y），D（X）D（Y），得到甲被录取的可能性更大【解答】解：（）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：P+（）设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，P（X1），P（X2），P（X3），E（X）2，D（X）（12）2+（22）2+（32）2，设学生乙答对题数为Y，则Y所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知YB（3，），E（Y）32，D（Y），E（X）E（Y），D（X）D（Y），甲被录

26、取的可能性更大【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查互斥事件概率加法公式、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（10分）山西省在2019年3月份的高三适应性考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩近似服从正态分布N（120，52），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组85，95），第二组95，105），第六组135，145，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求

27、全市数学成绩在135分以上的人数；（2）试由样本频率分布直方图佔计该校数学成绩的平均分数；（3）若从这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望附：若XN（，2），则P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9974【分析】（1）由已知结合3原则求得P（X135），乘以总人数得答案；（2）根据频率和为1，求出成绩在125，135）的频率，再计算这组数据的平均数；（2）根据正态分布的特征，计算50人中成绩在135以上（包括135分）的有500.084人，而在125，145）的学生有50（0.1

28、2+0.08）10，得出X的可能取值，计算对应的概率，列出X的分布列，计算期望值【解答】解：（1）全市10000名学生的成绩近似服从正态分布N（120，52），120，5，则P（X135）P（X+3）1P（3X+3）0.0013全市数学成绩在135分以上的人数为100000.001313人；（2）由频率分布直方图可知125，135）的频率为1（0.0110+0.02410+0.0310+0.01610+0.00810）0.12，估计该校全体学生的数学平均成绩约为900.1+1000.24+1100.3+1200.16+1300.12+1400.08112；（2）由于0.0013，根据正态分布：P（12035X120+35）0.9974，故P（X135）0.0013，即0.00131000013前13名的成绩全部在135分以上根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）的有500.084人，而在125，145）的学生有50（0.12+0.08）10X的取值为0，1，2，3P（X0），P（X1），P（X2），P（X3）X的分布列为 X0123P数学期望值为EX0+1+2+31.2【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查正态分布的应用问题，考查了离散型随机变量的分布列与期望，是中档题