2018-2019学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（理科）含详细解答

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1、2018-2019学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1（3分）椭圆+1的焦距为（）A10B8C6D42（3分）命题：“xR，3x0”的否定是（）AxR，3x0BxR，3x0CxR，3x0DxR，3x03（3分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB的中点的坐标是（）A（1，1，1）B（2，1，1）C（1，1，2）D（1，2，3）4（3分）下列命题是真命题的是（）A42，3且22，3B1是奇数且1是素数C2是偶数或3不是素数D周长或面积相等的两个三角形全等5（3分）抛物线x2的焦点到准线的距离是（）

2、A2B1CD6（3分）已知空间直角坐标系中点P（2，1，3），若在z轴上取一点Q，使得|PQ|最小，则点Q的坐标为（）A（0，0，1）B（0，0，2）C（0，0，3）D（0，1，0）7（3分）“mn0”是“方程mx2ny21”表示椭圆的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8（3分）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，能使l的是（）A（1，0，0），（2，0，0）B（1，3，5），（1，0，1）C（0，2，1），（1，0，1）D（1，1，3），（0，3，1）9（3分）已知A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1）三点，（1，1，1），则以为方向向量的直

3、线l与平面ABC的关系是（）A垂直B不垂直C平行D以上都有可能10（3分）已知双曲线的右顶点为A，抛物线C：y28ax的焦点为F若在E的渐近线上存在点P，使得，则E的离心率的取值范围是（）A（1，2）B（1，CD（2，+）11（3分）若ABC的三个顶点分别为A（0，0，），B（，），C（1，0，），则角A的大小为（）ABCD12（3分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是平面ABCD的动点，若点P到直线A1D1的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A抛物线B双曲线C椭圆D直线二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13（3分）双曲线1的实轴长为

4、 14（3分）命题“如果x+y3，那么x1且y2”的逆否命题是 15（3分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，它们离心率之和为，则此双曲线的标准方程是 16（3分）空间四点A，B，C，D满足|3，|7，|11，|9，则 三、解答题（本大题共5小题，共52分，写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17已知命题p：曲线yx2+（2m3）x1与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆1的焦点在y轴上（1）判断命题p的否定的真假；（2）若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围18已知抛物线C：y22px经过点P（4，4）（1）求抛物线C的方程；（2）若A，B为抛物线C上不同的两点，且AB的

5、中点坐标为（2，1），求直线AB的方程19如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB、BC上的点，且3（1）求线段A1F的长（2）求异面直线A1F与C1E所成的角20已知椭圆C：1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2，过（1，0）点作直线与椭圆相交于A，B两点，连接AF1，BF1，且ABF1的周长为4（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，且，求的值21已知四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，BC2AB4，AD3，过BC的中点F作EFAB，交AD于点E，沿EF将四边形EFCD折起，连接AD、AC、BC（1）求证：BE平面ACD；（2

6、）若平面CDEF平面ABFE，求二面角BACD的大小2018-2019学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1（3分）椭圆+1的焦距为（）A10B8C6D4【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可【解答】解：椭圆+1，可知a5，b4，则c3，所以椭圆的焦距为6故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力2（3分）命题：“xR，3x0”的否定是（）AxR，3x0BxR，3x0CxR，3x0DxR，3x0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：提问全称命题的否定是特称命题，所以命题：“

7、xR，3x0”的否定是xR，3x0故选：C【点评】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可3（3分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB的中点的坐标是（）A（1，1，1）B（2，1，1）C（1，1，2）D（1，2，3）【分析】利用中点坐标公式直接求解【解答】解：在空间直角坐标系中，点A（1，0，1），B（3，2，1），线段AB的中点的坐标是（2，1，1）故选：B【点评】本题考查线段中点坐标的求法，考查中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4（3分）下列命题是真命题的是（）A42，3且22，3B1是奇数且1是素数C2是偶数或

8、3不是素数D周长或面积相等的两个三角形全等【分析】通过元素与集合的关系实数的性质奇偶数与素数，以及三角形的周长与面积判断选项的正误即可【解答】解：42，3且22，3，所以A不正确；1是奇数且1不是素数，所以B不正确；2是偶数或3是素数，所以C正确；周长或面积相等的两个三角形全等，显然不正确；故选：C【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查，基础题5（3分）抛物线x2的焦点到准线的距离是（）A2B1CD【分析】由抛物线x2的方程可知：，解得p即可得出此抛物线的焦点到准线的距离dp【解答】解：抛物线x2的方程可知：，解得p此抛物线的焦点到准线的距离d故选：D【点评】本题考查了抛物线

9、的标准方程及其性质，属于基础题6（3分）已知空间直角坐标系中点P（2，1，3），若在z轴上取一点Q，使得|PQ|最小，则点Q的坐标为（）A（0，0，1）B（0，0，2）C（0，0，3）D（0，1，0）【分析】可作PA平面yOz，垂足为A，然后作AQx轴，垂足为Q，从而可知此时|PQ|最小，并知Q点的竖坐标和P点的竖坐标相等，从而得出Q点的坐标【解答】解：如图，过P作PA平面yOz，垂足为A，过A作AQz轴，垂足为Q，连接PQ，则PQx轴，此时|PQ|最小，则Q（0，0，3）故选：C【点评】本题考查了点到直线上的点的最小距离便是点到直线的距离，过空间一点作一直线的垂线的方法，空间点的坐标的定义，

10、考查了推理能力，属于基础题7（3分）“mn0”是“方程mx2ny21”表示椭圆的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆的标准方程形式确定m，n的关系，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：由方程mx2ny21得+1，所以要使方程mx2ny21的曲线是椭圆，则，即m0，n0且mn所以，“mn0”是“方程mx2+ny21的曲线是椭圆”的必要不充分条件故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，要求掌握椭圆的标准方程8（3分）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，能使l的是（）A（1，0，0），（2，0，0）B（1，3，5），（1

11、，0，1）C（0，2，1），（1，0，1）D（1，1，3），（0，3，1）【分析】由题意l，则0，分别计算A、B、C、D中的值，判断正确选项【解答】解：若l，则0而A中2，B中1+56，C中1，只有D选项中3+30故选：D【点评】本题考查向量语言表述线面的垂直、平行关系，是基础题9（3分）已知A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1）三点，（1，1，1），则以为方向向量的直线l与平面ABC的关系是（）A垂直B不垂直C平行D以上都有可能【分析】先求向量，再利用数量积研究线面位置关系【解答】解：由题意，以为方向向量的直线l与平面ABC垂直故选：A【点评】本题的考点是向量方法证明线、面的位

12、置关系定理，主要考查利用向量法研究线面位置关系，关键是利用向量的数量积确定向量垂直10（3分）已知双曲线的右顶点为A，抛物线C：y28ax的焦点为F若在E的渐近线上存在点P，使得，则E的离心率的取值范围是（）A（1，2）B（1，CD（2，+）【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设P（m，m），以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围【解答】解：双曲线的右顶点为A（a，0），抛物线C：y28ax的焦点为F（2a，0），双曲线的渐近线方程为yx，可设P（m，m），即有（ma，m），（m2a，m），

13、由，可得0，即为（ma）（m2a）+m20，化为（1+）m23ma+2a20，由题意可得9a24（1+）2a20，即有a28b28（c2a2），即8c29a2，则e由e1，可得1e故选：B【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，考查抛物线的焦点和向量的数量积的性质，注意运用二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，考查运算能力，属于中档题11（3分）若ABC的三个顶点分别为A（0，0，），B（，），C（1，0，），则角A的大小为（）ABCD【分析】先分别求出（，0），（1，0，0），从而cosBAC，由此能求出角A的大小【解答】解：ABC的三个顶点分别为A（0，0，），B（，），C（1，0，），（

14、，0），（1，0，0），cosBAC，BAC角A的大小为故选：A【点评】本题考查角的求法，考查空间向量的夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（3分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是平面ABCD的动点，若点P到直线A1D1的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A抛物线B双曲线C椭圆D直线【分析】由题意画出图形，设出P的坐标，列式求得动点P的轨迹【解答】解：如图，设点P到直线AD的距离是x，到直线AB的距离是y，则1+x2y2，y2x21P的轨迹所在曲线是等轴双曲线故选：B【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查了双曲线的定义，是中档题二、填

15、空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13（3分）双曲线1的实轴长为【分析】直接利用双曲线方程，求解双曲线的实轴长即可【解答】解：双曲线1，可得a，所以双曲线1的实轴长为2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题14（3分）命题“如果x+y3，那么x1且y2”的逆否命题是如果x1或y2，那么x+y3【分析】根据逆否命题的定义进行期求解即可【解答】解：命题的逆否命题为：如果x1或y2，那么x+y3，故答案为：如果x1或y2，那么x+y3【点评】本题主要考查四种命题之间的关系，根据逆否命题的定义是解决本题的关键若p则q的逆否命题为若q则p15（3分）已知双

16、曲线与椭圆有相同的焦点，它们离心率之和为，则此双曲线的标准方程是【分析】首先由椭圆方程知其焦点在y轴上，并求出半焦距c与离心率e，然后设出双曲线的标准方程，并由它们离心率之和求出双曲线的离心率，进而求得a，再根据双曲线的性质b2c2a2求得b2，则问题解决【解答】解：由椭圆方程知其焦点在y轴上，且c4，e，则设双曲线的标准方程为，那么有，解得a2，所以b2c2a216412，因此双曲线的标准方程为故答案为【点评】本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程与性质16（3分）空间四点A，B，C，D满足|3，|7，|11，|9，则0【分析】可画出图形，代入，然后再代入，进一步化简即可求出的值【解答】解：如图

17、，0故答案为：0【点评】本题考查了向量加法、减法的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算和推理能力，属于难题三、解答题（本大题共5小题，共52分，写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17已知命题p：曲线yx2+（2m3）x1与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆1的焦点在y轴上（1）判断命题p的否定的真假；（2）若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围【分析】（1）由函数的零点个数的判断：（2m3）2+40，即命题p为真命题，即命题p的否定为假命题，（2）由椭圆的性质及充分必要条件得“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，则命题p，q一真一假，又由（1）得命题p为真命题，

18、则命题q为假命题，运算可得解【解答】解：（1）由（2m3）2+40，可得曲线yx2+（2m3）x1与x轴相交于不同的两点，即命题p为真命题，即命题p的否定为假命题；（2）由“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，则命题p，q一真一假，又由（1）得命题p为真命题，则命题q为假命题，即m2+12，解得m1或m1，故答案为：（，11，+）【点评】本题考查了函数的零点与椭圆的性质、充分必要条件，属简单题18已知抛物线C：y22px经过点P（4，4）（1）求抛物线C的方程；（2）若A，B为抛物线C上不同的两点，且AB的中点坐标为（2，1），求直线AB的方程【分析】（1）根据抛物线的定义，利用待定系数法即

19、可求抛物线E的方程；（2）求直线AB的方程【解答】解：（1）令抛物线E的方程：y22px（p0）抛物线C：y22px经过点P（4，4）168pp2，抛物线E的方程：y24x（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y124x1，y224x2，两式相减，得（y1+y2）（y1y2）4（x2x1），即线段AB恰被M（2，1）所平分y1+y22，2，即直线的斜率k2，AB的方程为y12（x2），即2xy30【点评】本题主要考查抛物线方程的求解，以及直线和抛物线的位置关系的应用，利用点差法求出直线斜率是解决本题的关键19如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB、BC上

20、的点，且3（1）求线段A1F的长（2）求异面直线A1F与C1E所成的角【分析】（1）推导出AEBF，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段A1F的长（2）利用向量法能求出异面直线A1F与C1E所成的角【解答】解：（1）在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB、BC上的点，且3AEBF，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（a，0，a），F（，a，0），线段A1F的长为：|A1F|a（2）C1（0，a，a），E（a，0），（，a，a），（a，a），设异面直线A1F与C1E所成的角为

21、，则cos0，90，异面直线A1F与C1E所成的角为90【点评】本题考查线段长、异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20已知椭圆C：1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2，过（1，0）点作直线与椭圆相交于A，B两点，连接AF1，BF1，且ABF1的周长为4（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，且，求的值【分析】（1）由题意可得：2c2，4a4解得a，b即可得椭圆的方程（2）联立，解得：或，由，即可求解【解答】解：（1）由题意可得：2c2，解得c1，ABF1的周长为4解得a，b椭圆的方程为：（2）直线

22、AB的方程为：yx1，设A（x1，y1）Bx2，y2）联立，化为3y2+2y10，解得：或，且，或3【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、属中档题21已知四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，BC2AB4，AD3，过BC的中点F作EFAB，交AD于点E，沿EF将四边形EFCD折起，连接AD、AC、BC（1）求证：BE平面ACD；（2）若平面CDEF平面ABFE，求二面角BACD的大小【分析】（1）作图，容易证明四边形DEOG为平行四边形，进而得到BEDG，由此得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面BAC及平面DAC的法向量，运用向量的夹角公式直接计算即可【解答

23、】解：（1）证明：连接AF交BE于点O，设G为AC的中点，连接OG，DG，如图所示，由题意知，四边形ABFE为平行四边形，则O为AF的中点，故OGCF，且，由已知得，DECF，且，DEOG且DEOG，四边形DEOG为平行四边形，OEDG，即BEDG，DG在平面ACD内，BE不在平面ACD内，BE平面ACD；（2）由已知可得四边形ABFE为边长为2的正方形，所以AEEF，由于平面CDEF平面ABFE，且DEEF，则DE平面ABFE，所以DEAE，故EA，EF，ED两两垂直，以E为坐标原点，EA，EF，ED分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如右图所示，则E（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），F（0，2，0），D（0，0，1），C（0，2，2），可得，设平面BAC的一个法向量为，则，即，则，设平面DAC的一个法向量为，则，即，则，显然，二面角BACD的平面角为钝角，所以所求二面角BACD的大小为【点评】本题考查线面平行的判定及利用空间向量求二面角的大小，考查平面法向量的求法及向量夹角的坐标运算，考查逻辑推理能力及运算求解能力，这类题的解题思路相对固定，解题时细心即可，属于常规题目