2018-2019学年山西省运城市芮城县高二（上）期末数学试卷（文科）含详细解答

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1、2018-2019学年山西省运城市芮城县高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）已知命题x0R，0，则p是（）AxR，x40Bx0R，0CxR，x40Dx0R，2（5分）椭圆+1上的长轴长是（）A5B4C10D83（5分）抛物线的焦点坐标是（）A.（0，1）B.（1，0）C.（，0）D（0，）4（5分）已知两条直线l1：（a1）x+2y+10，l2：x+ay50平行，则a（）A1B2C0或2D1或25（5分）函数f（x）xlnx的单调减区间是（）A（，0）BCD6（5分）已知双曲线的一个顶点是 （1，0），其渐近线方程为y2x，则该双曲线的标准方程（）ABCD

2、7（5分）设xR，则“1x2”是“（x2）21”的（）A既不充分也不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D充分而不必要条件8（5分）若函数f（x）f（1）x22x+3，则f（1）的值为（）A0B1C1D29（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A+3B+3C+1D+110（5分）已知三个不同的平面，两条不同的直线m，n，则下列命题正确的是（）A若，则B若m，n，m，n，则C若m，n，m，n，则，平行或相交D若m，n，则m，n11（5分）已知双曲线1（a0，b0）的渐近线与圆（x2）2+y21相交，则双曲线的离心率的取值范围是（）A（1，3）B（，

3、+）C（1，）D（3，+）12（5分）已知f（x）为R上的可导函数，且xR，均有f（x）f（x），则有（）Ae2019f（2019）f（0），f（2019）e2019f（0）Be2019f（2019）f（0），f（2019）e2019f（0）Ce2019f（2019）f（0），f（2019）e2019f（0）De2019f（2019）f（0），f（2019）e2019f（0）二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）双曲线4x2y2+640上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于 14（5分）函数f（x）ax3x+1在R上为减函数，则a的取值范围是 15（5分）已知

4、圆的圆心坐标为（1，2），且被直线l：xy10截得的弦长为，则圆的方程为 16（5分）过抛物线x22py（p0）的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则 三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知命题p：方程的图象是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4（m2）x+10无实根；又pq为真，q为真，求实数m的取值范围18（12分）已知函数f（x）ax3+bx23x（a，bR），在点（1，f（1）处的切线方程为y+20（1）求函数f（x）的解析式；（2）若方程f（x）m有三个根，求m的取值范围19（12分）如图，四边形ABCD为菱形，DAB60

5、，ED平面ABCD，EDAD2EF2，EFAB，M为BC中点（）求证：FM平面BDE；（）求证：ACBE；（）若G为线段BE上的点，当三棱锥GBCD的体积为时，求的值20（12分）已知圆C：（x3）2+（y4）24和直线l：kxy4k+30（1）求证：不论k取什么值，直线l和圆C总相交；（2）求直线l被圆C截得的最短弦长及此时的直线方程21（12分）已知函数f（x）aexlnx1（1）设x2是f（x）的极值点，求a的值并求g（x）f（x）+lnx的单调区间；（2）若不等式f（x）0在（0，+）恒成立，求a的取值范围22（12分）已知椭圆，连接椭圆的两个焦点和短轴的两个端点得到的四边形是正方形，

6、正方形的边长为（1）求椭圆的方程；（2）设C（m，0），过焦点F（c，0）（c0）且斜率为k（k0）的直线l与椭圆交于A，B两点，使得，求实数m的取值范围2018-2019学年山西省运城市芮城县高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）已知命题x0R，0，则p是（）AxR，x40Bx0R，0CxR，x40Dx0R，【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即xR，x40，故选：A【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键2（5分）椭圆+1上的长

7、轴长是（）A5B4C10D8【分析】求出椭圆的a，则长轴长即为2a【解答】解：椭圆+1的a5，则长轴长为2a10故选：C【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查长轴的概念，属于基础题3（5分）抛物线的焦点坐标是（）A.（0，1）B.（1，0）C.（，0）D（0，）【分析】利用抛物线的标准方程，然后求解焦点坐标即可【解答】解：抛物线的标准方程为：y24x抛物线的焦点坐标是（1，0）故选：B【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力4（5分）已知两条直线l1：（a1）x+2y+10，l2：x+ay50平行，则a（）A1B2C0或2D1或2【分析】根据直线平行的等价条件建立方程关系进行求解即

8、可【解答】解：当a0时，两直线分别为x+2y+10，和x50，此时两直线不平行，当a0时，若两直线平行，则，由得a2a20，得a1或a2，当a1时，成立，当a2时，成立，综上a1或2，故选：D【点评】本题主要考查直线平行的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键5（5分）函数f（x）xlnx的单调减区间是（）A（，0）BCD【分析】求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可【解答】解：函数的定义域为（0，+），函数的导数f（x）lnx+x1+lnx，由f（x）0得1+lnx0，得lnx1，得0x，即函数的单调递减区间为（0，故选：D【点评】本题主要考查函数单调区间的

9、求解，利用函数和导数之间的关系是解决本题的关键6（5分）已知双曲线的一个顶点是 （1，0），其渐近线方程为y2x，则该双曲线的标准方程（）ABCD【分析】根据双曲线的简单性质和渐近线方程即可求出【解答】解：双曲线的一个顶点是 （1，0），a1，且焦点在x轴上，渐近线方程为y2x，2，b2，该双曲线的标准方程为x21，故选：A【点评】本题考查了双曲线的标准方程，属于基础题7（5分）设xR，则“1x2”是“（x2）21”的（）A既不充分也不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D充分而不必要条件【分析】由二次不等式的解法得：不等式（x2）21的解为：1x3，由充分必要条件得：“1x2”是“1x3”的

10、充分不必要条件，即“1x2”是“（x2）21”的充分不必要条件，得解【解答】解：解不等式（x2）21，得：1x3，又“1x2”是“1x3”的充分不必要条件，即“1x2”是“（x2）21”的充分不必要条件，故选：D【点评】本题考查了二次不等式的解法及充分必要条件，属简单题8（5分）若函数f（x）f（1）x22x+3，则f（1）的值为（）A0B1C1D2【分析】求函数的导数，令x1即可得到结论【解答】解：f（x） f（1）x22x+3，f（x）2 f（1）x2f（1）x2，令x1，则f（1）f（1）2，即f（1）1，故选：B【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式即可，注意f

11、（1）在函数中是一个常数9（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A+3B+3C+1D+1【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为123+3+1，故选：D【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目10（5分）已知三个不同的平面，两条不同的直线m，n

12、，则下列命题正确的是（）A若，则B若m，n，m，n，则C若m，n，m，n，则，平行或相交D若m，n，则m，n【分析】在A中，与相交或平行；在B中，与相交或平行；在C中，平行或相交；在D中，m与相交、平行或m，n与相交、平行或n【解答】解：由三个不同的平面，两条不同的直线m，n，知：在A中，若，则与相交或平行，故A错误；在B中，若m，n，m，n，则与相交或平行，故B错误；在C中，若m，n，m，n，则，平行或相交，故C正确；在D中，若m，n，则m与相交、平行或m，n与相交、平行或n，故D错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，

13、是基础题11（5分）已知双曲线1（a0，b0）的渐近线与圆（x2）2+y21相交，则双曲线的离心率的取值范围是（）A（1，3）B（，+）C（1，）D（3，+）【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b的关系，进而利用c2a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求【解答】解：双曲线渐近线为bxay0，与圆（x2）2+y21相交圆心到渐近线的距离小于半径，即13b2a2，c2a2+b2a2，ee11e故选：C【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等考查了学生数形结合的思想的运用12（5分）已知f（x）为R上

14、的可导函数，且xR，均有f（x）f（x），则有（）Ae2019f（2019）f（0），f（2019）e2019f（0）Be2019f（2019）f（0），f（2019）e2019f（0）Ce2019f（2019）f（0），f（2019）e2019f（0）De2019f（2019）f（0），f（2019）e2019f（0）【分析】令g（x），xRg（x），根据xR，均有f（x）f（x），可得函数g（x）的单调性，进而得出结论【解答】解：令g（x），xRg（x），xR，均有f（x）f（x），g（x）在R上单调递增，g（2019）g（0）g（2019），可得：e2019f（2019）f（0），f（2

15、019）e2019f（0）故选：B【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）双曲线4x2y2+640上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于17【分析】首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数a、b的值，然后根据双曲线的定义得出|PF1PF2|2a，根据题中的已知数据，可以求出点P到另一个焦点的距离【解答】解：将双曲线4x2y2+640化成标准形式：a264，b216P到它的一个焦点的距离等于1，设PF11|PF1PF2|2a16PF2PF11617（舍负）

16、故答案为：17【点评】本题考查了双曲线的定义与标准方程，属于基础题利用圆锥曲线的第一定义解题，是近几年考查的常用方式，请同学们注意这个特点14（5分）函数f（x）ax3x+1在R上为减函数，则a的取值范围是（，0【分析】求出f（x）的导函数，由函数在R上是减函数，得到导函数恒小于0，导函数为开口向下且与x轴最多有一个交点时，导函数值恒小于0，即可得到a的取值范围【解答】解：由f（x）ax3x+1，得到f（x）3ax21，因为函数在R上是减函数，所以f（x）3ax210恒成立，所以a0，则a的取值范围是（，0故答案为：（，0【点评】此题考查学生会利用导函数的正负判断函数的单调区间，灵活运用二次函

17、数的思想解决实际问题，是一道中档题15（5分）已知圆的圆心坐标为（1，2），且被直线l：xy10截得的弦长为，则圆的方程为（x1）2+（y+2）24【分析】先求出圆心到直线的距离，可得圆的半径，从而写出圆的标准方程【解答】解：圆的圆心坐标为（1，2），且被直线l：xy10截得的弦长为，圆心到直线的距离为，故圆半径为2，则圆的方程为 （x1）2+（y+2）24，故答案为：（x1）2+（y+2）24【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：勾股定理，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于基础题16（5分）过抛物线x22py（p0）的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点（

18、点A在y轴左侧），则【分析】作AA1x轴，BB1x轴则可知AA1OFBB1，根据比例线段的性质可知，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得xA+xB和xAxB的表达式，进而可求得xAxB（）2，整理后两边同除以xB2得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得【解答】解：如图，作AA1x轴，BB1x轴则AA1OFBB1，又已知xA0，xB0，直线AB方程为yxtan30+即yx+，与x22py联立得x2pxp20xA+xBp，xAxBp2，xAxBp2（）2（xA2+xB2+2xAxB）3xA2+3xB2+10xAxB0两边同除以xB2（xB20

19、）得3（）2+10+303或又xA+xBp0，xAxB，1，（）另解：设AFa，BFb，由抛物线的定义可得ACAFa，BDBFb，由直角三角形中30所对的直角边为斜边的一半，可得ba（a+b），即有b3a，即故答案为：【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识考查了学生综合分析问题和解决问题的能力三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知命题p：方程的图象是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4（m2）x+10无实根；又pq为真，q为真，求实数m的取值范围【分析】分别求出命题p，q为真时的m的范围，然后结合复合命题pq为真，q为真判断出命题p，q的

20、真假即可求解m的范围【解答】解：方程是焦点在y轴上的双曲线，即m2故命题p：m2； （3分）方程4x2+4（m2）x+10无实根，4（m2）24410，即m24m+30，1m3故命题q：1m3（6分）又pq为真，q为真，p真q假（8分）即，此时m3；（11分） 综上所述：m|m3（12分）【点评】本题以复合命题的真假关系判断为载体，主要考查了双曲线的简单性质及方程的根的分布问题的应用18（12分）已知函数f（x）ax3+bx23x（a，bR），在点（1，f（1）处的切线方程为y+20（1）求函数f（x）的解析式；（2）若方程f（x）m有三个根，求m的取值范围【分析】（1）求得f（x）的导数，可

21、得切线的斜率和切点，由已知切线方程，可得a，b的方程组，即可得到所求解析式；（2）求得f（x）的导数和单调区间、极值，由题意可得m介于极小值和极大值之间【解答】解：（1）函数f（x）ax3+bx23x的导数为f（x）3ax2+2bx3，根据在点（1，f（1）处的切线方程为y+20，得f（1）2，f（1）0，即a+b32，3a+2b30，解得a1，b0，则f（x）x33x；（2）令f（x）3x230，解得x1或1，令f（x）0，得x1或x1；令f（x）0，得1x1；f（x）的单调增区间是（，1），（1，+），单调减区间是（1，1），f（x）极大值f（1）2，f（x）极小值f（1）2，方程f（x）

22、m有三个根，即为yf（x）和ym有三个交点，2m2【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于中档题19（12分）如图，四边形ABCD为菱形，DAB60，ED平面ABCD，EDAD2EF2，EFAB，M为BC中点（）求证：FM平面BDE；（）求证：ACBE；（）若G为线段BE上的点，当三棱锥GBCD的体积为时，求的值【分析】（） 设ACBDO，连结EO，MO，推导出四边形EOMF为平行四边形，从而FMEO由此能证明FM平面BDE（）推导出ACBD，EDAC，从而AC平面BDE，由此能证明ACBE（）过G作ED的平行线交BD于H，则GH平面A

23、BCD，GH为三棱锥GBCD的高，三棱锥GBCD的体积由此能求出的值【解答】证明：（） 设ACBDO，连结EO，MO因为M，O分别是BC，BD的中点，因为EFAB，且，OMAB，且，所以EFOM，且EFOM所以四边形EOMF为平行四边形所以FMEO又因为EO平面BDE，FM平面BDE，所以FM平面BDE （5分）（）因为ABCD为菱形，所以ACBD因为ED平面ABCD，所以EDAC因为BDEDD，所以AC平面BDE又因为BE平面BDE，所以ACBE （10分）解：（）过G作ED的平行线交BD于H由已知ED平面ABCD，所以GH平面ABCD所以GH为三棱锥GBCD的高因为三棱锥GBCD的体积为，

24、所以三棱锥GBCD的体积解得GH所以所以 （14分）【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题20（12分）已知圆C：（x3）2+（y4）24和直线l：kxy4k+30（1）求证：不论k取什么值，直线l和圆C总相交；（2）求直线l被圆C截得的最短弦长及此时的直线方程【分析】（1）求出直线恒过的定点，利用点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系即可（2）求出定点与圆心的斜率，利用垂直求出直线的斜率，求出弦长即可【解答】解：（1）证明：由直线l的方程可得，

25、y3k（x4），则直线l恒通过点（4，3），把（4，3）代入圆的C方程，得（43）2+（34）224，所以点（4，3）在圆C的内部，又因为直线l恒过点（4，3），所以直线l与圆C总相交； （6分）（2）设定点为A（4，3），由题可知当直线l与CA直线垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，因为，所以直线l的斜率为k1，所以直线l的方程为y3x4，即xy10（10分）设圆心C（3，4）到直线l距离为d，则，所以直线l被圆C截得最短的弦长为（12分）【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力21（12分）已知函数f（x）aexlnx1（1）设x2是f（x）的极值点，求a的值并求

26、g（x）f（x）+lnx的单调区间；（2）若不等式f（x）0在（0，+）恒成立，求a的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，利用函数的极值，推出a，然后求出函数的解析式，通过导函数的符号，求解函数的单调区间（2）求出导函数，通过构造法求解导函数，判断函数的单调区间以及极值，求解即可【解答】解：（1）由题设知，f（2）0，所以，经检验符合题意 （1分）从而，（2分）当xln2时，g（x）0；当0xln2时，g（x）0，所以g（x）在（0，ln2）单调递减，在（ln2，+）单调递增 （2分）（2）aexlnx10恒成立，即a恒成立（1分）设，则（1分）设，所以h（x）在（0，+）单调递减，又h（1

27、）0，x（0，1），h（x）0；x（1，+），h（x）0（3分）g（x）单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+），（2分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力22（12分）已知椭圆，连接椭圆的两个焦点和短轴的两个端点得到的四边形是正方形，正方形的边长为（1）求椭圆的方程；（2）设C（m，0），过焦点F（c，0）（c0）且斜率为k（k0）的直线l与椭圆交于A，B两点，使得，求实数m的取值范围【分析】（1）由椭圆的定义得，即可求出椭圆方程（2）设两点设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l的方程为yk（x1），先将A，B两点的坐标代入

28、椭圆方程，两式相减得（x12x22）+（y12y22）0，根据，可得m即可求出m的取值范围【解答】解：（1）由椭圆的定义得，椭圆方程为+y21，（2）由（1）可得F（1，0），设直线l的方程为yk（x1），代入到+y21可得（2k2+1）x24k2x+2k220，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1x2，x1+x2，（x12x22）+（y12y22）0，C（m，0），+（x1+x22m，y1+y2），（x1x2，y1y2），（+）0，即（x1+x22m，y1+y2）（x1x2，y1y2）x12x222m（x1x2）+（y12y22）（x12x22）2m（x1x2）0，m（1），k0，2k2+11，01，011，0（1），即0m【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量数量积的运算等考查了数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法