2019-2020学年山西省长治二中高二（上）12月月考数学试卷（理科）含详细解答

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1、2019-2020学年山西省长治二中高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知椭圆的方程为1，则此椭圆的焦距为（）A1B2C4D2（5分）双曲线x2y22的渐近线方程为（）AyxByxCy2xDyx3（5分）已知直线l平面，直线m平面，若，则下列结论正确的是（）Al或lBlmCmDlm4（5分）双曲线1的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A4BC2D5（5分）以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是（）Ay21Bx2y21Cy2x21Dx216（5分）已知P是椭圆1上一点，F1和F

2、2是焦点，若F1PF260，则PF1F2的面积为（）ABCD7（5分）若直线yk（x3）与双曲线1只有一个公共点，则满足条件的直线有（）A1条B2条C3条D4条8（5分）已知圆（x2）2+（y1）21，由直线l：x+y+10上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A2BC2D79（5分）过点P（1，1）作直线与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点恰好为P点，则AB所在直线方程是（）Ax+2y10Bx2y+30Cx2y+10D2xy+3010（5分）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q（4，3），则|PQ|+|PF|的最大值为（）ABCD11（5分）已知F1，F2是双曲线1（a0，

3、b0）的焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A4+2B+1C1D12（5分）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，M，N分别是棱AA1，BC上的动点，若MN，则线段MN的中点P的轨迹是（）A一条线段B一段圆弧C一个球面区域D两条平行线段二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）椭圆1的焦点坐标为 14（5分）直线ykxk+1与椭圆1的位置关系为 15（5分）已知不等式ax+a恒成立，则实数a的取值范围是 16（5分）已知椭圆C1：+1（a1b10）与双曲线C2：1（a20，b20）有相同的焦点F1，F

4、2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|2|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2e1的取值范围是 三、解答题：本大题共70分17（10分）已知直线l：x+y20及圆C：（x1）2+（y2）24（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）求过点（3，1）的圆C的切线方程18（12分）已知两圆C1：x2+y2+2y30和C2：x2+y24x2y+10（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长19（12分）已知双曲线1（a0，b0）的虚轴长为2，且离心率为（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不

5、同的两点A，B，求|AB|20（12分）如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PBBC，PDCD，且PAAB，E为PD中点（1）求证：PA平面ABCD；（2）求二面角ABEC的余弦值21（12分）已知点A，B的坐标为，直线AE，BE相交于点E，且它们的斜率之积是（1）求点E的轨迹方程；（2）设O为坐标原点，过点F（1，0）的直线l与点E的轨迹交于M，N两点，求MON的面积的最大值22（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B（）求椭圆C的方程；（）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐

6、标原点），当时，求实数t的取值范围2019-2020学年山西省长治二中高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知椭圆的方程为1，则此椭圆的焦距为（）A1B2C4D【分析】利用椭圆方程求出a，b，c，然后求解焦距即可【解答】解：椭圆的方程为1，可得a2，b，所以c1，所以椭圆的焦距为：2故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题2（5分）双曲线x2y22的渐近线方程为（）AyxByxCy2xDyx【分析】双曲线x2y22的渐近线方程为x2y

7、20，由此能求出结果【解答】解：x2y22的渐近线方程为x2y20，整理，得yx故选：A【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用3（5分）已知直线l平面，直线m平面，若，则下列结论正确的是（）Al或lBlmCmDlm【分析】选项A中l与位置是平行或直线在平面内，选项B中l与m可能共面或异面，选项C中m与的位置不确定，选项D中l与m的位置关系不确定【解答】解：对于A，直线l平面，则l或l，A正确；对于B，直线l平面，直线m平面，且，则lm或l与m相交或l与m异面，B错误；对于C，直线l平面，直线m平面，且，则m或m与相交或m或m，C错误

8、；对于D，直线l平面，直线m平面，且，则lm或l与m相交或l与m异面，D错误故选：A【点评】本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几何符号的应用问题4（5分）双曲线1的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A4BC2D【分析】求得双曲线的a，b，c，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值【解答】解：双曲线1的a2，b2，c2，一个焦点设为（2，0），一条渐近线设为xy0，可得一个焦点到一条渐近线的距离为d2，故选：C【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，化简运算能力，属于基础题5（5分）以椭圆1的焦点为顶

9、点，顶点为焦点的双曲线方程是（）Ay21Bx2y21Cy2x21Dx21【分析】求得椭圆的焦点和左右顶点，可设双曲线的方程为1（a0，b0），求得a，c，可得b，进而顶点所求双曲线的方程【解答】解：椭圆1的焦点为（1，0），左右顶点为（，0），可设双曲线的方程为1（a0，b0），由题意可得a1，c，可得b1，则双曲线的方程为x2y21故选：B【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程及性质，考查待定系数法和方程思想，运算能力，属于基础题6（5分）已知P是椭圆1上一点，F1和F2是焦点，若F1PF260，则PF1F2的面积为（）ABCD【分析】由椭圆方程求得a，c的值，在焦点三角形中，结合余弦定理求得|

10、PF1|PF2|，再由三角形面积公式求得PF1F2的面积【解答】解：由椭圆，得a25，b24，在PF1F2中，由余弦定理得：，4203|PF1|PF2|，得|PF1|PF2|故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题7（5分）若直线yk（x3）与双曲线1只有一个公共点，则满足条件的直线有（）A1条B2条C3条D4条【分析】由题意可得直线经过点（3，0），即为双曲线的右顶点，求得渐近线方程，考虑与渐近线平行的直线，即可得到所求条数【解答】解：直线yk（x3）经过点（3，0），即为双曲线的右顶点，由于直线的斜率为k，故直线x3不成立，而双曲线1的渐近线方程为y

11、x，可得经过点（3，0）与渐近线平行的直线，与双曲线只有一个公共点，故满足条件的直线有两条故选：B【点评】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的性质：渐近线方程，考查分类讨论思想，属于基础题8（5分）已知圆（x2）2+（y1）21，由直线l：x+y+10上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A2BC2D7【分析】如图利用几何性质求出最小的BC，再求出OA的最小值【解答】解：如图，切线长OA2BC2AC2，当BC最小时，OA最小，BC最小值为C到直线x+y+10的距离d，故OA的最小值为，故选：B【点评】考查圆的切线问题，根据几何法得出，基础题9（5分）过点P（1，1）作直线与椭圆交于

12、A，B两点，若线段AB的中点恰好为P点，则AB所在直线方程是（）Ax+2y10Bx2y+30Cx2y+10D2xy+30【分析】利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则2x12+y124，2x22+y2242（x1+x2）（x1x2）+（y1+y2）（y1y2）0P（1，1）恰为线段AB的中点，2（x1x2）+（y1y2）0，直线AB的斜率为：2，直线AB的方程为y12（x+1），即2xy+30故选：D【点评】本题考查了“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式，属于中档题10（5分）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，

13、点Q（4，3），则|PQ|+|PF|的最大值为（）ABCD【分析】设椭圆C的右焦点为F（1，0），由已知条件推导出|PQ|+|PF|PQ|+2 |PF|，利用Q，F，P共线，可得|PQ|+|PF|取最大值【解答】解：点F为椭圆的左焦点，F（1，0），点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为（4，3），设椭圆C的右焦点为F（1，0），|PQ|+|PF|PQ|+2 |PF|2 +|PQ|PF|，|PQ|PF|QF|3 ，|PQ|+|PF|5 ，即最大值为5 ，此时Q，F，P共线故选：A【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键11（5分）已知F1，F2是双曲线1（a0，b

14、0）的焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A4+2B+1C1D【分析】首先根据题意建立关系式利用正三角形的边的关系，和双曲线的定义关系式求的离心率【解答】解：已知F1，F2是双曲线1（a0，b0）的焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中PP点在双曲线上，则：设|F1F2|2c进一步解得：|PF1|c，利用双曲线的定义关系式：|PF2|PF1|2a两边平方解得：故选：B【点评】本题考查的知识要点：双曲线的定义关系式，正三角形的边的关系，双曲线的离心率，及相关运算12（5分）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的

15、棱长为1，M，N分别是棱AA1，BC上的动点，若MN，则线段MN的中点P的轨迹是（）A一条线段B一段圆弧C一个球面区域D两条平行线段【分析】连接MB，NA，PA，PB，由已知可得NBM，MAN都是直角三角形，且P满足|PB|PA|MN|设O为AB 的中点，连接PO，则OPAB，且有OP为定值，从而得到线段MN中点P的轨迹为以O为圆心，以OP为半径的圆的一部分【解答】解：如图，连接MB，NA，PA，PB，ABCDA1B1C1D1是正方体，NBM，MAN都是直角三角形，M，N为棱A1A，CB上的动点，且|MN|，MN的中点P满足|PB|PA|MN|设O为AB 的中点，连接PO，则OPAB，且OP线

16、段MN中点P的轨迹为以O为圆心，以为半径的圆的一部分故选：B【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）椭圆1的焦点坐标为【分析】利用椭圆方程求出a，b，然后求解c，即可得到焦点坐标【解答】解：椭圆1，可得a2，b，c，椭圆的焦点坐标为：（0，）故答案为：（0，）【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查14（5分）直线ykxk+1与椭圆1的位置关系为相交【分析】直线ykxk+1恒过的定点，判断定点与椭圆的位置关系，由此可得直线ykxk+1与椭圆的位置关系【解答】解：直线ykxk+1可化为yk（x

17、1）+1，所以直线恒过点（1，1），椭圆1，（1，1）在椭圆的内部，直线ykxk+1与椭圆1的位置关系是相交故答案为：相交【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，确定直线恒过定点，且在椭圆的内部是关键，是基础题15（5分）已知不等式ax+a恒成立，则实数a的取值范围是【分析】由等式ax+a恒成立，可知y表示的图象在直线yax+a的下方，结合图象可求【解答】解：令y，则y2+（x1）21（y0）表示以（1，0）为圆心，以1为半径的上半圆，而yax+aa（x+1）表示恒过定点（1，0）的直线，等式ax+a恒成立，当直线yax+a与半圆相切时，解可得，a或a（舍），结合图象可知，a故答案为：）【点评】

18、考查了利用数学结合思想做题，通过图象，直观的分析问题数形结合是数学中的一种重要解题思想，应学会掌握16（5分）已知椭圆C1：+1（a1b10）与双曲线C2：1（a20，b20）有相同的焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|2|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2e1的取值范围是（，+）【分析】运用椭圆和双曲线的定义，可得|PF2|a1a2c，运用离心率公式和换元思想，结合对勾函数的单调性，即可得到所求范围【解答】解：设|F1F2|2|PF2|2c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|2a1，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a2，可得|PF

19、2|a1a2c，则1，即1，由e21，可得e11，且e2，则e2e1e1，令t1e1，即e11t，可得0t，可得e2e1t+2，由0t，可得t+2+22，则e2e1的取值范围是（，+）故答案为：（，+）【点评】本题考查双曲线和椭圆的定义、方程和性质，考查化简运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共70分17（10分）已知直线l：x+y20及圆C：（x1）2+（y2）24（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）求过点（3，1）的圆C的切线方程【分析】（1）利用代数法，联立直线方程与圆的方程，化为关于x的一元二次方程，再由判别式大于0判断直线与圆相交；利用几何法，由圆心到直线的距离小于半径判断直线

20、与圆相交；（2）当切线斜率存在时，设切线斜率为k，写出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得k，则直线方程可求；当切线斜率不存在时，直接写出切线方程，则答案可求【解答】解：（1）解法一（代数法）、联立，消去y得2x22x30其中（2）242（3）320，直线l与圆C的位置关系是相交；解法二（几何法）、圆C的圆心（1，2）到直线x+y20的距离为直线与圆相交；（2）当切线斜率存在时，设切线斜率为k，则可设切线的方程为y1k（x3），即kxy+13k0由，得此时，切线方程为3x4y50；当切线斜率不存在时，切线方程为x3综上，圆的切线方程为x3和3x4y50【点评】本题考查直线与圆位置关系的判

21、定，考查圆的切线方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题18（12分）已知两圆C1：x2+y2+2y30和C2：x2+y24x2y+10（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长【分析】（1）法一：联立两圆的方程，消去y，根据方程根的个数，即可判断两圆的位置关系，法二：先求出圆心距，再利用圆心距与两圆半径和，差的大小关系，判断两圆的位置关系（2）法一：两圆作差求出公共弦的方程，再联立第一问法一，求出两个交点坐标，算出弦长【解答】解：（1）解法一：代数法联立两圆的方程，消去y，整理得2x24x0（4）2420160，两圆相交；解法二：几何法由题意可知：圆心C

22、1（0，1），半径r12；圆心C2（2，1），半径r22，两圆心距离，满足0r1r2|C1C2|r1+r24，两圆相交；（2）联立两圆的方程，两圆作差得x+y10，解法一：由得x10，x22代入上式得y11，y21，两个交点坐标为（0，1），（2，1），由两点间距离公式得：2，解法二：圆心C1（0，1）到直线x+y10的距离为，所以所求弦长为，【点评】本题主要考查了两圆位置关系，以及求公共弦长，是中档题19（12分）已知双曲线1（a0，b0）的虚轴长为2，且离心率为（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|【分析】（1）由

23、题意可得e，b，解方程可得a，b，c，可得所求双曲线的方程；（2）设经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30的直线的方程为，联立双曲线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值【解答】解：（1）双曲线的虚轴长为，离心率为，可得e，b，解得，双曲线的方程为；（2）由（1）知 双曲线的右焦点为F2（3，0），设经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30的直线的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得5x2+6x270，其中，所以【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题20（12分）如图四棱锥PABC

24、D中，底面ABCD是正方形，PBBC，PDCD，且PAAB，E为PD中点（1）求证：PA平面ABCD；（2）求二面角ABEC的余弦值【分析】（1）推导出BCAB，BCPB，从而BC平面PAB，进而BCPA同理CDPA，由此能证明PA平面ABCD（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ABEC的余弦值【解答】解：（1）证明：底面ABCD为正方形，BCAB，又BCPB，ABPBB，BC平面PAB，BCPA同理CDPA，BCCDC，PA平面ABCD（2）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的

25、边长为2则A（0，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），B（2，0，0），设（x，y，z）为平面ABE的一个法向量，又（0，1，1），（2，0，0），令y1，z1，得（0，1，1），同理（1，0，2）是平面BCE的一个法向量，则cos二面角ABEC的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）已知点A，B的坐标为，直线AE，BE相交于点E，且它们的斜率之积是（1）求点E的轨迹方程；（2）设O为坐标原点，过点F（1，0）的直线l与点E的轨迹交于M，N两点，求MON的面积的最大值

26、【分析】（1）设E（x，y），根据斜率关系列方程化简即可；（2）设直线方程，并于曲线方程联立，求出两根之和两根之积，把面积用其表示出来，再借助于二次函数在区间上的最值求解方法即可得到结论【解答】解：（1）设E（x，y），因为A（，0），所以直线AE的斜率，同理直线BE的斜率，由已知有，化简得E的轨迹方程为，（2）设过F（1，0）的直线方程为xmy1，设M（x1，y1），N（x2，y2）联立直线与椭圆的方程，化简得（m2+2）y22my10，显然0y1+y2；y1y2；从而|y1y2|2所以令tm2+22，则S，当t2，即m0时取等号所以MON面积的最大值为【点评】本题考查了轨迹方程的求解，直线

27、与椭圆的位置关系，属于中档题22（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B（）求椭圆C的方程；（）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围【分析】（）由离心率e及a2b2+c2可得关于a，b的方程，由此可简化椭圆方程，设N（x，y），则|NQ|可表示为关于y的函数，据此可求得其最大值为4，解得b，进而求得a；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为yk（x3），与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，由0得，由韦达定理及可用k、t表示出点P

28、的坐标，代入椭圆方程得36k2t2（1+4k2），由弦长公式及可得，故，联立可求得t的范围；【解答】解：（），a24b2，则椭圆方程为，即x2+4y24b2设N（x，y），则，当y1时，|NQ|有最大值为，解得b21，a24，椭圆方程是；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为yk（x3），由，整理得（1+4k2）x224k2x+36k240由242k416（9k21）（1+4k2）0，得，则，由点P在椭圆上，得，化简得36k2t2（1+4k2），又由，即，将x1+x2，x1x2代入得，化简得（8k21）（16k2+13）0，则，由，得，联立，解得3t24，或【点评】本题考查直线方程、椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、向量的线性运算，考查学生的运算能力、解决问题的能力，综合性较强